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1、第六节对数与对数函数 考纲解读 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对 数；了解对数在简化运算中的作用. 2.理解对数函数的概念和单调性，掌握对数函数的图像经过的特殊点. 3.认识到对数函数是一类重要的函数模型. 4.了解指数函数 x ya与对数函数logayx互为反函数(01)aa且. 命题趋势研究 对数与对数函数是高中数学重要的内容之一，也是高考必考的知识点.试题的命制常以对数 函数为载体考查函数的图像和性质、研究问题方法以及数形结合、分类讨论、函数与方程、 等价转化的数学思想，同时也考查了考生分析与解决问题的能力，是高考考查的重点与难 点，可以出
2、现在各种题型中. 知识点精讲 一、对数概念 (0)log(01) x a aN NnN aa且，叫做以a为底N的对数 . 注：0N，负数和零没有对数； log 1 0,log1 aaa ； 10 lglog,lnlogeNNNN. 二、对数的运算性质 (1)log ()loglog(,); (2)logloglog(,); (3)loglog(); log (4)log(01,0,01) log aaa aaa n aa c a c MNMN M NR M MN M NR N MnM MR b baabcc a 且且（换底公式） 特殊地 1 log( ,01,1) log a b ba bab
3、 a 且； log (5)loglog( ,0,0,1,) (6)(0,01) (6)log(,01). m a n a a N N a n bb a bmanR m aN Naa aN NR aa ； 且； 且 化常数为指数、对数值常用这两个恒等式. 三、对数函数 （1）一般地，形如log(01) a yx aa且的函数叫对数函数. （2）对数函数log(01) a yx aa且的图像和性质，如表2-7 所示 . logayx 1a1a 图像 性质 （1）定义域：(0,) （2）值域：R （3）图像过定点：(1,0) （4）在(0,)上是增函数 （1）定义域：(0,) （2）值域：R （3）
4、图像过定点：(1,0) （4）在(0,)上是减函数 题型归纳及思路提示 题型 26 对数运算及对数方程、对数不等式 思路提示 对数的有关运算问题要注意公式的顺用、逆用、变形用等.对数方程或对数不等式问题是要 将其化为同底，利用对数单调性去掉对数符号，转化为不含对数的问题，但这里必须注意 对数的真数为正. 一、对数运算 例 2.56 55 2log 10log 0.25（） .0A.1B.2C.4D 变式 1 已知, x y为正实数，则（） lglglglg .222 xyxy A lg()lglg .222 xyxy B lglglglg .222 xyxy C lg()lglg .222 x
5、yxy D 变式 2 22 (lg2)lg4 lg5(lg5)_ 变式 3 222 lg 5lg8lg 5 lg 20(lg 2) 3 _ 例 2.57 274 log81log 8_. . 变式 1 2 log(64264 2 )_ 例 2.58 lg30lg0.5 1 5( ) 3 _ 二、对数方程 例 2.59 解下列方程： 2 2 1 11 (1)(lglg3)lg5lg(10); 22 (2)log(231)1. x xx xx 变式 1 函数 2 ()l o g ( 41). x fxa x （1）若函数( )f x是R上的偶函数，求实数a的值； （2）若4a，求函数( )fx的零
6、点 . 三、对数不等式 例 2.60 设01a， 函数 2 ( )log22 xx a f xaa，则使( )0f x的x的取值范围是 （） .(,0)A.(0,)B .(,log 3) a C.(log 3,) a D 变式 1 已知函数( )fx为R上的偶函数，且在0,上为增函数， 1 0 3 f ，则不等 式 1 3 l o g0fx 的解集为. 例 2.61 设 2 554 log 4,(log 3) ,log 5,abc则（） .Aacb.B bca .C abc.D bac 变式 1 设 2 l g,( l g) ,l gae bece，则（） .Aabc.B acb .C cab
