2011年—2017年新课标全国卷1理科数学分类汇编——10.统计、概率分布列、计数原理.pdf

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1、9统计、概率分布列、计数原理 一、选择题 【2017，2】如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部 分关于正方形的中心成中心对称在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（） A 1 4 B 8 C 1 2 D 4 【2017，6】 6 2 1 (1)(1)x x 展开式中 2 x的系数为（） A15 B20 C30 D35 【2016，4】某公司的班车在30:7，00:8，30:8发车，小明在50:7至30:8之间到达发车站乘 坐班车，且到达发车丫的时候是随机的，则他等车时间不超过10 分钟的概率是 （A） 3 1 （ B） 2 1 （C）

2、3 2 （D） 4 3 【2015，4】 投篮测试中， 每人投 3 次，至少投中2 次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6， 且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为 （A）0.648 （B）0.432 （C）0.36 （D）0.312 【2015，10】 25 ()xxy的展开式中， 52 x y的系数为（） （A）10 （B） 20 （C）30（ D）60 【2014，5】4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活 动的概率（） A. 1 8 B. 3 8 C. 5 8 D. 7 8 【 2013，3】为了解某地区的中小学

3、生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事 先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大在 下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是() A简单随机抽样B按性别分层抽样C按学段分层抽样D系统抽样 【2013，9】设 m 为正整数， (x y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(xy)2m 1 展开式的二项式系数 的最大值为b.若 13a7b，则 m () A5 B6 C7 D8 【2012，2】将 2 名教师， 4 名学生分成2 个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由 1 名教师和2 名学生组成，不同的安排方案共有

4、（） A12 种B10 种C 9 种D8 种 【2011，4】有3 个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性 相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 （ A） 1 3 （ B） 1 2 （C） 2 3 （D） 3 4 【2011，8】 5 1 2 a xx xx 的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为 （A）-40 （B）-20 （ C ）20 （D）40 二、填空题 【2016，14】 5 )2(xx的展开式中， 3 x的系数是 （用数字填写答案） 【2014，13】 8 ()()xyxy的展开式中 22 x y的系数为 .(用数字填写答案

5、) 【2012，15】某一部件由三个电子元件按下图方式连接 而成，元件1 或元件 2 正常工作，且元 件 3 正常工作，则部件正常工作。设三个 电子元件的使用寿命（单位：小时）均服 从正态分布N（1000，502） ，且各个元件 能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000 小时的概率为_。 三、解答题 【2017，19】为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16 个零件， 并测量其尺寸（单位：cm）根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从 正态分布 N( , 2) （1）假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16 个零件中

6、其尺寸在( 3 , +3 )之外的零件数，求 P(X 1) 及 X的数学期望； （2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在( 3 , +3 )之外的零件，就认为这条生产线在这一天的 生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查 （）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （）下面是检验员在一天内抽取的16 个零件的尺寸： 995 1012 996 996 1001 992 998 1004 1026 991 1013 10 02 922 1004 1005 995 经计算得 16 1 1 9.97 16 i i xx， 1616 2222 11 11 ()(16)0.212 1616 i

7、i ii sxxxx ，其中 xi为抽取 的第 i 个零件的尺寸，i=1,2, ,16 用样本平均数x作为 的估计值?，用样本标准差s 作为 的估计值?，利用估计值判断是否需对当 天的生产过程进行检查？剔除? ?(3 ,3 )之外的数据，用剩下的数据估计和 （精确到001） 附：若随机变量Z服从正态分布N( , 2)，则 P( 3 Z +3 )=09974， 09974 160 9592， 0.0080.09 元件 2 元件 3 元件 1 【2016，19】某公司计划购买2 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰机器有一易损零件，在购进机器 时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200 元在机器使

8、用期间，如果备件不足再购买，则每个500 元现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100 台这种机器在三年使用期内 更换的易损零件数，得下面柱状图： 以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替1 台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2 台机器的同时购买的易损零件数 （）求X的分布列； （）若要求5 .0)(nXP，确定 n的最小值； （）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在19n与20n之中选其一， 应选用哪个？ 0891011 20 40 频数 更换的易损零件数 【2015，19】某公司为确定下一年度投

