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1、1 2016 年全国高中数学联赛广东省预赛 试 题 一、填空题（每小题8 分，共 64 分） 1. 设 函 数)(xf是 偶 函 数)(xf)0(x的 导 函 数 ，0)1(f， 当 0x 时 ， 0)()(xfxf x，则使得0)(xf成立的x的取值范围是_. 2. 若正数yx,满足xyyx53，则yx43的最小值是_. 3. 将正整数,2, 1n按第k组含1k个数分组：),9, 8 ,7,6(),5 ,4,3(),2, 1(, 那么 2016 在第_组. 4. 数列 1 n n ，1, 2,n,中的最小项的值为_. 5. 设函数 2 1)(axxexf x 当0x时单调递增，则a的取值范围
2、为_. 6. 从m个男生和n个女生104mn中任选2 个人当班长，假设事件A表示选 出的 2 个人性别相同， 事件B表示选出的2 个人性别不同. 如果A的概率和B的概率相同， 则,m n可能为 _. 7. 已知锐角,满足条件：, 1 sin cos cos sin 2 4 2 4 则_. 8. 设抛物线xyC4: 2 的焦点为F, 过点F的直线L与C交于QP,两点 . 设L与抛 物线C的准线交于点M, 且FPFM3，则|FP_. 二、解答题（本大题共3 小题，共56 分） 9.如图 1，直角梯形ABCD， 1 =1 2 ABADDC. 将ABD沿BD折起来，使平 面ABD平面BCD，如图 2，
3、设G为AD的中点，2AHHC，BD的中点为O. （1）求证：AO平面BCD； （2）求平面GHB与平面BCD所成锐二面角的余弦值； （3）在线段BC上是否存在点E，使得DE平面GBH，若存在确定点E的位置，若不 存在，说明理由. 2 10.已知椭圆C：)0(1 2 2 2 2 ba a y b x ，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有 两个交点 A，B，线段AB的中点为M . 证明： （ 1）直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值 2 2 b a ； （ 2）若l过点),(ab，延长线段OM与C交于点P，当四边形OAPB为平行四边形时， 则直线l的斜率 b a kl 3 74 . 11.
4、 已 知 12 , m a aa都 是 不 等 于0的 数)2m（， 且 对 于 任 意 整 数 ,0,1,2,1 ,k kn nm都有 12 20, kk m aam a证明数列 12 , m a aa中至少 存在1n对相邻的数符号相反. 解 答 1. ) 1 ,0()0, 1(提示：令 x xf xF )( )(，则)(xF为奇函数，在),0(上单调递 减，通过图象得0)(xf成立的x的取值范围是) 1 ,0()0, 1(. 2. 5. 提示：由)0,0(53yxxyyx， 可化为若yxyx434 5 9 3 5 4 , 即 25 36 5 4 4 5 9 3yx. 易知， 5 1 , 5
5、 3 yx ，则 5 9 3x和 5 4 4y均为正数 .于是，由基本不等式，得 5 5 13 25 36 2 5 13 5 4 4 5 9 32 5 13 5 4 4 5 9 343 yx yxyx 3 当且仅当 94 34 55 xy，即 2 1 , 1 yx时，上述不等式取等号，因此yx43的最小值 为5. 3. 63. 提 示 ： 第n组 的 最 后 一 个 数 为n nn 2 )1( ， 当n=62时 ， 2 0 1 562 2 6362 2 )1( n nn ，故 n=63. 4. 3 1 3 提示：讨论函数 x xxf)(的最值 . 5. 2/1 ,(提 示 ： 题 设 即0,0
6、21)( xaxexf x 恒 成 立 . 设 x e xg x 2 1 )(，则0 2 1 )( 2 x exe xg xx ，所以 g(x)是增函数，最小值在接近0 处取得， 使用洛必达法则得： 2 1 2 1 lim)(lim x e xg x ，以a的取值范围是2/1 ,( 6. (, )(10,6)m n提示： 22 2 ( ) mn m n CC P A C 11 2 2 ( )2 mn m n C C P Bmmn C mn是完全平方数， 916 34 m nm n m nm n 919 mn(, )(10,6).m n 7. o 90提示：由于 0)sin sin cos ()
