高考数学双曲线.pdf

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1、第 51 讲双曲线 考纲要求考情分析命题趋势 1.了解双曲线的定义、 几 何图形和标准方程，知道它 的简单几何性质 2了解圆锥曲线的简单 应用、了解双曲线的实际背 景 3 理解数形结合的思想. 2017全国卷， 15 2017全国卷， 9 2017 北京卷， 9 2017 天津卷， 5 2017 江苏卷， 8 1.求解与双曲线定义有关的问 题；利用双曲线的定义求轨迹方程； 求双曲线的标准方程；确定双曲线 焦点的位置 2求双曲线的渐近线；求解与 双曲线的范围、对称性有关的问题； 求解双曲线的离心率. 分值： 5 分 1双曲线的定义 平面内与两个定点F1，F2的_距离的差的绝对值_等于常数 (小于

2、|F1F2)的点的轨迹叫 做双曲线这两个定点叫做_双曲线的焦点 _，两焦点间的距离叫做_双曲线的焦距_ 集合 PM| MF1 | MF2 2a ，| F1F2 2c，其中 a，c 为常数，且 a0，c0. (1)当_ac_时，点 P 的轨迹是双曲线； (2)当_ac_时，点 P 的轨迹是两条射线； (3)当_ac_时，点 P 不存在 2双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 x 2 a 2 y 2 b 21(a 0，b0) y 2 a 2 x 2 b 21(a0， b0) 图形 性 质 范围x a 或 x a，yRy a 或 ya，xR 对称性对称轴： _坐标轴 _，对称中心：_原点 _ 顶点A

3、1_(a,0)_，A2_(a,0)_ A1_(0，a)_，A2_(0，a)_ 渐近线y b ax y a bx 离心率e_c a_，e(1， ) a，b，c 的关系 c 2_a2b2_ 实虚轴 线段 A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2 _2a_；线段 B1B2 叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2_2b_； a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长 3常用结论 (1)双曲线的焦点到渐近线 x 2 a 2 y 2 b 20(a0，b0)的距离为b.如右图 OFH 是分别以边a，b，c 为边长的直角三角形 (2)如下图： x 2 a 2 y 2 b 21(ab 0) x 2 a 2

4、 y 2 b 21(a0， b0) 则有： P1，P2两点坐标都为 c， b 2 a ，即|FP1|FP2 b 2 a . 1思维辨析 (在括号内打“”或“”) (1)平面内到点F1 (0,4)，F2(0， 4)距离之差等于6 的点的轨迹是双曲线() (2)平面内到点F1(0,4) ， F2(0， 4)距离之差的绝对值等于8 的点的轨迹是双曲 线 () (3)方程 x 2 m y 2 n 1(mn0)表示焦点在x 轴上的双曲线() (4)双曲线方程 x 2 m 2 y 2 n 2 (m 0， n 0， 0)的渐近线方程是 x 2 m 2 y 2 n 2 0，即 x m y n 0.() 解析(

5、1)错误由双曲线的定义知，应为双曲线的一支，而非双曲线的全部 (2)错误因为| |MF1|MF2 8| |F1F2，表示的轨迹为两条射线 (3)错误当m0，n0 时表示焦点在x 轴上的双曲线，而m0，n0 时则表示焦点 在 y 轴上的双曲线 (4)正确因为 x 2 a 2 y 2 b 21(a 0，b0)的渐近线方程为y b ax，即 x 2 a 2 y 2 b 20，所以当 0 时， x 2 m 2 y 2 n 21(m0，n0)的渐近线方程为 x 2 m 2 y 2 n 20，即 x 2 m 2 y 2 n 20，即 x m y n 0， 同理当 0 时，仍成立，故结论正确 2过双曲线x

6、2y28 的左焦点 F1有一条弦PQ 在左支上，若|PQ 7，F2是双曲线的 右焦点，则 PF2Q 的周长是 ( C) A28B1482 C148 2D8 2 解析 由双曲线定义知， |PF2|PF1 4 2，|QF2|QF14 2， |PF2|QF2(|PF1|QF1) 8 2. 又| PF1 | QF1|PQ7， |PF2|QF278 2. PF2Q 的周长为 148 2. 3双曲线2x 2y28 的实轴长是 ( C) A2B2 2 C4D4 2 解析 双曲线 2x2y28 的标准方程为 x 2 4 y 2 8 1，所以实轴长2a4，故选 C 4设双曲线 x 2 a 2 y 2 9 1(a

