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1、第 1 讲集合 高考导航 顺风启程 最新考纲常见题型 1.集合的含义与表示 (1)了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系 (2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体 问题 2.集合间的基本关系 (1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集 (2)在具体情境中，了解全集与空集的含义 3.集合的基本运算 (1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集 (2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集 (3)能使用 Venn 图表示集合的关系及运算. 多以选择题出 现于第 1 或第 2 题位置，是高考 必考内容，占5 分左右
2、 知识梳理 1集合的相关概念 (1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性. (2)元素与集合的两种元素：属于，记为；不属于，记为?. (3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法. (4)五个特定的集合： 集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集 符号N N*或 NZ Q R 2集合间的基本关系 表示 关系 文字语言符号语言记法 基本 关系 子集集合 A 的元素都是集合B 的元素xA? xB A? B 或B? A 真子 集 集合 A 是集合 B 的子集，且集合B 中 至少有一个元素不属于A A? B，且 ? x0B， x0 ?A AB 或 BA 相等集合 A，B 的元素完全相同A?
3、B，B? A AB 空集 不含任何元素的集合，空集是任 何集合 A 的子集 ? x，x?，? A? 3集合的基本运算 表示 运算 文字语言符号语言图形语言记法 交集 属于集合A且 属于集合B 的元素 组成的集合 x|xA，且 xB AB 并集 属于集合A或 属于集合B 的元素 组成的集合 x|xA，或 xB AB 补集 全集 U 中不属 于集合 A的元素组 成的集合 x|xU，且 x?A ?UA 知识感悟 1集合的运算性质 并集的性质： A?A；A AA；ABBA；A BA? B? A. 交集的性质： A?； A AA；ABBA； ABA? A? B. 补集的性质： A(?UA)U；A(?UA
4、)?；?U(?UA)A. 2判断集合关系的三种方法 (1)一一列举观察； (2)集合元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元 素的特征判断集合关系； (3)数形结合法：利用数轴或Venn图 3数形结合思想 数轴和Venn 图是进行交、并、补集运算的有力工具，数形结合是解集合问题的常用方 法，解题时要先把集合中各种形式的元素化简，使之明确化，尽可能地借助数轴、直角坐标 系或Venn 图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思 想方法解题 知识自测 1(2016 全国卷 )设集合 A 1,3,5,7 ，Bx|2x 5，则 AB() A1,3
5、B3,5 C5,7D1,7 解析 集合 A 与集合 B 的公共元素有3,5，故 AB3,5 ，选 B. 答案 B 2(2018 江西重点中学联考)已知集合 Ax|x 26x50 ，Bx|y x3 ，则 AB 等于 () A1,3 B1,5 C3,5 D1， ) 解析 根据题意， 得 A x|x 2 6x50 x|1x5 ， Bx|y x3 x|x3， 所以 AB x|3 x5 3,5 答案 C 3已知集合M1，m，Nn，log2n，若 MN，则 (mn) 2 017_. 解析 由 MN 知 n1， log2nm 或 nm， log2n1， m0， n1 或 m2， n2. 答案 1 或 0 题
6、型一集合的基本概念(基础拿分题 自主练透 ) 例 1(1)(2018 山东省枣庄十六中4 月模拟试卷 )设集合 A1,2,3 ， B4,5 ，Mx|x ab， aA，bB，集合 M 真子集的个数为() A32B31 C16D15 解析 由题意集合A1,2,3 ，B4,5 ，aA，bB，那么： a、b 的组合有： (1、 4)，(1、5)，(2、4)，(2、5)，(3、4)，(3、5)，Mx|xab ， M 5,6,7,8 ，集合 M 中 有 4 个元素，有2 4115 个真子集故选： D. 答案 D (2)已知 a，bR，若 a， b a，1 a 2， ab,0，则 a2018b2018 为
7、() A1 B0 C 1 D 1 解析 由已知得 a0，则 b a0，所以 b0，于是 a 21，即 a 1 或 a 1，又根据集 合中元素的互异性可知a 1 应舍去，因此a 1，故 a 2018b2018( 1)2018020181. 答案 A 方法感悟 1研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性，对于含有字母的集合，在求 出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性 2对于集合相等首先要分析已知元素与另一个集合中哪一个元素相等，分几种情况列出 方程 (组)进行求解，要注意检验是否满足互异性 【针对补偿】 1(2018 山西省大同市豪洋中学四模试卷)已知集合A xZ| 1 273
8、 x9 ，B xN| 2x 3 ，则集合 z|zxy，xA，yB的元素个数为() A6 B7 C8 D9 解析 由 1 273 x9，即 333x32，解得 3x2，A2， 1,0,1,2 B0,1,2 集合 z|zxy，x A，yB 2， 1，0,1,2， 4,4 的元素个数为7. 故选： B. 答案 B 2已知集合Am2,2m 2m，若 3A，则 m 的值为 _. 解析 由题意得m23 或 2m 2m 3，则 m1 或 m3 2，当 m1 时， m 23 且 2m 2m3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意； 当 m 3 2时， m2 1 2，而 2m 2 m 3，故 m3 2. 答案