7、.D cba 变式 2 设 3 24 log 0.3 log3.4log 3.61 5,5, 5 abc ，则（） .Aabc.B bac .C acb.D cab 变式 4 已知 1 2 5 l n,l o g 2 ,xyze，则（） .A xyz.B zxy .C zyx.D yzx 题型 27 对数函数的图像与性质 思路提示研究和讨论题中所涉及的函数图像与性质是解决有关函数问题最重要的思路和方 法.图像与性质问题是数和形结合的护体解释.它为研究函数问题提供了思维方向. 一、对数函数的图像 例 2.62 如图 2-15 所示，曲线 1234 ,C C C C是底数分别为, , ,a b c
8、 d的对数函数的图像，则曲 线 1234 ,C C C C对应的底数, , ,a b c d的取值依次为（） 1 1 .3,2, 3 2 A 1 1 .2,3, 3 2 B 1 1 .2,3, 2 3 C 1 1 .3,2, 2 3 D 评注对数函数在同一直角坐标系中的图像的相对位置与底数大小的关系如图2-16 所示，则 01cdab.log(01) a yx aa且在第一象限的图像，a越大，图像越靠近x 轴；a越小，图像越靠近y轴. 变 式1 若 函 数 ()(01 x fxaaa且是 定 义 域 为R的 增 函 数 ， 则 函 数 ()l o g( a fxx的图像大致是（） 变式 2 设
9、, ,a b c均为正数，且 112 22 11 2log,log,log 22 bc a abc，则（） .Aabc.B cba .C cab.D bac 例 2.63 函数log (1)2 a yx的图像必过定点. 变式 1 函数l o g (2 )21 a yxx的图像过定点. 二、对数函数的性质（单调性、最值（值域） 例 2.64 设1a，函数( )loga f xx在区间,2aa上的最大值与最小值之差为 1 2 ，则a （） 变式 1 若函数( )log(01) a f xxa在区间,2aa上的最大值是最小值的3倍，则a 等于（） 2 . 4 A 2 . 2 B 1 . 4 C 1
10、. 2 D 例 2.65 设 2 1122 22 2(log)7log30,( )loglog 24 xx xxf x求 的最大值和最小值. 变式 1 已知 3 ()2l o g(1, 9 )fxx x，求函数 2 2 ()()()g xfxfx的最大值与最 小值 . 例 2.66 若函数 2 1 2 log(0) ( ) log ()(0) x x f x xx ，且( )()f afa则实数 a的取值范围是 . 变式 1 已知函数( )l gfxx，若0ab，且()()fafb，则2ab的取值范围是 （） .(2 2,)A. 3 2,B .(3,)C. 3,D 变式 2 定义区间 1212
11、 ,()x xxx的长度为 21 xx，已知函数 1 2 ( )logf xx的定义域为 ,a b，值域为0,2，则区间,a b的长度的最大值与最小值的差为 . 题型 28 对数函数中的恒成立问题 思路提示 （1）利用数形结合思想，结合对数函数的图像求解； （2）分离自变量与参变量，利用等价转化思想，转化为函数的最值问题. 例 2.67 已知函数 124 ( )lg 3 xx a fx，若,1x时有意义，求a得取值范围 . 评注为了求 a的取值范围，把a进行了分离，若( )g x 存在最大值，则( )g xa恒成立等价 于 max ( )g xa；若( )g x不存在最大值，设其值域为( ),g xm n，则( )g xa恒成立等 价于an. 变式 1 当(1, 2 )x时，不等式 2 1l o g a xx恒成立，则 a的取值范围是（） .(0,1)A.(1,2)B. 1,2C 1 . 0, 2 D 变式 2 函数( )l o g (3 ) (0 a fxxaaa且， 当点(,)P x y是函数( )yf x图像上的 点时，点(2,)Qxay是函数( )yg x图像上的点 . （1）写出函数( )yg x的解析式； （2）当2,3aaa时，恒有( )( )1f xg x，试确定a的取值范围 .