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1、1 高考数学知识点总结 【理】 第一部分集合与简易逻辑 2 第二部分不等式的解法 2 第三部分函数 3 第四部分导数 6 第五部分三角函数 7 第六部分数列 . 10 第七部分平面向量 . 12 第八部分不等式性质. 13 第九部分直线和圆 . 14 第十部分圆锥曲线 . 15 第十一部分立体几何 . 18 第十二部分空间向量与立体几何. 19 第十三部分复数 . 21 第十四部分概率与统计. 21 第十五部分排列、组合和二项式定理、数学归纳法. 24 第十六部分极坐标与参数方程. 25 2 第一部分集合与简易逻辑 1.数集的符号表示：自然数集N ；正整数集N* ；整数集 Z；有理数集Q、实数
2、集R 2. 是任何集合的子集，条件为AB时不要遗忘了A的情况 3. 对于含有n个元素的有限集合子集数目：其子集、真子集、非空子集、非空真子集的 个数依次为2n , 2n -1, 2n -1, 2n -2 4. 理解集合的意义抓住集合的代表元素。如:x|y=f(x) 表示y=f(x)的定义域， y|y=f(x) 表示 y=f(x)的值域， (x,y)|y=f(x) 表示 y=f(x)的图像 5. A 是 B的子集ABAB=BA B=A ， 6. 四种命题及其相互关系:若原命题是 “若 p 则 q” ，则逆命题为 “若 q 则 p” ； 否命题为“若 p 则 q” ；逆否命题为“若q 则 p” 。
3、互为逆否关系的命题是等价命题.对于条件 或结论是不等关系或否定式的命题，一般利用等价关系“ABBA”判断其真假 7.要注意区别“否命题”与“命题的否定”：否命题要对命题的条件和结论都否定，而命 题的否定仅对命题的结论否定；命题“p或q”的否定是“p且q” ； “p且q”的否 定是“ p或q” 8、逻辑联结词：命题 pq真假判断：两真才真，一假则假；命题pq真假判断：两 假才假，一真则真；命题p真假与 P 相反 9、全称量词“所有的”、 “任意一个”等，用“”表示； 全称命题p：xM,P(x) ； 全称命题p 的否定p: xM,P(x) 。 存在量词“存在一个”、 “至少有一个”等，用“”表示；
4、 特称命题p： xM, P(x) ； 特称命题p 的否定p：xM,P(x) ； 10. 充要条件 : 由 A 可推出 B，A 是 B 成立的充分条件；B 是 A成立的必要条件。 从集合角度解释，若BA，则 A 是 B 的充分条件； B 是 A 的必要条件；小充分大必要 第二部分不等式的解法 11.一元二次方程的基础知识：求根公式：根的判别式：=b 2-4ac 根与系数关系： x1+x2= b a, x 1x2=c a根的分布： 方程 ax 2+bx+c=0 有两正根的条件是： 1212 0,0,0xxx xg； 有两负根的条件是： 1212 0,0,0xxxxg；有一正一负两根的条件是：0,
5、x1x20 的解集的端点值， 也是二次函数 y=ax 2+bx+c 的图象与 x轴的交点的横 坐标 14. 分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分变成标 准型 f(x) g(x) 0，再转化为整式不等式f(x)g(x)0求解，注意最高次项的系数要为正, 分母是 否有等于0 15.绝对值不等式的解法：单绝对值不等式用公式法：|xaxaxa或. 3 |xaaxa;双绝对值不等式可用“按零点分区间讨论”的方法来解 16.指数不等式、对数不等式的解法：先将不等式两边转化为同底的指对数式，再利用 单调性转化为整式不等式求解。注意对底数的讨论，对数不等式还要注意真数要大于0
6、第三部分函数 17. 函数定义：函数是定义在两个非空数集A，B上的一种特殊对应关系，对于A中每一 个数 x，在 B中都有唯一的数与之对应。函数图像与x轴的垂线至多有一个公共点 18.相同函数的判断方法：表达式相同 （与表示自变量和函数值的字母无关）；定义域 一致(两点必须同时具备) 19. 定义域求法 : 使函数解析式有意义( 如: 分母0; 偶次根式被开方数非负; 对数的真数 0,底数0且1；零指数幂的底数0) ；实际问题有意义；若( )f x定义域为 , a b, 复合函数 ( )f g x定义域由( )ag xb解出；若 ( )f g x定义域为 , a b, 则( )f x定义域 相当