9、3 2 3已知 P x|24，即 c4. 答案 4 题型三集合的基本运算(高频考点题，多角突破) 集合的基本运算是历年各地高考的热点，每年必考， 常和不等式的解集、函数的定义域、 值域相结合命题，主要以选择题的形式出现试题难度不大，多为低档题 高考对集合运算的考查主要有以下三个命题角度： (1)求集合间的交、并、补运算； (2)已知集合的运算结果求集合； (3)已知集合的运算结果求参数的值(或参数的取值范围) 考向一求交集 1(2017 课标 )已知集合A ( x，y)|x 2y21 ，B (x，y)|yx ，则 AB 中元素的 个数为 () A3 B2 C1 D0 解析 集合中的元素为点集，
10、由题意， 结合 A 表示以 (0,0)为圆心， 1 为半径的单位圆上 所有点组成的集合，集合B 表示直线yx 上所有的点组成的集合，圆x 2y21 与直线 yx 相交于两点 (1,1)，(1， 1)，则 AB 中有两个元素故选B. 答案 B 考向二求并集 2(2016 山东卷 )设集合 A y|y2 x， xR ，B x|x210 ，Bx|11，选 C. 答案 C 考向三集合的交、并、补的综合运算 3 (2018 山东省德州市四月二模) 设全集U R，集合M x|x 2 x 2 0 ， N x| 1 2 x12 ，则 (? UM)N () A2,0 B2,1 C0,1 D0,2 解析 M x|
11、x 1 或 x 2，?UM x|2x1 ，N x|x 11 x|x 0， 所以 (?UM)Nx|2x0 ，故选 A. 答案 A 考向四利用集合运算求参数 4已知集合A x|x 2x120， Bx|2m1xm 1，且 ABB，则实数m 的取值范围为() A1,2) B1,3 C2， ) D1， ) 解析 由 x 2x120，得 (x3)(x4)0， 即 3x4，所以 A x| 3x4，又 A BB， 所以 B? A. 当 B?时，有 m12m1，解得 m2. 当 B?时，有 3 2m1， m14， 2m1m1， 解得 1 m 2. 综上， m 的取值范围为1， ) 答案 D 考向五集合的斜定义问
12、题 5已知集合A( x，y)|x 2y2 1，x，yZ ，B(x，y)|x| 2，|y|2，x，yZ ，定 义集合 AB ( x1 x2， y1y2)|(x1， y1)A， (x2， y2)B， 则 A B 中元素的个数为() A77 B49 C45 D30 解析 如图，集合A 表示如图所示的所有圆点“” ，集合 B 表示如图所示的所有圆 点“” 所有圆点 “ ”，集合 AB 显然是集合 ( x，y)|x|3，|y|3，x，yZ中除去 四个点 ( 3，3)，(3,3)，(3，3)，(3,3) 之外的所有整点(即横坐标与纵坐标都为整数的 点)，即集合 AB 表示如图所示的所有圆点“” 所有圆点
13、“ ”所有圆点 “”，共 45 个，故 AB 中元素的个数为45.故选 C. 答案 C 方法感悟 集合基本运算的常见题型与破解策略： 重点题型破解策略 求并集、交集或补集一般是先解方程或不等式化简集合，再由并集、交集或补集的定义求解 交、并、补的混合运算先算括号里面的，再按运算的顺序求解 利用集合的基本运算 求参数的取值(范围 ) 数形结合思想的运用，利用好数轴、Venn图等 集合的定义问题 解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义，首先分析定义的 特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中， 这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；(2)用好集合
14、的性质，解题时要善于 从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质. 【针对补偿】 6(2017 山东 )设函数y4x 2的定义域 A，函数 yln(1x)的定义域为B，则 AB () A(1,2) B(1,2 C(2,1) D2,1) 解析 由 4x 20 得 2x2，由 1x0 得 x1，故 ABx|2x2 x|x 1 x|2 x1，选 D. 答案 D 7(2018 山东省青岛市数学一模试卷)已知集合Ax|x1|1 ，Bx|x 1，则 (? RA)B () A1,0 B1,0) C(2， 1) D(2， 1 解析 Ax|x1|1 x|x 2 或 x 0， ?RA
15、x|2x0 ，又 B x|x 1， (?RA)B 1,0)故选： B. 答案 B 8定义一种新的集合运算：AB x|xA，且 x?B，若集合Ax|x 24x30， Bx|2x 4，则按运算，BA 等于 () Ax|3x4 B x|3 x4 Cx|3x4 Dx|2 x4 解析 Ax|1x3，B x|2x4 ， 由题意知B A x|xB，且 x?A x|3x4 答案 B 牛刀小试 成功靠岸 课堂达标 (一) A 基础巩固练 1(2017 课标 )已知集合A x|x0 ，Bx|xa 0， 若?UB? A，则实数 a 的取值范围是() A(， 1) B(， 2 C1， ) D2， ) 解析 x 23x
16、 20，x2 或 x2 或 xa ?UB? A，借助数轴可知 a2，故选 D. 答案 D 7已知集合Ax|yx ，B x 1 22 x4 ，则 (?RA)B 等于 _ 解析 因为Ax|yx x|x0，所以 ?RAx|x0 又B x 1 22 x4 x| 1x2 ，所以 (?RA)B x|1x0 答案 x|1x0 8已知集合A x|1x3 ， Bx|m x m ，若B? A，则m 的取值范围为 _. 解析 当 m0 时， B?，显然 B? A. 当 m0 时，A x|1x3 当 B? A 时，在数轴上标出两集合，如图， m1， m3， mm. 0m1. 综上所述m 的取值范围为 (，1 答案 (， 1 9(2018 南阳月考 )设全集 UR，集合 A x|yx 22x3 ，B y|yex1 ，则 A B_. 解析 因为 A x|x3 或 x1，B y|y1 ，