2018年高考数学总复习集合与常用逻辑用语.pdf

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1、第 1 页共 23 页第一章集合与常用逻辑用语本章知识结构图互逆互为逆否互逆互否互否等价关系关系原命题：若 p，则 q逆命题：若q，则 p 否命题：若 p,则 q逆否命题：若 q,则 p 集合集合元素的特征确定性、互异性、无序性集合的分类无限集有限集空集集合间的基本关系子集真子集相等集合间的基本运算交集 A B 并集 AB Venn 图、数轴充要条件充分不必要条件，必要不充分条件，充分必要条件，既不充分也不必要条件简易逻辑命题全称命题与存在性命题全称量词：任意；存在量词：存在复合命题且： pq 或： pq 非： p 一假则假，两真为真

2、一真便真，两假为假补集 I Ae 第 2 页共 23 页第一节集合考纲解读 1. 集合的含义与表示了解集合的含义、元素与集合的关系；能用自然语言、图形语言和集合语言 (列举法或描述法)描述不同的具体问题 2. 集合间的基本关系理解集合之间包含与相等的含义能识别给定集合的子集；在具体的情境中，了解全集与空集的含义 3. 集合的基本运算理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的含义，会求给定子集的补集；能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算命题趋势探究有关集合的高考试题，考查重点是集合与集合之间的关系与运算，考试形式多以一道选

3、择题为主，分值5 分近年来试题加强了对集合计算和化简能力的考查，并向无限集方向发展，考查学生的抽象思维能力，在解决这些问题时，要注意运用数轴法和特殊值法解题，应加强集合表示方法的转化和化简的训练预测 2019 年高考，将继续体现本章知识的工具性作用，多以小题形式出现，也有可能会将其渗透在解答题的表达之中，相对独立具体估计为：（1）以选择题或填空题形式出现北京、重庆等地也可能以集合为基础，综合其他知识在最后一题的位置出现考查学生的综合推理能力（2）热点是集合间的基本运算、数轴法的应用和体现集合的语言工具作用知识点精讲一、集合的有关概念 1集合的含义与表示某些指定对象的部分或

4、全体构成一个集合构成集合的元素除了常见的数、点等数学对象外，还可以是其他对象 2集合元素的特征（1）确定性：集合中的元素必须是确定的，任何一个对象都能明确判断出它是否为该集合中的元素（2）互异性：集合中任何两个元素都是互不相同的，即相同元素在同一个集合中不能重复出现（3）无序性：集合与其组成元素的顺序无关如 , , ,a b ca c b 3集合的常用表示法集合的常用表示法有列举法、描述法、图示法(韦恩图、数轴)和区间法 4常用数集的表示 R 一实数集Q 一有理数集Z 一整数集N 一自然数集 * N或N 一正整数集C 一复数集二、集合间的关系 1元素与集合之间的关系元素与集合

5、之间的关系包括属于(记作aA)和不属于 (记作aA)两种空集：不含有任何元素的集合，记作 2集合与集合之间的关系（1）包含关系子集：如果对任意aAAB，则集合A是集合B的子集，记为AB或BA，显然AA规定：A 第 3 页共 23 页（2）相等关系对于两个集合A与B，如果AB，同时BA，那么集合A与B相等，记作AB （3）真子集关系对于两个集合A与B，若AB，且存在bB，但bA，则集合A是集合B的真子集，记作AB或BAY空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集三、集合的基本运算集合的基本运算包括集合的交集、并集和补集运算，如表1 1所示表1 1 交集 |ABx x

6、AxB且并集 |ABx xAxB或补集 I Ae | IA x xIxA且e 1交集由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，叫做A与B的交集，记作AB，即 |ABx xAxB且 2并集由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，叫做A与B的并集，记作AB，即 |ABx xAxB或 3补集已知全集I，集合AI，由I中所有不属于A的元素组成的集合，叫做集合A相对于全集I的补集，记作 IA e，即| IA x xIxA且e 四、集合运算中常用的结论 1集合中的逻辑关系（1）交集的运算性质 ABBA，ABA，ABBAIA，AAA，A （2）并集的运算性质 ABBA，AAB，B

