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1、第二节极坐标与参数方程 ( 选修 4-4) 考纲解读 1. 理解坐标系的作用. 2. 了解在直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况. 3. 能在极坐标中用极坐标表示点的位置. 理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点 的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化. 4. 能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程 . 通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时 选择适当坐标系的意义. 5. 了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中的点的位置的方法，并与空间直角坐标系中 表示点的位置方法相比较，了解它们的区别. 6. 了解参数方程,了解
2、参数的意义. 7. 能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程. 8. 掌握参数方程化普通方程的方法. 命题趋势探究 本章是新课标新增内容，属选考内容，在高考中可能有所体现. 参数方程是解析几何、平面向量、三角函数、圆锥曲线与方程等知识的综合应用 和进一步深化，是研究曲线的工具之一，值得特别关注. 知识点精讲 一、极坐标系 在平面上取一个定点O，由点O出发的一条射线Ox、一个长度单位及计算角度 的正方向 (通常取逆时针方向)，合称为一个极坐标系. 点O称为极点，Ox称为极轴 .平面 上任一点M 的位置可以由线段OM的长度和从Ox到OM的角度(弧度制 )来刻画 (如图 16-31 和图 1
3、6-32 所示 ). 这两个实数组成的有序实数对( ,)称为点 M 的极坐标 .称为极径，称为极 角 . 二、极坐标与直角坐标的互化 设M为平面上的一点，其直角坐标为( ,)x y，极坐标为( , )，由图16-31 和图 16-32 可知，下面的关系式成立: cos sin x y 或 222 tan(0) xy y x x （对0也成立） . x O (, )M 图 16-31 y x O ( , )Mx y 图 16-32 三、极坐标的几何意义 r表示以O为圆心，r为半径的圆； 0表示过原点 ( 极点 ) 倾斜角为 0的直线，0( 0)为射线； 2 cosa表示以( ,0)a为圆心过O点
4、的圆 . (可化直角坐标 : 2 2cosa 22 2xyax 222 ()xaya.) 四、直线的参数方程 直线的参数方程可以从其普通方程转化而来，设直线的点斜式方程为 00 ()yyk xx，其中tan(k为直线的倾斜角)，代人点斜式方程: 00 sin ()() cos2 yyxx, 即 00 cossin xxyy . 记上式的比值为t, 整理后得 0 0 cos tsin xxt yy , 2 也成立，故直线的参数方 程为 0 0 cos t sin xxt yy (t为参数，为倾斜角， 直线上定点 000 (,)Mxy，动点( , )M x y， t为 0 M M的数量，向上向右为
5、正(如图 16-33 所示 ). 五、圆的参数方程 若圆心为点 00 (,)M xy， 半径为r， 则圆的参数方程为 0 0 cos (02 ) sin xxr yyr . 六、椭圆的参数方程 椭圆 22 22 C:1 xy ab 的参数方程为 cos sin xa yb （为参数，(02 )）. 七、双曲线的参数方程 000 (,)Mxy O ( , )Mx y t y x 图 16-33 双曲线 22 22 C :1 xy ab 的参数方程为 sec tan xa yb (,) 2 kkZ. 八、抛物线的参数方程 抛物线 2 2ypx的参数方程为 2 2 2 xpt ypt （t为参数，参
6、数t的几何意义是抛物线 上的点与顶点连线的斜率的倒数）. 题型归纳即思路提示 题型 196 极坐标方程化直角坐标方程 思路提示 对于极坐标方程给出的问题解答一般都是通过化为直角坐标方程，利用直角坐标 方程求解 . 这里需注意的是极坐标系与直角坐标系建立的对应关系及其坐标间的关系 cos sin x y . 例16. 7 在 极 坐 标 系 中 ， 圆4sin的 圆 心 到 直 线 6 (R) 的 距 离 是 . 分析将极坐标方程转化为平面直角坐标系中的一般方程求解. 解析极坐标系中的圆4sin转化为平面直角坐标系中的一般方程为 22 4xyy，即 22 (2)4xy，其圆心为(0,2)，直线
7、6 转化为平面直角坐 标系中的方程为： 3 3 yx，即30xy. 圆心(0, 2)到直线30xy的距离为 22 | 02 3 | 3 1( 3) . 变式 1已知曲线 12 ,C C的极坐标方程分别为cos3，4cos， (0,0) 2 ，则曲线 1 C与 2 C交点的极坐标为 . 变式 2 1 O和 2 O的极坐标方程分别为4cos,4sin. (1)把 1 O和 2 O的极坐标方程分别化为直角坐方程; (2)求经过 1 O和 2 O交点的直线的直角坐标方程. 变式 3已知一个圆的极坐标方程是5 3cos5sin，求此圆的圆心和半径. 例 16. 8极坐标方程(1)()0(0)表示的图形是
8、（） A. 两个圆 B.两条直线 C.一个圆和一条射线 D.一条直线和一条射线 分析将极坐标方程化为直角坐标方程. 解析因为(1)()0(0)，所以1或(0). 22 11xy，得 22 1xy，表示圆心在原点的单位圆；(0)表示 x轴的负半轴，是一条射线. 故选 C. 变式1 极坐标方程cos和参数方程 1 23 xt yt （t参数 ) 所表示的图形分别是 ( ) A.圆、直线 B.直线、圆 C.圆、圆 D. 直线、直线 变式 2在极坐标系中，点(2,) 6 P到直线:sin()1 6 l的距离是 . 变式 3 （2012 陕西理 15）直线2cos1与圆2cos相交的弦长为 . 题型 1
9、97 直角坐标方程化为极坐标方程 思路提示 如果题目中已知的曲线为直角坐标方程，而解答的问题是极坐标系下的有关问题，这 里要利用直角坐标与极坐标关系式 cos sin x y ，将直角坐标方程化为极坐标方程. 例16. 9 （2012 辽宁理23）在直角坐标系xOy中，圆 1 C： 22 4xy，圆 2 C： 22 (2)4xy. （1）在以O为极点，x轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆 1 C, 2 C的极坐标方程，并 求出圆 1 C, 2 C的交点坐标（用极坐标表示）; （2）求出 1 C与 2 C的公共弦的参数方程. 解析（1）圆 1 C的极坐标方程为2，圆 2 C的极坐标方程为4cos.