9、入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 x（单位：千元）对年销售 量y（单位：t）和年利润z（单位： 千元） 的影响， 对近 8 年的年宣传费 i x和年销售量 i y（1,2,8i） 数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值. x y w 8 2 1 () i i xx 8 2 1 () i i ww 8 1 ()() ii i xxyy 8 1 ()() ii i wwyy 46.6 563 6.8 289.8 1.6 1469 108.8 表中 ii wx， 8 1 1 8 i i ww （）根据散点图判断，yabx与ycdx哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回 归方程类型？

10、（给出判断即可，不必说明理由） （）根据（）的判断结果及数据，建立y关于x的回归方程； （III）已知这种产品的年利润z与x，y的关系为0.2zyx，根据（）的结果回答下列问题： （i）年宣传费x=49 时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ii）年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？ 附：对于一组数据 1122 (,),(,),(,) nn u vuvu v，其回归直线vu的斜率和截距的最小二乘估计 分别为 1 2 1 ()() () n ii i n i i uu vv uu ，vu. 【2014，18】从某企业的某种产品中抽取500 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下

11、频 率分布直方图： ( ) 求这 500 件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差 2 s（同一组数据用该区间的中点值作代表）； （）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布 2 ( ,)N，其中近似为样 本平均数x， 2 近似为样本方差 2 s. (i) 利用该正态分布，求(187.8212.2)PZ； （ii ）某用户从该企业购买了100 件这种产品，记X表示这 100 件产品中质量指标值为于区间 （187.8,212.2）的产品件数，利用（i ）的结果，求EX. 附：15012.2. 若Z 2 ( ,)N，则()PZ=0.6826 ， (22 )PZ=0.9544.

12、【2013，19】一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4 件作检验，这4 件产品中 优质品的件数记为n.如果 n3，再从这批产品中任取4 件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验； 如果 n4，再从这批产品中任取1 件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品 都不能通过检验 假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为 1 2 ，且各件产品是否为优质 品相互独立 (1)求这批产品通过检验的概率； (2)已知每件产品的检验费用为100 元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的 费用记为 X(单位：元 )，求 X 的

13、分布列及数学期望 【2012，18】某花店每天以每枝5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10 元的价格出售，如 果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理。 （1） 若花店一天购进16 枝玫瑰花， 求当天的利润y（单位： 元） 关于当天需求量n（单位：枝，nN） 的函数解析式； （2）花店记录了100 天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表： 日需求量 n 14 15 16 17 18 19 20 频数10 20 16 16 15 13 10 以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率。 若花店一天购进16 枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元）， 求X的分布列、数学期望

14、及方差； 若花店计划一天购进16 枝或 17 枝玫瑰花，你认为应购进16 枝还是 17 枝？请说明理由。 【2011，19】某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或 等于 102 的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A配方和 B配方）做试验，各生产了100 件这种产 品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果： A配方的频数分布表 B配方的频数分布表 （）分别估计用A配方， B配方生产的产品的优质品率； （）已知用 B配方生成的一件产品的利润y( 单位：元) 与其质量指标值t 的关系式为 2,94 2,94102 4,102 t yt t 从

15、用 B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：元） ，求X的分布列及数学期望. （以试验 结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率） 指标值分组90,94) 94,98) 98,102) 102,106) 106,110 频数8 20 42 22 8 指标值分组90,94) 94,98) 98,102) 102,106) 106,110 频数4 12 42 32 10 9统计、概率分布列、计数原理（解析版） 一、选择题 【2017，2】如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部 分关于正方形的中心成中心对称在正方形内