7、cos cos sin (1 sin cos cos sin 2 2 2 2 2 4 2 4 ， 且,都为锐角，因此 o 90. 8. 3 4 提示：过点P作准线的垂线交于点H, 则 |FP|=|PH|. 由 3 2 | | 2 |PH| MF MP , 我们有 |PH|= 3 4 , 故|FP|= 3 4 9. （1）=ABAD，O为BD的中点 , AOBD, 又平面ABD平面BCD,平面ABD平面BCDBD, 4 AO平面BCD . （2）取DC的中点M，连结OM，则OMBC 由图 1 可知， =B=2BDC , =2DC ， BCBD, OMBD, 由（ 1）知，AO平面BCD ， OA
8、,OM,BD两两垂直， 分别以射线OD,OM,OA为x轴，y轴，z轴的正方向， 建 立空间直角坐标系， (0,0,0)O， 22 (,0,) 44 G, 2 (0,0,) 2 A, 2 (,0,0) 2 B, 2 (,2,0) 2 C, 2AHHC， 2 222 (,) 336 H, 设平面GHB 的法向量为 , ,nx y z ， 0 0 GB n GHn , 30 780 xz xyz ，取 1x ，则 1 1, 3 2 n ， 由（ 1）知 ， 2 (0,0,) 2 OA是平面BCD的法向量， 平面GHB与平面BCD所成锐二面角的余弦值为 641 coscos, 41 n OA. (3)
9、 假设在线段BC上存在点E，使得DE平面GBH，设01BEBC, 2 ,2 ,0 2 E , 又 2 (,0,0) 2 D， 12 2,2 ,01, , 320 22 DE n ，2, 这与01矛盾，所以在线段BC上不存在点E, 使得DE平面GBH . 10.（1）设),( 11 yxA，),( 22 yxB，),( 00 yxM，因为直线l不过原点O且不平行于坐标轴， 所以0, 0, 21212121 yyxxyyxx，于是 12 12 xx yy kl， 0 0 x y kOM. 5 因 为M为 线 段AB的 中 点 ， 所 以 021 2xxx， 021 2yyy， 又1 2 2 1 2
10、 2 1 b x a y ， 1 2 2 2 2 2 2 b x a y ，两式相减得， 0)( 1 )( 1 2121221212 xxxx b yyyy a ， 整理得 2 2 21 21 12 12 b a xx yy xx yy ，所以 2 2 0 0 12 12 2 2 b a x y xx yy ，所以 2 2 b a kk OMl ，所以直 线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值 2 2 b a . 四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段 AB与线段OP互相平分 . 设 ),( 00 yxM，则)2,2( 00 yxP，因为点P在椭圆C上，所以 4 1 2 2 0 2 2 0 b x
11、 a y ，即 4 22 2 0 22 0 2ba ybxa 由 （ 1) 的 结 论 可 知 2 2 b a kk OMl ， 又 因 为 0 0 xb ya kl， 0 0 x y kOM， 所 以 2 2 0 0 0 0 b a x y xb ya ，整理可得 4 22 0 2 0 2 2 0 2 2 0 2 ba yabbxaybxa， 所以 4 00 ab byax， 由可得，)(4)(16 2 0 22 0 22 00 ybxabyax 整理可得，0383 2 0 2 00 2 0 2 ybyabxxa， 所以03)(8)(3 2 0 02 0 02 a x y ab x y b，
12、 所以 b aa b babaab x y 3 74 6 36648 2 2222 0 0 ，所以 b aa kOM 3 74 , 所以 b a b aa b a k b a k OM l 3 74 3 74 2 2 2 2 6 11. 不妨设0, m a否则可将 12 , m a aa中所有数都乘以1.取 0 ,1, n j ij j bciim， 其中 01 , n c cc为任意实数，由已知条件有 11001 0 mmnnm jj iiijji iijji abac icai（1）. 设数列 12 , m a aa中有k对相邻的数符号相反，用 12 , k i ii表示这些数对中第一个元素 的下标 12 1. k iiim 如果1,kn我们取 12 ( ) ik ibfixixix， 其中 1 ,1,2, . 2 ll xilk 函数f在且仅在点 12 , k x xx处变号，注意到 1 , 2 ll xi我们有 1 0,1,2, . iil b biilk 所以，数列 12 , m a aa中变号的数对和数列 12 , m b bb中变号的数对的下标是相同的。 又因为0,0, mm ab所以 i a和1,2, i bim同号，从而有 0 ii a b 1 0 m ii i a b 与矛盾。故1.kn