10、 2 4cos 解得2， 3 ，故圆 1 C与圆 2 C的交点的坐标为 (2,),(2,) 33 . 注：极坐标系下点的表示不唯一. （2）解法一： 由 cos sin x y ，得圆 1 C与圆 2 C的交点的坐标分别为 (1 ,3),(1,3). 故圆 1 C与 2 C的公共弦的参数方程为 1( 33) x t yt . 解法二：将1x代入 cos sin x y 得cos1，从而 1 cos . 于是圆 1 C与 2 C的公 共弦的参数方程为 1 () tan33 x y . 变式 1 (2012 江西理 15) 曲线C的直角坐标方程为 22 20xyx， 以原点为极点，x轴 的正半轴为
11、极抽建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为 _. 题型 198 参数方程化普通方程 思路提示 已知直线或曲线的参数方程讨论其位置关系、性质问题一般要通过消参（代入法、加 减法，三角法 ) 转化为普通方程解答. 例 16. 10 若直线340xym与圆 1cos 2sin x y ( 为参数 ) 没有公共点， 则实数m 的取值范围是 . 解析将圆的参数方程 1cos 2sin x y ( 为参数 ) 化为普通方程 22 (1)(2)1xy， 圆 心(1,2 )， 半 径1r. 直 线 与 圆 无 公 共 点 ， 则 圆 心 到 直 线 的 距 离 大 于 半 径 ， |38| 1 5 m |5|
12、5m，得10m或0m，即m的范围是(,0)(10,). 变式1 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程 3 3 xt yt （参数tR） ，圆C的 参数方程为 2cos 2sin2 x y （参数0,2） ， 则圆C圆心坐标为 _， 圆心到直线l的 距离为 . 变式 2 (2013 湖北理 16) 在庄角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程 cos sin xa yb （为参 数，0ab） ，在极坐标系( 与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点， 以x轴正半轴为极轴) 中，直线l与圆O的极坐标方程分别为 2 sin() 42 m（m为 非零数）与b. 若直线l经过椭圆C的焦点，且
13、与圆O相切，则椭圆C的离心率 为 . 变式 3 参数方程 sincos sincos x y （是参数）的普通方程是 . 例 16. 11 已知动圆 22 :2cos2sin0C xyaxby（,a b是正常数，ab，是 参数） ，则圆心的轨迹是. 解析由动圆 22 :2cos2sin0C xyaxby得 222222 (cos )(sin )cossinxaybab. 圆心坐标为(cos , sin)ab（为参 数） ，设cosxa，sinyb，则 22 1 xy ab ，即 22 22 1 xy ab 为所求轨迹方程， 所以圆心的轨迹是椭圆. 变式 1 方程 2 2 32 (05) 1 x
14、t t yt 表示的曲线是（） A. 线段 B. 双曲线的一支 C. 圆弧 D. 射线 变式 2 已知直线 1 1cos : sin xt C yt （t为参数）， 2 cos : sin x C y （为参数） . (1) 当 3 时，求 1 C与 2 C的交点坐标； (2) 过坐标原点O作 1 C的垂线，垂足为A，P为OA的中点 . 当变化时，求点P轨迹的 参数方程，并指出它是什么曲线. 题型 199 普通方程化参数方程 思路提示 对于直线与圆锥曲线方程化为参数方程问题实质是引入第三个变量的换元法，这里有代 数换元（如抛物线 2 2ypx的参数方程 2 2 2 xpt ypt ）或三角换元
15、（如椭圆 22 22 1 xy ab 的参 数方程 cos sin xa yb ）. 例 16. 12 在平面直角坐标系xOy中，设( ,)P x y是椭圆 2 2 1 3 x y上的一个动点，求 Sxy的最大值 . 分析利用椭圆的参数方程，建立,x y与参数的关系，运用三角函数最值的求法，求解 xy的最大值 . 解析点( ,)P x y是椭圆 2 2 1 3 x y上的一个动点，则 3 cos sin x y （为参数） ， 0,2，则3cossinxy2sin() 3 ，0,2，故 max ()2xy. 变式 1 已知点( ,)P x y是圆 22 20xyy上的动点 . (1) 求2xy