7、0)的渐近线方程为3x 2y0，则 a 的值为 (C) A4B3 C2D1 解析 双曲线 x 2 a 2 y 2 9 1 的渐近线方程为 x a y 30. 整理得 3x ay0，故 a2，故选 C 5(2017 北京卷 )若双曲线x 2y 2 m1 的离心率为 3，则实数m_2_. 解析 由双曲线的标准方程可知a 21， b2m， 所以 a1， c 1m， 所以 1m 1 3， 解得 m2. 一双曲线的定义及其标准方程 双曲线的定义和标准方程中的注意点 (1)在解决与双曲线的焦点有关的距离问题时，通常考虑利用双曲线的定义 (2)在运用双曲线的定义解题时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值 ”

8、，弄清楚是 指整条双曲线还是双曲线的一支 (3)求双曲线方程时一是标准形式的判断；二是注意a，b，c 的关系易错易混 【例 1】 (1)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F(3,0)，离心率等于 3 2，则 C 的方程 是(B) A x 2 4 y 2 5 1B x 2 4 y 2 5 1 Cx 2 2 y 2 5 1D x 2 2 y 2 51 (2)设 F1， F2是双曲线 x 2y 2 24 1 的两个焦点， P 是双曲线上的一点，且 3| PF1 4| PF2， 则 PF1F2的面积等于 (C) A4 2B8 3 C24D48 (3)已知 F1，F2为双曲线 x 2 5 y 2 4

9、1 的左、右焦点，P(3,1)为双曲线内一点，点A 在双曲 线上，则 |AP|AF2|的最小值为 ( C) A374B374 C37 2 5D372 5 解析(1)由曲线 C 的右焦点为F(3,0)，知 c3， 由离心率 e 3 2，知 c a 3 2，则 a 2，故 b 2c2a2945， 所以双曲线C 的方程为 x 2 4 y 2 5 1. (2)双曲线的实轴长为2，焦距为| F1F2 2510.据题意和双曲线的定义知 2| PF1 |PF2 4 3| |PF2|PF2 1 3| |PF2， | PF2 6，| |PF18， |PF1 2| |PF2 2| |F1F2 2， PF 1PF2

10、. SPF1F2 1 2| |PF1|PF2 1 26 824. (3)|AP|AF2|AP|AF1|2a， 要求 |AP|AF2|的最小值，只需求 |AP|AF1|的最小值， 当 A， P，F1三点共线时，取得最小值，则|AP| |AF1|PF1| 37， |AP|AF2|AP|AF1| 2a 372 5. 二双曲线的几何性质及其应用 双曲线中一些几何量的求解方法 (1)求双曲线的离心率(或范围 )依据题设条件，将问题转化为关于a，c 的等式 (或不等 式)，解方程 (或不等式 )即可求得 (2)求双曲线的渐近线方程依据题设条件，求双曲线中a，b 的值或 a 与 b 的比值，进 而得出双曲线

11、的渐近线方程 (3)求双曲线的方程 依据题设条件求出a， b的值或依据双曲线的定义求双曲线的方程 (4)求双曲线的焦点(焦距 )、实 (虚)轴的长依题设条件及a，b，c 之间的关系求解 【例 2】 (1)已知双曲线C： x 2 a 2 y 2 b 21(a 0，b0)的离心率为 5 2 ，则 C 的渐近线方程 为(C) Ay 1 4x By 1 3x Cy 1 2x Dy x (2)(2017全国卷 )若双曲线C： x 2 a 2 y 2 b 21(a0，b0)的一条渐近线被圆(x 2) 2y24 所截得的弦长为2，则 C 的离心率为 (A) A2B3 C2D 2 3 3 (3)若双曲线 x

12、2 a 2 y 2 b 21(a0， b0)右顶点为 A， 过其左焦点 F 作 x 轴的垂线交双曲线于M， N 两点，且 MA NA 0，则该双曲线的离心率的取值范围为(B) A(2， )B(1,2) C 3 2， D 1，3 2 解析(1)e c a 5 2 ， e 2c 2 a 2 a 2b2 a 2 5 4， a24b2，b a 1 2，渐近线方程为 y b ax，即 y 1 2x. (2)依题意，双曲线C： x 2 a 2 y 2 b 21(a0， b0)的一条渐近线方程为bxay0.因为直线 bx ay0被圆 (x2) 2y24 所截得的弦长为 2， 所以 |2b| b 2a2 4

13、1， 所以 3a23b2 4b2， 所以 3a2 b2，所以 e1 b 2 a 213 2.故选 A (3)由题意，可得M c， b 2 a ，N c， b 2 a ，A(a,0)， MA ac， b 2 a ，NA ac，b 2 a . MA NA 0， (ac)2 b 4 a 20， ac b 2 a 0， 2a 2acc20，即 e2e 20，又 e1，解得 1e 2，故选 B 三直线与双曲线的位置关系 直线与双曲线的位置关系的解决方法 (1)解决此类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线 方程联立，消元后转化成关于x(或 y)的一元二次方程，利用根与系数的关系

