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1、专注专业口碑极致 - 1 - 1 分数指数幂 (1)规定：正数的正分数指数幂的意义是am n n a m(a0，m，nN*，且 n1)；正数的负分数指数幂的 意义是 am n 1 n a m (a0，m，nN *，且 n1)；0 的正分数指数幂等于 0；0 的负分数指数幂没有意义 (2)有理数指数幂的运算性质：a satast，(as)tast，(ab)tatbt，其中 a0，b0，s，tQ. 2 指数函数的图象与性质 ya x a100 时， y1； 当 x0 时， 01 (6)在 (， )上是增函数(7)在 (， )上是减函数 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)
2、(1) n a n(n a) na.( ) (2)分数指数幂a m n 可以理解为 m n个 a 相乘 ( ) 专注专业口碑极致 - 2 - (3)(1) 2 4 (1) 1 2 1.() (4)函数 ya x 是 R 上的增函数() (5)函数 y 2 1x a(a1)的值域是 (0， )() (6)函数 y2 x1 是指数函数 () 1函数 f(x)a x1 (a0，且 a 1)的图象经过定点坐标为 _ 2 函数 f(x)a x1 a(a0，a 1)的图象可能是 _(填图象序号 ) 3计算：3 3 1.5 6 12 lg 1 4lg 25_. 4 若函数 y(a 21)x 在(， )上为减
3、函数，则实数a 的取值范围是_ 5函数 y8 2 3x(x0)的值域是 _ 题型一指数幂的运算 例 1化简： (1) 3 1 3 1 4 2 1 4 1 3223 baba abba (a0，b0)； (2) 2 3 27 8 (0.002) 1 2 10(52) 1( 23) 0. 思维升华(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注 意： 必须同底数幂相乘，指数才能相加；运算的先后顺序 (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数 (3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数 专注专业口碑极致 - 3 - (1)(0.06
4、4 1 5 ) 2.5 2 3 3 33 8 0_. (2)( 1 4) 1 2 )()1.0( 4 331 3 1 ba ab _. 题型二指数函数的图象及应用 例 2(1)函数 f(x)ax b 的图象如 图所示，其中a，b 为常数，则下列结论正确的是_ a1，b1，b0； 00； 0f(c)f(b)，则下列结论中，一定成立的是 _ a0； 2 a 1.73; 0.6 10.62； 0.8 0.11.250.2; 1.7 0.30.93.1. 专注专业口碑极致 - 4 - (2)设 a 5 3 2 5 ，b 5 2 3 5 ，c 5 2 2 5 ，则 a，b，c 的大小关系是_ 命题点 2
5、解简单的指数方程或不等式 例 4设函数 f(x) 0, 0,7 2 1 xx x x ，若 f(a)0 且 a1)是定义域为 R 的奇函数 (1)若 f(1)0，试求不等式f(x 22x)f(x4)0 的解集； (2)若 f(1) 3 2，且 g(x)a 2xa2x4f(x)，求 g(x)在1， )上的最小值 思维升华指数函数的性质及应用问题解题策略 (1)比较大小问题常利用指数函数的单调性及中间值(0 或 1)法 (2)简单的指数方程或不等式的求解问题解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论 (3)解决指数函数的综合问题时，要把指数函数的概念和
6、性质同函数的其他性质(如奇偶性、周期性)相 结合，同时要特别注意底数不确定时，对底数的分类讨论 (1)已知函数f(x)2|2xm|(m 为常数 )，若 f(x)在区间 2， )上是增函数，则m 的取值 范围是 _ (2)函数 f(x) 4 1 2 2xx 的值域为 _ 专注专业口碑极致 - 5 - 4换元法在和指数函数有关的复合函数中的应用 典例(1)函数 y 1 2 1 4 1 xx 在区间 3,2上的值域是 _ (2)函数 f(x) 2 21 1 () 2 xx 的单调减区间为_ 思维点拨(1)求函数值域，可利用换元法，设t x 2 1 ，将原函数的值域转化为关于t 的二次函数的 值域 (
7、2)根据复合函数的单调性“同增异减 ” 进行探求 温馨提醒(1)解决和指数函数有关的复合函数的单调性或值域问题时，要熟练掌握指数函数的单调 性，搞清复合函数的结构，利用换元法转化为基本初等函数的单调性或值域问题； (2)换元过程中要注意“元”的取值范围的变化 方法与技巧 1通过指数函数图象比较底数大小的问题，可以先通过令x1 得到底数的值，再进行比较 2指数函数ya x (a0， a1)的性质和 a 的取值有关，一定要分清a1 与 00，a1)，满足 f(1)1 9，则 f(x)的单调递减区间是 _ 4若关于x 的方程 |a x1|2a (a0 且 a1)有两个不等实根，则 a 的取值范围是_
8、 5计算： 3 2 28 6 7 2 3 44 1 0 3 1 . 6已知函数ya xb (b0)的图象经过点 P(1,3)，如图所示，则 4 a1 1 b的最小值为 _ 7已知正数a 满足 a 22a30，函数 f(x)ax，若实数 m、n 满足 f(m)f(n)，则 m、n 的大小关系为 _ 8已知函数f(x)2 x1 2 x，函数 g(x) f x ，x0， f x ，x0，a 1)的值域为 1， )，则 f(4)与 f(1)的大小关系是 _ 12已知函数f(x)x4 9 x1，x(0,4)，当 xa 时， f(x)取得最小值 b，则在直角坐标系中函数g(x) bx a 1 的图象为 _ 13关于 x的方程 x 2 3 23a 5a 有负数根，则实数a 的取值范围为_ 14当 x(， 1时，不等式 (m 2 m) 4x2x0 恒成立，则实数 m 的取值范围是_ 专注专业口碑极致 - 8 - 15已知定义在实数集R 上的奇函数f(x)有最小正周期2，且当 x(0,1)时， f(x) 2 x 4 x1. (1)求函数 f(x)在 (1,1)上的解析式； (2)判断 f(x)在(0,1)上的单调性； (3)当 取何值时，方程f(x) 在(1,1)上有实数解？