16、的取值范围； (2) 若0xya恒成立，求实数a的取值范围 . 变式 2 直线l过(1,1)P，倾斜角 6 . （1） 写出l的参数方程； （2）l与圆 22 4xy相交于,A B两点，求P到,A B两点的距离之积. 变式 3 已知抛物线 2 :4C yx，点( ,0 )M m在x轴的正半轴上， 过M的直线l与C相交 于,A B两点，O为坐标原点 . (1) 若1m时，l的斜率为1，求以AB为直径的圆的方程； (2)若存在直线l使得|,|,|AMOMMB成等比数列，求实数m的取值范围 . 题型 200 参数方程与极坐标方程的互化 思路提示 参数方程与极坐标方程的互化问题，需要通过普通方程这一中
17、间桥梁来实现，先将参数 方程（极坐标方程）化为普通方程，再将普通方程化为极坐标方程（参数方程）. 例 16. 13 已知曲线C的参数方程为 2 cos 2 sin xt yt （t为参数），C在点(1,1)处的切线 为l， 以坐标原点为极点，x轴 的正半轴为极轴建立极坐标系，则l的 极坐标方程 为. 分析把曲线C的参数方程化为普通方程，求出切线l的普通方程， 然后把求出的直线l的 普通方程化为极坐标方程. 解析由 22 sincos1tt得曲线C的普通方程为 22 2xy，过原点O及切点(1,1)的 直 线 的 斜 率 为1， 故 切 线l的 斜 率 为 1， 所 以 切 线l 的 方 程 为
18、1(1)yx， 即 20xy.把cosx，siny代入直线l的方程可得 cossin20，即2sin()20 4 ，化简得sin()2 4 . 变式 1 设曲线C的参数方程为 2 xt yt （t为参数），若以直角坐标系的原点为极点，x轴 的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为. 最有效训练题 60(限时 45 分钟) 1. 极坐标方程cos2sin 2表示的曲线为（） A. 一条射线和一个圆 B. 两条直线 C. 一条直线和一个圆 D. 一个圆 2. 圆2 2(sincos )的圆心的一个极坐标是（） A. (2,2) B. (2,) 4 C. 3 (2,) 4 D. 7 (2,
19、) 4 3. 在极坐标系中，若等边ABC的两个顶点是(2,) 4 A， 5 (2,) 4 B. 那么顶点 C的坐标 可能是（） A. 3 (4,) 4 B. 3 (23,) 4 C. (2 3, ) D. (3,) 4. 直线的参数方程为 sin 501 cos50 xt yt （t为参数），则直线的倾斜角为（） A. 40 B. 50 C. 140 D. 130 5. 过 点(2, 3)A的 直 线 的 参 数 方 程 为 2 32 xt yt （t为 参 数 ） ， 若 此 直 线 与 直 线 30xy相交于点B，则|AB=（） A. 5 B. 2 5 C. 3 5 D. 3 5 2 6.
20、 设曲线C的参数方程 23cos 13sin x y ( 为参数 ) ，直线l的方程为320xy， 则曲线C上到直线l的距离为 7 10 10 的点的个数为（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 已 知 直 线l的 极 坐 标 方 程 为 2 sin() 42 ， 圆M的 参 数 方 程 为 22cos 12sin x y ( 为参数 ) ，则圆 M 上的点到直线l的最短距离为 . 8. 在平面直角坐标系xOy中，曲线 1 C和 2 C的参数方程分别为 5 cos 5 sin x y （为参数， 0 2 ）和 2 1 2 2 2 xt yt （t为参数），则曲线 1 C与 2 C的
21、交点坐标为 . 9. 已知抛物线的参数方程为 2 2 2 xpt ypt （t为参数），其中0p，焦点为F，准线为l， 过抛物线上一点M作准线l的垂线，垂足为E，若| |EFMF，点M的横坐标是3，则 p= . 10. 在极坐标系中，O为极点，已知两点,MN的极坐标分别为 2 (4,) 3 ，(2,) 4 ,求 OMN的面积 . 11. 已知椭圆 22 1 164 xy ，O为坐标原点，,P Q为椭圆上的两动点，若OPOQ，求 22 |OPOQ的最大值 . 12. 已知曲线 1 2cos : sin x C y （为参数），曲线 2 2 47 :2 3cos0 16 C. （1）若,P Q分别是曲线 1 C和曲线 2 C上的两个动点，求线段PQ长度的最小值； （2）若曲线 1 C上与x轴、y轴的正半轴分别交于,A B点，P是曲线 1 C上第一象限内 的动点，O是坐标原点，试求四边形OAPB面积的最大值 .