14、，整体代入 (2)与中点有关的问题常用点差法 (3)根据直线的斜率与渐近线的斜率的关系来判断直线与双曲线的位置关系 【例 3】 若双曲线E： x 2 a 2y 21(a0)的离心率等于 2，直线 y kx1 与双曲线 E 的 右支交于 A，B 两点 (1)求 k 的取值范围； (2)若| AB6 3，点 C 是双曲线上一点，且OC m(OA OB )，求 k，m 的值 解析(1)由 c a 2， a 2c21， 得 a 21， c 22. 故双曲线 E 的方程为x2y21. 设 A(x1，y1)， B(x2，y2)，由 ykx 1， x 2y21， 得(1k2)x22kx2 0. 因为直线与双

15、曲线右支交于A， B两点， 故 2k 1k 20且 2 1k 20， 2k 2 4 1k2 2 0， 即 k1， 2k2， 所以 1 k2，即 k 的取值范围是(1，2) (2)由得 x1x2 2k k 21，x1x2 2 k 21， |AB 1k2 x1x2 24x 1x2 2 1k 2 2 k 2 k 212 6 3， 整理得 28k 4 55k2250， k25 7或 k 25 4， 又 1k2， k 5 2 ， x1x245， y1 y2 k(x1x2)28， 设 C(x3，y3)，由 OC m(OA OB )，得 (x3，y3)m(x1x2，y1y2)(45m,8m)， 点 C 是双

16、曲线上一点，80m264m2 1，得 m 1 4， 故 k 5 2 ，m 1 4. 1已知 l 是双曲线C：x 2 2 y 2 4 1 的一条渐近线，点P 是 l 上的一点， F1， F2是 C 的两 个焦点，若 PF1 PF2 0，则点 P 到 x 轴的距离为 (C) A 2 3 3 B2 C2D 2 6 3 解析 F1( 6， 0)， F2(6， 0)， 不妨设 l 的方程为 y2x， 则可设 P(x0， 2x0)， 由PF1 PF2 (6x0，2x0) (6x0， 2x0)3x2 060，得 x0 2， 故 P 到 x 轴的距离为2| |x02，故选 C 2 过双曲线 x 2 a 2 y

17、 2 b 21(a0， b0)的右焦点与对称轴垂直的直线与渐近线交于两点A， B，若 OAB 的面积为 13bc 3 ，则双曲线的离心率为(D) A 5 2 B 5 3 C 13 2 D 13 3 解析 由题意可求得|AB 2bc a ，所以SOAB1 2 2bc a c 13bc 3 ，整理得 c a 13 3 ，即e 13 3 ，故选 D 3已知双曲线C：x 2 a 2 y 2 b 21(a0，b0)的左、 右焦点分别为F1，F2，点 P 在双曲线上， 若| PF1 | PF26a，且 PF1F2最小内角的大小为30 ，则双曲线C 的渐近线方程为(B) Ax 2y0B2x y0 Cx 2y

18、0D2x y0 解析 由题意不妨设| PF1 | PF22a，|PF1|PF2 6a，|PF1 4a，|PF22a， |F1F22c2a， PF1F2最小内角为 PF1F230 ，在 PF1F2中，由余弦定理得4a 2 4c 216a222c4acos 30 ，解得 c3a，b2a，故双曲线的渐近线方程为y b a x 2x，即2x y0，故选 B 4(2017 全国卷 )已知双曲线C：x 2 a 2 y 2 b 21(a0，b0)的右顶点为 A，以 A 为圆心， b 为半径作圆A，圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于M，N 两点若 MAN60 ，则 C 的离 心率为 2 3 3 . 解析

19、双曲线的右顶点为A(a,0)，一条渐近线的方程为yb ax， 即 bxay0，圆心 A 到此渐近线的距离d|baa0| b 2 a2 ab c ， 因为 MAN60 ，圆的半径为b，所以 b cos30 ab c ，即 3b 2 ab c ， 所以 e 2 3 23 3 . 易错点求曲线方程时，忽略定义的应用 错因分析： 不能利用平面几何知识和双曲线定义解题，使解题无从入手 【例 1】 已知 ABC 的顶点 A(5,0)，B(5,0)， ABC 的内切圆圆心在直线x3 上， 则顶点 C 的轨迹方程为_ 解析 如图， |AD |AE 8，|BF |BE 2，|CD |CF . 所以|CA |CB