16、随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（） A 1 4 B 8 C 1 2 D 4 【答案】 B 解析：设正方形边长为 2，则圆半径为1，则正方形的面积为224， 圆的面积为 2 1，图中黑色部分的概率为 2 ，则此点取自黑色部分的概率为 2 48 ，故选 B； 【2017，6】 6 2 1 (1)(1)x x 展开式中 2 x的系数为（） A15 B20 C30 D35 【答案】 C 解析： 666 22 11 1+1111xxx xx ，对 6 1x的 2 x项系数为 2 6 65 C15 2 ， 对 6 2 1 1x x 的 2 x项系数为 4 6 C =15， 2 x的系数为 1515

17、30，故选 C； 【2016，4】某公司的班车在30:7，00:8，30:8发车，小明在50:7至30:8之间到达发车站乘 坐班车，且到达发车丫的时候是随机的，则他等车时间不超过10 分钟的概率是 （A） 3 1 （ B） 2 1 （C） 3 2 （D） 4 3 【答案】 B 解析： 如图所示，画出时间轴： 8:208:107:507:408:308:007:30 BACD 小明到达的时间会随机的落在图中线段 AB中，而当他的到达时间落在线段 AC 或DB时，才能保证他 等车的时间不超过10 分钟，根据几何概型，所求概率 10101 402 P故选 B 【2015，4】 投篮测试中， 每人投

18、3 次，至少投中2 次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6， 且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为 （A）0.648 （B）0.432 （C）0.36 （D）0.312 【 答 案 】 A 解 析 ： 该 同 学 通 过 测 试 的 概 率 为 2232 30.6 0.40.60.6 (1.20.6)0.648C， 或 312 3 10. 40. 40. 60. 6 4 8C，选（ A）. 【2015，10】 25 ()xxy的展开式中， 52 x y的系数为（） （A）10 （B） 20 （C）30（ D）60 【答案】 C 解析： 在 25 ()xxy的 5

19、个因式中， 2 个取因式中 2 x剩余的 3 个因式中1 个取x，其余因式 取y，故 52 x y的系数为 212 532 30C C C. 另解： 5 252 ()()xxyxxy，含 2 y的项 2232 35 ()TCxxy，其中 23 ()xx中含 5 x 的项 为 1415 33 C x xC x，所以 52 x y的系数为 21 53 30C C，故选（ C）. 【2014，5】4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活 动的概率（） A. 1 8 B. 3 8 C. 5 8 D. 7 8 【答案】 D 解析： 4 位同学各自在周六、周日两

20、天中任选一天参加公益活动共有 4 216种， 周六、周日都有同学参加公益活动有两种情况：一天一人一天三人有 11 42 8C A种；每天 2 人有 2 4 6C 种，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为 867 168 ；或间接解法： 4 位同学都在周六或周日参加 公益活动有2 种，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为 1627 168 ；选 D. 【 2013，3】为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事 先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大在 下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是() A简

21、单随机抽样B按性别分层抽样C按学段分层抽样D系统抽样 【答案】 C 解析 ：因为学段层次差异较大，所以在不同学段中抽取宜用分层抽样 【2013，9】设 m 为正整数， (x y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(xy)2m 1 展开式的二项式系数 的最大值为b.若 13a7b，则 m () A5 B6 C7 D8 【答案】 B 解析： 由题意可知，a 2 C m m，b21 C m m ，又13a 7b， 2!21 ! 13=7 !1 ! mm m mm m ， 即 1321 71 m m .解得 m6.故选 B. 【2012，2】将 2 名教师， 4 名学生分成2 个小组，分别安排到甲、

22、乙两地参加社会实践活动，每个小组由 1 名教师和2 名学生组成，不同的安排方案共有（） A12 种B10 种C 9 种D8 种 【答案】 A 解析： 先安排甲组，共有 12 24 12CC种，再安排乙组，将剩余的1 名教师和2 名学生安排到 乙组即可，共有1 种，根据乘法原理得不同的安排方案共有12 种，故选择A。 【2011，4】有3 个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性 相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 （ A） 1 3 （ B） 1 2 （C） 2 3 （D） 3 4 【答案】 A 解析： 每个同学参加的情形都有3 种，故两个同学参加一

