2011—2018年新课标全国卷2文科数学试题分类汇编——9.数列.pdf

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1、20112018 年新课标全国卷2 文科数学试题分类汇编 9数列 一、选择题 （2015 5）设 n S是等差数列 n a的前n项和，若3 531 aaa，则 5 S（） A. 5 B. 7 C. 9 D. 11 （2015 9）已知等比数列 n a满足 4 1 1 a，) 1(4 453 aaa，则 2 a（） A. 2 B. 1 C. 2 1 D. 8 1 （2014 5）等差数列 an的公差为 2，若 a2，a4，a8成等比数列，则 an的前 n 项 Sn=（ ） A(1)n nB(1)n nC (1) 2 n n D (1) 2 n n （2012 12）数列 n a 满足 1 ( 1

2、)21 n nn aan，则 n a的前 60 项和为（） A3690 B3660 C1845 D1830 二、填空题 （2014 16）数列 na 满足 n n a a 1 1 1 ， 2 a= 2，则 1 a=_. （2012 14）等比数列 n a的前 n 项和为 Sn，若 S3+3S2=0，则公比q= . 三、解答题 (2018 17)记 nS 为等差数列 na的前n项和，已知17a，315S （1）求 na的通项公式； （2）求 nS ，并求nS 的最小值 （2017 17）已知等差数列 an的前 n 项和为 S n，等比数列 bn的前 n 项和为 Tn，a1=-1，b1=1，a2

3、+ b2 = 2. （ 1）若 a3 + b3 = 5，求 bn的通项公式；（ 2）若 T3=21，求 S3. （2016 17）等差数列 an中， a3 + a4 = 4，a5+ a7 = 6 （）求 an的通项公式； （）设bn=lgan，求数列 bn的前 10 项和，其中 x表示不超过 x 的最大整数，如0.9=0 ，2.6=2. （2013 17）已知等差数列 n a的公差不为零， 1 25a，且 11113 ,a aa成等比数列 . （）求 n a的通项公式； （）求 14732+naaaa . （2011 17）已知等比数列an 中， 1 1 3 a ，公比 1 3 q. （I）

4、Sn为an 的前 n 项和，证明： 1 2 n n a S； （II）设 31323 logloglog nn baaaL L，求数列 bn的通项公式 . 20112018 年新课标全国卷2 文科数学试题分类汇编 9数列 一、选择题 （2015 新课标，文5）设 n S是等差数列 n a的前n项和，若3 531 aaa，则 5 S（） A. 5 B. 7 C. 9 D. 11 【答案】 A 解析： 13533 331aaaaa， 15 53 5 55 2 aa Sa. （2015 新课标，文9）已知等比数列 n a满足 4 1 1 a，) 1(4 453 aaa，则 2 a（） A. 2 B.

5、 1 C. 2 1 D. 8 1 【答案】 C 解析： 由 a42 =a3 a5= 4(a4- 1)，得 a4 = 2，所以 3 4 1 82 a qq a ，故 21 1 2 aa q. （2014 新课标，文5）等差数列 an 的公差为 2，若 a2，a4，a8成等比数列，则 an 的前 n 项 Sn=（ ） A(1)n nB(1)n nC (1) 2 n n D (1) 2 n n 【答案】 A 解析：d=2，a2，a4，a8成等比， a4 2 = a2 a8， 即 a4 2=(a 4- 4)(a4 + 8)， 解得 a4=8， a1=a4- 3 2=2， 1 (1)(1) 22(1)

6、22 n n nn n Snadnn n，故选 A. （2012 新课标，文12）数列 n a满足 1 ( 1)21 n nn aan，则 n a的前 60 项和为（） A3690 B3660 C1845 D1830 【答案】 D 解析：【法 1】有题设知 211aa ， 32aa =3， 43aa =5， 54aa =7， 65aa =9， 76 aa=11， 87 aa=13， 98 aa=15， 109 aa=17， 1110 aa=19， 1211 21aa， 得 13 aa=2， +得 42 aa=8， 同理可得 57 aa=2， 68 aa=24， 911 aa=2， 1012 a

7、a=40， ， 13 aa， 57 aa， 911 aa，是各项均为2 的常数列， 24 aa， 68 aa， 1012 aa，是首 项为 8，公差为16 的等差数列， n a 的前 60 项和为 1 15215816 15 14 2 =1830. 【 法 2】 1414243444342424 1616 nnnnnnnnnn baaaaaaaab 112341 5 1 51 4 1 01 01 51 61 8 3 0 2 baaaaS 二、填空题 （2014 新课标，文16）数列 n a满足 n n a a 1 1 1 ， 2 a= 2，则 1 a=_. 【答案】 2 1 解析： 由已知得