7、于 , xa b时( )g x的值域 . 20.求函数值域（最值）的方法： （1）二次函数区间最值：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对关系）， （2）换元法通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征是 函数解析式含有根式或三角函数公式模型，如 2 2sin3sin1yxx ， 211yxx （运 用换元法时，要特别要注意新元t的范围） （3）单调性法利用一次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等函数的单调性， （4）导数法：一般适用于高次多项式函数或其他复杂函数，求导解导数为0 的根 计算极值和区间端点函数值比较大小，得出最值 21. 求函数解析式的常用方法： （1）代
8、换法：已知形如f(g(x) 的表达式，求f(x) 的表达式。可设g(x)=t, 用 t 表示 x,再代 回原式即可 （2）转化法： 若根据函数奇偶性求解析式，则设 x所求区间， 利用 f(x) = f( x)或 f(x) = f(x)求解析式 （ 3）方程的思想已知条件是含有( )f x及另外一个函数的等式，可抓住等式的特征 对等式的进行赋值， 从而得到关于( )f x及另外一个函数的方程组。通过解方程组得到f(x) 解析式。 如已知( )2 ()32f xfxx，求( )f x的解析式 22. 函数的单调性。 （1）定义：设函数y=f(x) 的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D内
9、的任意两 个自变量x1，x2，当x1f(x2) ） ，那么就说f(x) 在区间D 上是增函数（减函数） ； (2) 常见函数的单调性：y=kx+b( 看 k 正负 ) f(x)= ax2+bx+c（一看开口方向；二看对称轴） 指对数函数（看底数a1 增； 0x2（减函数） 23. 函数的奇偶性。 4 （1）具有奇偶性的函数定义域必须关于原点对称！为此确定函数的奇偶性时，务必先判 定函数定义域是否关于原点对称。 若 f(x)是奇函数 , 那么 f(x)=-f(-x)；若 f(x) 是偶函数 , 那么( )()(|)f xfxfx； 定义域含零的奇函数必过原点(f(0)=0)； （3）复合函数的奇
10、偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”. （4）若判断较为复杂解析式函数的奇偶性，应先化简再判断；既奇又偶的函数有无数个 ( 如y=0定义域关于原点对称即可). 奇函数在对称的区间有相同的单调性；偶函数在对称的区间有相反的单调性； 24. 函数的对称性： y=f(x)与 y=f(-x)的图像关于y 轴对称； y=f(x)与 y=-f(x)的图像关于x 轴对称； 若 f(a+x)=f(a-x)或 f(x)=f(2a-x)恒成立 , 则 y=f(x)图像关于直线x=a 对称； 若 f(a+x)=f(b-x)恒成立 , 则 y=f(x)图像关于直线x=a+b 2 对称； 25. 函数的周期性：若f(T+
11、x)=f(x),则 f(x)是周期函数， T 是它的一个周期。 若 y=f(x)满足f(x+a)=f(x-a)恒成立 , 则f(x)的 周期为2|a| ； 若 y=f(x)是偶函数 , 其图像又关于直线x=a 对称 , 则 y=f(x)的周期为2|a| ； 若 y=f(x)奇函数 , 其图像又关于直线x=a 对称 , 则 y=f(x)的周期为4|a| ； 若 y=f(x)关于点 (a,0),(b,0)对称 ,则 y=f(x)的周期为2|a-b|； y=f(x)的图象关于直线x=a, x=b对称 , 则函数 y=f(x)的周期为 2|a-b|； f(x+a)=-f(x)或 f(x+a)=- 1
12、f(x) , 则 y=f(x)的周期为2|a| ； 26. 指数式、对数式运算： m nm n aa， 1 m n m n a a ，loga10，logaa1;logex=lnx ，blogaNa bN，alogaN N， logab logcb logca， log aM n nlog aM ; loga(MN) logaMlogaN ; logaM N logaM logaN.； 27. 指数、对数值的大小比较：（ 1）化同底后利用函数的单调性；（ 2）利用中间量（0 或 1） ； （3）化同指数（或同真数）后利用图象比较。 28. 指数函数y=a x 与对数函数y=logax (a0