7、ABAII，AAA，AA （3）补集的运算性质 () II AA痧， I Ie， II e() I AAe，() I AA Ie 补充性质： III ABAABBABBAAB痧? IAe A I A B A B 第 4 页共 23 页（4）结合律与分配律结合律：()()ABCABC()()ABCABC 分配律：()()()ABCABAC()()()ABCABAC （5）反演律（德摩根定律） ()()() III ABAB痧?()()() III ABAB痧? 即“交的补补的并”， “并的补补的交” 2由 * (N )n n个元素组成的集合A的子集个数 A的子集有2 n 个，非空子集有21

8、 n 个，真子集有21 n 个，非空真子集有22 n 个 3容斥原理 ()( )()()CardABCard ACard BCardAB 题型归纳及思路提示题型 1 集合的基本概念思路提示：利用集合元素的特征：确定性、无序性、互异性例 1.1 设,a bR，集合1,0, b ab ab a ，则ba（） A1B1C2D2 解析：由题意知01,ab a，又0a，故0ab，得1 b a ，则集合 1, 0 ,0,1,ab，可得1,1,2abba，故选 C。变式 1 （2012 新课标理1）已知集合1,2,3,4,5 ,( , )|,ABx yxA yA，则B中所含

9、元素的个数为（） A3B6C8D10 变式 2 （2013 山东理 2）已知集合0,1 ,2 ,|,ABxy xA yA中元素的个数为（） A1B3C5D9 变式 3 若集合,lg()0,|,x xyxyxy，则x，y 题型 2 集合间的基本关系思路提示（1）判断两集合的关系常用两种方法：一是逻辑分析法，即先化筒集合，再从表达式中寻找两集合的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系，这体现了合情推理的思维方法（2）已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常利用数轴和韦恩图辅助分析第 5 页共 23 页一

10、、集合关系中的判断问题例1. 2 若 |41,|43,|81,Ax xnnZBx xnnZCx xnnZ，则A， B，C之间的关系为（） ACBA苘BABCCCABDABC 解析：解法一：集合B中元素434(1)1,xnnnZ，故集合AB，而集合C中元素421,xnnZ，故CA 解法二：列举 , 7, 3,1,5,9, 7, 3,1 ,5,9,AB ，, 7,1,9,C因此CAB ，故选 C 评注：解法一是数学中“求同比异”的思想，值得学习；解法二是列举法，易于入手，也是做选择题的常用方法变式 1 设集合 1 |, 24 k Mx xkZ ， 1 |, 42 k Mx xkZ

11、，则 AMNBMNCMNYDMN 例 1. 3 设 2 |8150 ,|10Ax xxBx ax. （1）若 1 5 a，试判断集合A与集合B的关系；（2）若BA，求实数a组成的集合C. 分析：（1）先求集合A，再由 1 5 a求集合B，确定A与B的关系 . （2）解方程10ax，建立a的关系式求a，从而确定集合C. 解析：（1）由 2 8150xx得3x或5x，所以3,5A. 若 1 5 a，得 1 10 5 x，即5x，所以5B，故BA. （2）因为 3,5A ，又BA. 当B时，则方程10ax无解，则0a；当B时，则0a，由10ax，得 1 x a ，所以 1 3 a 或 1 5

12、 a ，即 1 3 a或 1 5 a 故集合 1 1 0 3 5 C ，. 评注：（1）研究集合的子集问题时应首先想到空集，因为空集是任何集合的子集. （2）含参数的一元一次方程axb解的确定：第 6 页共 23 页当0a时，方程有唯一实数解 b x a ；当0ab时，方程有无数多个解，可为为任意实数；当0a且0b时，方程无解. 变式 1 已知集合 2 |3100Ax xx，集合|121Bx pxp，若BA，求实数p的取值范围 . 二、已知集合间的关系，求参数的取值范围例 1. 4 （ 2012 大纲全国理2）已知集合1,3,1,AmBmABA，则m（） A0或3B0或3C