20、 82 6. 根据双曲线定义， 所求轨迹是以A，B 为焦点， 实轴长为 6 的双曲线的右支， 方程为 x 2 9 y 2 16 1(x3) 答案 x 2 9 y 2 16 1(x3) 【跟踪训练1】 (2016 全国卷 )已知 F1，F2是双曲线E： x 2 a 2 y 2 b 21 的左，右焦点，点 M 在 E 上， MF1与 x 轴垂直， sin MF2F11 3，则 E 的离心率为 ( A) A2B 3 2 C3D2 解析 由 MF 1x 轴上，得 M c，b 2 a ， |MF 1| b 2 a ， 由双曲线的定义可得|MF2| 2a|MF1|2a b 2 a ， 又 sin MF2F

21、1|MF 1| |MF2| b 2 a 2a b 2 a 1 3，化简得 a b， e2.故选 A 课时达标第 51 讲 解密考纲 对双曲线的定义、标准方程及几何性质的考查，通常与平面向量、解三角形 方程或不等式综合在一起，以选择题、 填空题形式出现，或在解答题中以第一问作考查的第 一步 一、选择题 1已知双曲线 x 2 a 2 y 2 b 21(a0，b0)的一个焦点与抛物线 y 24x 的焦点重合，且双曲线 的离心率等于5，则该双曲线的方程为(D) A5x 24 5y 21 B x 2 5 y 2 4 1 Cy 2 5 x 2 4 1D5x2 5 4y 21 解析 抛物线y24x 的焦点为

22、F(1,0)， c1， e c a 1 a 5，得 a 21 5， b 2 c2 a 24 5，则双曲线的方程为 5x2 5 4y 21，故选 D 2已知实数1，m,9 成等比数列，则圆锥曲线 x 2 m y 2 1 的离心率为 ( C) A 6 3 B2 C 6 3 或 2D 2 2 或3 解析 根据条件可知m29， m 3.当 m3 时， e c a 6 3 ；当 m 3 时， e2， 故选 C 3双曲线 x 2 2 2y21 的渐近线与圆x2(ya)21 相切，则正实数a(C) A 17 4 B17 C 5 2 D5 解析 双曲线 x 2 2 2y21 的渐近线方程为y 1 2x，圆心为

23、 (0，a)，半径为 1，由渐 近线和圆相切，得 |2a| 5 1，解得 a 5 2 . 4若实数k 满足 00，b0)的左焦点为 F，离心率为2.若经过 F 和 P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为(B) A x 2 4 y 2 4 1B x 2 8 y 2 8 1 Cx 2 4 y 2 8 1D x 2 8 y 2 4 1 解析 由 e2知，双曲线为等轴双曲线，则其渐近线方程为y x，由 P(0,4)知左焦点 F 的坐标为 (4,0)，所以 c 4，则 a 2b2c 2 2 8.故选 B 6已知ab0，椭圆C1的方程为 x 2 a 2 y 2 b 21，双曲线C

24、2的方程为 x 2 a 2 y 2 b 21， C1与 C2 的离心率之积为 3 2 ，则 C2的渐近线方程为(A) Ax 2y0B2x y0 Cx 2y0D2x y0 解析 由已知得1 b a 2 1 b a 2 3 2 ，解得 b a 1 2 ，故选 A 二、填空题 7已知双曲线C： x 2 a 2 y 2 b 21(a0，b0)的一条渐近线与直线 l：x3y0 垂直， C 的 一个焦点到直线l 的距离为1，则 C 的方程为 _x 2y 2 3 1_. 解析 双曲线的一条渐近线与直线l：x3y0 垂直， 双曲线的渐近线的斜率为3，即 b a 3. 由题意知双曲线的焦点在x 轴上， 可设双曲

25、线的一个焦点坐标为(c,0)，根据点到直线的 距离公式，得 |c| 2 1， c2，即 a2b24. 联立，解得a21，b23 ， 双曲线的标准方程为x2 y 2 3 1. 8若双曲线x 2y 2 b 21(b0)的一条渐近线与圆 x 2(y2)21 至多有一个公共点， 则双 曲线离心率的取值范围是_(1,2_ 解析 双曲线的渐近线方程为y bx， 则有 |02| 1b 21， 解得 b 23， 则 e2c 2 a 21b 2 4， 所以 10， b0)的右支与焦点 为 F 的抛物线x2 2py(p0)交于 A，B 两点 若|AF| |BF| 4|OF|，则该双曲线的渐近线方程 为_y 2 2 x_. 解析 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义可知 |AF| y1 p 2，|BF|y 2 p 2，|OF| p 2， 由|AF|BF|y1 p 2y2 p 2y1 y2p4|OF|2p，得 y1y2p.