8、1 1 1 n n a a ， 8 2a， 7 8 11 1 2 a a ， 6 7 1 11a a ， 5 6 1 12a a ， 4321 11 12 22 aaaa，. （2012 新课标，文14）等比数列 n a的前 n 项和为 Sn，若 S3+3S2=0，则公比q= . 【答案】- 2 解析： 当q=1 时， 3 S= 1 3a， 2 S= 1 2a，由 S3+3S2=0 得， 1 9a=0， 1 a=0 与 n a 是等比数列 矛盾，故q1，由 S3+3S2=0 得， 32 11 (1)3 (1) 0 11 aqaq qq ，解得q= 2. 三、解答题 (2018 新课标，文17)

9、记 nS 为等差数列 na的前n项和，已知17a，315S （ 1）求 na的通项公式；（2）求nS ，并求nS 的最小值 解析：（1）因为 32 =3Sa ，所以 2 5a，所以 21 =-572d aa，所以数列 n a是以7 为首项，2为公差 的等差数列，72129 nann ，所以数列 n a的通项公式为29, nann N . （2）由（）可知：前n 项和 12 8 2 n n n aa Snn 所以对称轴为 8 4 2 n， 4 min 163216 n SS 故 2 8 , n Snn nN ， min 16 n S （2017 新课标，文17）已知等差数列 an的前 n 项和为

10、 Sn，等比数列 bn的前 n 项和为 Tn，a1=- 1，b1=1， a2 + b2 = 2. （ 1）若 a3 + b3 = 5，求 bn的通项公式；（ 2）若 T3=21，求 S3. （2017 17）解析： （1）设an的公差为 d，bn的公比为 q，则 an = - 1+(n- 1)d， bn = qn-1 . 由 a2 + b2 = 2 得 d+q=3 ，由 a3 + b3 = 5 得 2d+q2=6 ，联立和解得 3 0 d q （舍去） 1 2 d q ，因此 bn的通项公式 bn =2 n+1 . （ 2）由 b1=1，T1=21，得 q2+q- 20=0. 解得 q = -

11、 5 或 q=4，当 q =- 5 时，由得 d=8，则 S3=21；当 q=4 时，由得d=- 1，则 S3=- 6. （2016 新课标，文17）等差数列 an中， a3 + a4 = 4，a5+ a7 = 6 （）求 an的通项公式； （）设bn=lgan，求数列 bn的前 10 项和，其中 x表示不超过 x 的最大整数，如0.9=0 ，2.6=2. （2016 17）解析： （）设数列 n a的公差为d，由题意有 11 254,53adad，解得 1 2 1, 5 ad，所 以 n a 的通项公式为 23 5 n n a . （）由 （）知 23 5 n n b， 当 n=1, 2,

12、3 时， 23 12,1 5 n n b； 当 n=4, 5 时， 23 23,2 5 n n b； 当 n=6, 7, 8 时， 23 34,3 5 n n b；当 n=9, 10 时， 23 45,4 5 n n b，所以数列 n b的前 10 项 和为1 3223 34224. （2013 新课标，文17）已知等差数列 n a的公差不为零， 1 25a，且 11113 ,a aa成等比数列 . （）求 n a的通项公式； （）求 14732 + n aaaa. （2013 17）解析： （）设 an的公差为 d. 由题意， a11 2 a 1a13，即 (a110d) 2a 1(a112

13、d) 于是 d(2a1 25d)0. 又 a125，所以 d0（舍去）， d 2. 故 an 2n27. （）令Sna1a4 a7 a3n2. 由()知 a3n2 6n 31，故 a3n2是首项为 25，公差为 6 的 等差数列从而Sn 2 n (a1a3n2) 2 n (6n 56) 3n 228n. （2011 新课标，文17）已知等比数列an中， 1 1 3 a ，公比 1 3 q. （I） Sn为an 的前 n 项和，证明： 1 2 n n a S； （II）设 31323 logloglog nn baaaL L，求数列 bn的通项公式 . （2011 17）解析：（） 11 11

14、( )( ) 3 33 nn n a， 11 (1) 13 33 1 2 1 3 n n n S ， 1 2 n n a S （） 31323 logloglog nn baaa123 (1) 2 （）=n n n L，数列 n b 的通项公 式为 (1) 2 n n n b 20112018 年新课标全国卷2 文科数学试题分类汇编 9数列（解析版） 一、选择题 （2015 5）A 解析： 13533 331aaaaa， 15 53 5 55 2 aa Sa. （2015 9）C 解析： 由 a42 =a3 a5= 4(a4- 1)，得 a4 = 2，所以 3 4 1 82 a qq a ，故

15、 21 1 2 aa q. （2014 5） A 解析：d=2， a2， a4， a8成等比， a4 2 = a2 a8，即 a4 2=(a 4- 4)(a4 + 8)， 解得 a4=8， a1=a4- 3 2=2， 1 (1)(1) 22(1) 22 n n nn n Snadnn n，故选 A. （2012 12）D 解析：【法 1】有题设知 21 1aa， 32 aa=3， 43 aa=5， 54 aa=7， 65 aa=9， 76 aa=11， 87 aa=13， 98 aa=15， 109 aa =17， 1110 aa =19， 1211 21aa， 得 13 aa=2， +得 4