14、, 1,0,1,2,3, 4,5Ax xxxZ，共 8 个元素，则集合A 的子集的个数为 8 2256. 例1.6 已知集合 2 |320,|05,NAx xxxRBxxx ，满足条件 ACB的集合C的个数为（） A1 B2 C3 D4 解析：由1,2 ,1,2,3,4AB且ACB，得集合C是集合1,2与集合3,4的任一子集的并集，即求集合3,4的子集的个数为 2 24，故选 D. 变式 1 已知集合M满足 * 1,2|10,NMx xx，求集合M的个数 . 题型 3 集合的运算第 7 页共 23 页思路分析凡是遇到集合的运算（并、交、补）问题，应注意对集合元素属性

15、的理解，数轴和韦恩图是集合交、并、补运算的有力工具，数形结合是解集合运算问题的常用思想. 一、集合元素属性的理解例 1.7 已知集合 22 |1,|9My yxxRNx yx，则MN（） A|13xx B|13xx C|13xx D|14xx 分析：在进行集合运算之前，首先要识别集合，即认清集合中元素的属性，判断M、N是数集还是点集，是数集要化简集合，是点集要解方程组. 在本题中，集合M代表元素是因变量，故是函数的值域（数集）；集合N的代表元素是自变量，故是函数的定义域（数集）. 解析： 2 |1,|1My yxxRy y， 22 |9|90Nx yxxx，即| 33Nxx，所

17、的是点集，故有MN. 另如 22 ( , ) |4 ,|Mx yxyNy yx ，则有 MN ，而易错为 (2 ,2 ) , (2 ,2 )MN. 变式 1 集合 2 | 03 ,|9PxZxMxR x，则PM（）. A1,2 B0,1,2 C|03xx D|03xx 变式 2 已知集合 1 |3|4 | 9 ,|46,0AxRxxByR yxx x ，则集合AB . 变式3 设全集(,)|,IxyxyR，集合 3 (,)|1,(,)| 2 y MxyNxyyx x ，那么( )() II MN痧（） A B(2,3) C(2,3) D( , )|1x yyx 第 8 页共

19、 |2 |3AxRx ，集合 |()(2)0BxRxm x，且 ( 1, )ABn，则m，n . 变式2 已知全集UR，集合| 23 ,|14AxxBx xx或，那么集合 ()UABe（）. A. | 24xx B.|34x xx或 C.| 21xx D.| 13xx 变式 3 已知集合 3 |0 ,|3 1 x MxNx x x ，则集合|1x x（）. AMN BMN C()RMNe D()RMNe 三、韦恩图在集合运算中的应用例1.9设U为全集，M，P是两个非空集合，定义M与P的差集 |MPx xMxP且，则()MMP（）. AP BMP CMP DM 1a

20、58a 图 11 第 9 页共 23 页分析：本题可利用题中所给定义MP表示从集合M中去掉属于集合P的元素解题 . 解析：当MP时，根据题意利用韦恩图解题，如图1-2所示， ()MMPMP. 当MP时，()MMPMMMP. 综上，()MMPMP. 故选 B. 评注：凡是遇到抽象的集合运算题尝试利用韦恩图求解. 本题也可用举例法求解，比如 2,4 ,1,3,5MP，根据定义得出所求集合为空集. 故选 B. 变式 1 设全集 1,2,3,4,5UMN ， 2,4UMNe，则N（）. A1,2,3 B1,3,5 C1,4,5 D2,3,4 变式 2 某