23、组的情形有9 种，而参加同一组的情 形只有 3 种，所求的概率为p= 31 93 选 A 【2011，8】 5 1 2 a xx xx 的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为 （A）-40 （B）-20 （ C ）20 （D）40 解 析1.令x=1得a=1.故 原 式 = 5 11 ()(2)xx xx 。 5 11 ()(2)xx xx 的 通 项 52155 155 ( 2)()(1 )2 rrrrrrr r TCxxCx，由 5-2r=1 得 r=2, 对应的常数项=80，由 5-2r=-1得 r=3, 对应的常数项=-40 ，故所求的常数项为40 ，选 D 解析 2. 用组

24、合提取法, 把原式看做6 个因式相乘，若第1 个括号提出x, 从余下的5 个括号中选2 个提 出 x，选 3 个提出 1 x ；若第 1 个括号提出 1 x ，从余下的括号中选2 个提出 1 x ，选 3 个提出 x. 故常数项 = 22332233 5353 111 (2)()()(2)X CXCCCX XXX =-40+80=40 二、填空题 【2016，14】 5 )2(xx的展开式中， 3 x的系数是 （用数字填写答案） 【答案】 10 解析： 设展开式的第1k项为 1k T，0,1,2,3,4,5k ， 5 5 5 2 155 C2C 2 k k k kkk k Txxx 当53 2

25、 k 时，4k，即 4 5 45 43 2 55 C 210Txx ， 故答案为10 【2014，13】 8 ()()xyxy的展开式中 22 x y的系数为 .(用数字填写答案) 【答案】20 解析： 8 ()xy展开式的通项为 8 18 (0,1,8) rrr r TC xyr， 777 88 8TC xyxy， 62626 78 28TC x yx y 8 ()()xyxy的展开式中 27 x y的项为 72627 82820xxyyx yx y，故系数为20。 【2012，15】某一部件由三个电子元件按下图方式连接 而成，元件1 或元件 2 正常工作，且元 件 3 正常工作，则部件正常

26、工作。设三个 电子元件的使用寿命（单位：小时）均服 元件 2 元件 3 元件 1 从正态分布N（1000，502） ，且各个元件 能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000 小时的概率为_。 【答案】 8 3 解析： 由已知三个电子元件的使用寿命超过1000 小时的概率均为 2 1 。 因此该部件的使用寿命超过1000 小时的概率为 8 3 2 1 ) 4 1 1(P。 三、解答题 【2017，19】为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16 个零件， 并测量其尺寸（单位：cm）根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从 正态

27、分布 N( , 2 ) （1）假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16 个零件中其尺寸在( 3 , +3 )之外的零件数，求 P(X 1) 及 X的数学期望； （2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在( 3 , +3 )之外的零件，就认为这条生产线在这一天的 生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查 （）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （）下面是检验员在一天内抽取的16 个零件的尺寸： 995 1012 996 996 1001 992 998 1004 1026 991 1013 10 02 922 1004 1005 995 经计算得 16 1 1 9.97 16

28、i i xx， 1616 2222 11 11 ()(16)0.212 1616 ii ii sxxxx ，其中 xi为抽取 的第 i 个零件的尺寸，i=1,2, ,16 用样本平均数x作为 的估计值?，用样本标准差s 作为 的估计值?，利用估计值判断是否需对当 天的生产过程进行检查？剔除? ?(3 ,3 )之外的数据，用剩下的数据估计和 （精确到001） 附：若随机变量Z服从正态分布N( , 2)，则 P( 3 Z +3 )=09974， 09974 160 9592， 0.0080.09 （19）【解析】（ 1）由题可知尺寸落在33，之内的概率为0.9974，落在33，之外 的概率为0.0026 0 016 160C10.99740.99740.9592P X， 11010.95920.0408P XP X，由题可知160.0026XB， 160.00260.0416E X （2）（ i）尺寸落在33，之外的概率为0.0026，由正态分布知尺寸落在33，之 外为小概率事件，因此上述监控生产过程的方法合理