16、2 aa=8， 同理可得 57 aa=2， 68 aa=24， 911 aa=2， 1012 aa=40， ， 13 aa， 57 aa， 911 aa，是各项均为2 的常数列， 24 aa， 68 aa， 1012 aa，是首 项为 8，公差为16 的等差数列， n a 的前 60 项和为 1 15215816 15 14 2 =1830. 【 法 2】 1414243444342424 1616 nnnnnnnnnn baaaaaaaab 112341 5 1 51 4 1 01 01 51 61 8 3 0 2 baaaaS 二、填空题 （2014 16） 2 1 解析： 由已知得 1

17、1 1 n n a a ， 8 2a， 7 8 11 1 2 a a ， 6 7 1 11a a ， 5 6 1 12a a ， 4321 11 12 22 aaaa，. （2012 14）- 2 解析： 当q=1 时， 3 S= 1 3a， 2 S= 1 2a，由 S3+3S2=0 得， 1 9a=0， 1 a=0 与 n a 是等比数 列矛盾，故q1，由 S3+3S2=0 得， 32 11 (1)3(1) 0 11 aqaq qq ，解得q=2. 三、解答题 (2018 新课标，文17)记 n S 为等差数列 n a的前n项和，已知 1 7a， 3 15S （1）求 n a的通项公式；（2

18、）求 n S ，并求 n S 的最小值 解析：（1）因为 32=3Sa ，所以25a，所以21=-572d aa，所以数列 n a是以 7 为首项，2为公差 的等差数列，72129 n ann，所以数列 n a的通项公式为29, n annN . （2）由（）可知：前n 项和 12 8 2 n n n aa Snn 所以对称轴为 8 4 2 n， 4 min 163216 n SS 故 2 8 , n Snn nN， min 16 n S （2017 17）已知等差数列 an的前 n 项和为 Sn，等比数列 bn的前 n 项和为 Tn，a1=-1，b1=1，a2 + b2 = 2. （ 1）若

19、 a3 + b3 = 5，求 bn的通项公式；（ 2）若 T3=21，求 S3. （2017 17）解析： （1）设an的公差为 d，bn的公比为 q，则 an = - 1+(n- 1)d， bn = qn-1 . 由 a2 + b2 = 2 得 d+q=3 ，由 a3 + b3 = 5 得 2d+q2=6 ，联立和解得 3 0 d q （舍去） 1 2 d q ，因此 bn的通项公式 bn =2 n+1 . （ 2）由 b1=1，T1=21，得 q2+q- 20=0. 解得 q = - 5 或 q=4，当 q =- 5 时，由得 d=8，则 S3=21；当 q=4 时，由得d=- 1，则 S

20、3=- 6. （2016 17）等差数列 an中， a3 + a4 = 4，a5+ a7 = 6 （）求 an的通项公式； （）设bn=lgan，求数列 bn的前 10 项和，其中 x表示不超过 x 的最大整数，如0.9=0 ，2.6=2. （2016 17）解析： （）设数列 n a的公差为d，由题意有 11 254,53adad，解得 1 2 1, 5 ad，所 以 n a的通项公式为 23 5 n n a . （）由 （）知 23 5 n n b， 当 n=1, 2, 3 时， 23 12,1 5 n n b； 当 n=4, 5 时， 23 23,2 5 n n b； 当 n=6, 7,

21、 8 时， 23 34,3 5 n n b；当 n=9, 10 时， 23 45,4 5 n n b，所以数列 n b的前 10 项 和为1 3223 34224. （2013 17）已知等差数列 n a的公差不为零， 1 25a，且 11113 ,a aa成等比数列 . （）求 n a的通项公式； （）求 14732 + n aaaa. （2013 17）解析： （）设 an的公差为 d. 由题意， a11 2 a 1a13，即 (a110d) 2a 1(a112d) 于是 d(2a1 25d)0. 又 a125，所以 d0（舍去）， d 2. 故 an 2n27. （）令Sna1a4 a7

22、 a3n2. 由()知 a3n2 6n 31，故 a3n2是首项为 25，公差为 6 的 等差数列从而Sn 2 n (a1a3n2) 2 n (6n 56) 3n 228n. （2011 17）已知等比数列an 中， 1 1 3 a ，公比 1 3 q. （I） Sn为an 的前 n 项和，证明： 1 2 n n a S； （II）设 31323 logloglog nn baaaL L，求数列 bn的通项公式 . （2011 17）解析：（） 11 11 ( )( ) 3 33 nn n a ， 11 (1) 13 33 1 2 1 3 n n n S， 1 2 n n a S （） 31323 logloglog nn baaa 123 (1) 2 （）=n n n L ，数列 n b 的通项公 式为 (1) 2 n n n b