21、班级共有30 人，其中 15 人喜爱篮球， 8 人喜爱足球，两项都不喜爱的有8人，则喜爱篮球但不喜爱足球的有人例 1.10 如图 1-3 所示，I是全集，,A B C是它的子集，则阴影部分所表示的集合是（） A()ABC B()IABCe C()IABCe D()IBACe 第 10 页共 23 页分析：本题考查对利用韦恩图表述集合关系的理解. 解析：图 1-3 中的阴影部分为A与C的公共部分，即AC中去掉属于B的那部分元素后剩余元素组成的集合，即()()()IIACBABC痧，故选 B. 对于韦恩图表述的集合应做如下理解：阴影部分涉及到谁就交谁，涉及不到谁就交其补集如

22、图 1-4 所示分别表示：（a）ABC；（b）IABCe；(c) ()()IIABC痧或 ()IABCe. 变式 1 已知,M N为集合I的非空子集，且,M N不相等，若()INMe，则MN （） AM BN CI D 四、以集合为载体的创新题例 1.11 设A是整数集的一个非空子集，对于kA，如果1kA且1kA，那么称k 是A的一个孤立元，给定1,2,3,4,5,6,7,8S，由S的 3 个元素组成的所有集合中，不含孤立元的集合共有个. 解析：由孤立元的定义，若t不是A的孤立元，t应满足1tA或1tA，即集合中元素连续，故满足S的 3 个元素构成的不含孤立元的集合分别为1,

23、2,3、2,3,4、3,4,5、 4,5,6、5,6,7和6,7,8，共 6 个. 评注：由S的 3 元素组成的集合中，含有一个孤立元的集合有30 个，含有3 个孤立元的集合有 20 个. 变式1 设S是整数集Z的非空子集，如果,a bS，有abS，则称S关于数的乘法是封闭的，若,T V是Z的两个不相交的非空子集，TVZ，且, ,a b cT，有abcT， , ,x y zV，有xyzV，则下列结论恒成立的是（） A.,T V中至少有一个关于乘法是封闭 B.,T V中至多有一个关于乘法是封闭第 11 页共 23 页 C.,T V中有且只有一个关于乘法是封闭 D.,T V中每一个关于

24、乘法是封闭变式2 已知集合 12 ,(2) k Aa aak，其中(1,2,3, ) i aZ ik，由A中的元素构成两个相应的集合 ( , ) |,Sa baA bA abA ， ( , ) |,Ta baA bA abA，其中 ( , )a b是有序数对，集合S和T中的元素个数分别为m和n. 若对于任意的aA，总有aA，则称集合A具有性质P. （1）检验集合 0,1,2,3 与 1,2,3 是否具有性质P，并对具有性质P的集合，写出相应的集合S和T；（2）对任何具有性质P的集合A，证明： (1) 2 k k n. 变式 3 （2012 江苏 23）变式 3 设集合 * 1,2,3

25、,N n Pnn，记( )f n为同时满足下列条件的集合A的个数 . n AP；若xA，则2xA；若 n P xAe，则2 n P xAe. (1) 求(4)f； (2) 求( )f n的解析式 (用n表示 ). 最有效训练题1（限时 45 分钟） 1设集合 2 |60 ,|13Mx xxNxx，则MN等于（） A2,3 B1,2 C2,3) D1,2) 2若 22 |4,|1Ax yxBy yx，则AB（） A(1,) B1,2 C0,) D(0,) 3设全集1,2,3,4,5,6,7,8U. 集合2,4,5,7A，1,4,7,8B，那么如图1-5 所示的阴影部分表示的集合是（） A3,