13、, a 1) 名称指数函数y=a x (a0 且 a1) 对数函数y=logax (a0 , a1) 定义域(- ,+ ) (0,+ ) 值域(0,+ ) (- ,+ ) 过定点（， 1）（1，） 图象 指数函数y=a x 与对数函数y=logax (a0 , a 1)图象关于y=x 对称 单调性 a1, 在(- ,+ ) 为增函数 0a1, 在(- ,+ ) 为减函数 a1, 在(0,+ )为增函数 a0）或向右 （0） 或向下（ ka, cosxa 型不等式，应先画出正余弦函数在0,2的图像，根据取值要求找出 对应角的范围，再加上周期2k即可，如果角的区间不连续，则平移使之相连。 tanx
14、a 问题要注意加周期k 第六部分数列 54.a nn S 与关系应用： Sna1a2, an； (1) 已知 n S求 n a，用作差法： 1 1 ,(1) ,(2) n nn Sn a SSn 。已知 12 ( ) n aaaf nL求 n a，用 作商法： (1),(1) ( ) ,(2) (1) n fn f n a n f n 。检验当n1 时，若a1适合SnSn1，则n1 的情况可并 入n2 时的通项an；当n1 时，若a1不适合SnSn1，则用分段函数的形式表示 (2) 由an与Sn的关系求an，通常用n1 代替n，两式作差将SnSn1用an替换，转化为 an与an 1的关系，然后
15、求解 11 (3) 由an与Sn的关系求Sn. 通常利用anSnSn 1(n2) 将已知关系式转化为Sn与Sn1的关 系式，然后求解 55. 等差数列的有关概念： （1）等差数列的判断方法：定义法 1 ( nn aad d为常数）或 11( 2) nnnn aaaan。 （2）等差数列的通项： 1 (1) n aand或() nm aanm d。 （3）等差数列的前 n项和： 1 () 2 n n n aa S， 1 (1) 2 n n n Snad。. （4）等差中项：若,a A b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且 2 ab A。 56. 等差数列的性质： （1） 当 m+n=p+q
16、时, 则有 qpnm aaaa， 特别地，当 m+n=2p时， 则有2 mnp aaa. (2) 若 an成等差数列 , 则 232 , nnnnn S SS SS， , 也成等差数列 57. 等比数列的有关概念： （1）等比数列的通项： 1 1 n n aa q或 n m nm aa q。 （2）等比数列的前n和：当 q=1 时， 1n Sna；当1q时，1(1 ) 1 n n aq S q 1 1 n aa q q 。 （3）等比中项：若,a A b成等比数列，那么A叫做a与b的等比中项。提醒：不是任何 两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个ab。 58. 等比数列的性质：
17、 （1）当 m+n=p+q时，则有 mnpq aaaagg，特别地，当m+n=2p时，则有 2 mnpaaag . (2)若 an是等比数列，且公比1q ，则数列 232 , nnnnn S SS SS也是等比数列。 (3) 如果数列 an既成等差数列又成等比数列，那么数列 na 是非零常数数列，故常数数 列 na 仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。 59. 递推数列的通项求法： (1) 若 1 ( ) nn aaf n 求an用累加法： 11221 ()()() nnnnn aaaaaaaL 1a 。 (2) 已知 1 ( ) n n a f n a 求an，用累乘法： 1
18、2 1 121 nn n nn aaa aa aaa L (3) 已知a1且an1AanB，则an1kA(ank)( 其中k可由待定系数法确定) ，转化为 等比数列 ank (4) 形如an1 Aan BanC 的数列，可通过两边同时取倒数方法构造新数列求解 60. 数列求和的常用方法： （1）分组求和法：等差数列与等比数列对应项相加而成的新数列的求和问题 (2)错位相减法：一个等差数列与一个等比数列对应项相乘而成的新数列的求和问题；如 基本步骤如下：乘上公比、错位书写；上下相减、末项为负；中间求和、注意项数， 右式整理、高次化低；去除系数、代2 检验。 (3)裂项相消法：解决通项公式是等差数列相邻两项乘积的倒数的新数列的求和问题