27、,3 ,2,2 ,3ABaaAB ，则实数a . 8已知集合A满足条件：当pA时，总有 1 1 A p （0p且1p）. 已知2A，则集合A中所有元素的积等于 . 9 已知集合,A B满足 |27 ,|121AxxBx nxm ，且B. 若 ()UABe，则m的取值范围是 . 10已知集合 2 |4260,Ax xmxmxR . 若(,0)A，则实数m的取值范围是 . 11 已知集合 22 |, ,Mm mxyx yZ，若对任意的 12 ,m mM，求证： 12 mmM. 12已知集合 * 1,2,3,2(N )nn，对于A中的一个子集S，若存在不大于 n的正整数数m，使

28、得对S中的任意一对元素12 ,s s，都有 12 |ssm，则称S具有性质P. （1）当10n时，试判断集合|9BxA x和 * |31,NCxA xkk是 A B U 图 15 第 13 页共 23 页否具有性质P？请说明理由. （2）若集合S具有性质P，那么集合21|Tnx xS是否一定具有性质P？请说明理由 . 第 14 页共 23 页参考答案第一章集合与常用逻辑用语例 1.1 变式 1 解析：利用集合的概念及其表示求解，注意元素的特性。因为错误！未找到引用源。所以错误！未找到引用源。即错误！未找到引用源。,B 中所含元素的个数为10.故选 D 例 1.1 变式

29、 2 解析：逐个列举可得，错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。根据集合中元素的互异性可知集合B 中元素为 -2,-1,0,1,2, 共 5 个，故选C 例 1.1 变式 3 解析：依题意错误！未找到引用源。得错误！未找到引用源。,故错误！未找到引用源。即错误！未找到引用源。，因此错误！未找到引用源。若错误！未找到引用源。则错误！未找到引用源。故错误！未找到引用源。因此 x=y=1 与题意不符；若错误！未找到引用源。则错误！未找到引用源。显然错误！未找到引用源。与题意不符 , 故错误！未找到引用源。，此时满足

30、题意。例 1.2 变式 1 解析集合 M 中的元素错误！未找到引用源。，分子为奇数；集合N 中的元素错误！未找到引用源。，分子为整数，则M N，故选 B. 例 1.3 变式 1 解析由错误！未找到引用源。，得错误！未找到引用源。，若错误！未找到引用源。则（1）当B=错误！未找到引用源。，即错误！未找到引用源。时，解得错误！未找到引用源。（2）当 B 错误！未找到引用源。时，如图1-9 所示，由错误！未找到引用源。，得错误！未找到引用源。，得错误！未找到引用源。综上所述，实数错误！未找到引用源。的取值范围是错误！未找到引用源。 x 图1-9 52p-1

31、 p+1-2 O 评注：由错误！未找到引用源。，勿忘 B=错误！未找到引用源。（空集是任何集合的子集）例 1.4 变式 1 解析由错误！未找到引用源。,如图 1-10 所示得错误！未找到引用源。，故实数错误！未找到引用源。的取值范围是错误！未找到引用源。 A B 图1-10 1 2 3 4123456 Oa 第 15 页共 23 页评注端点值的判断通常是初学者的难题，我们可用假设法帮助判断，即假设参数取端点后，与已知吻合，假设成立；若与已知不吻合，则假设不成立。例 1.4 变式 2 解析如图 1-11 所示， A 为错误！未找到引用源。，B 为错误！未找到引用源。

32、，要使错误！未找到引用源。，只需错误！未找到引用源。，故实数错误！未找到引用源。的取值范围是错误！未找到引用源。 A B 图1-11 a1 例 1.4 变式 3 解析由错误！未找到引用源。，得错误！未找到引用源。，则错误！未找到引用源。，故选 C. 例 1.6 变式 1 解析由错误！未找到引用源。知，集合 M 是集合错误！未找到引用源。的任一非空子集与集合错误！未找到引用源。的并集，所以集合M 的个数为28-1=255 评注求有限集的子集个数问题，有以下结论：结论 1 ：含有 n 个元素的集合错误！未找到引用源。的子集个数为错误！未找到引用源。, 真子集个数为2n

33、-1，非空子集个数为 2 n-1，非空真子集个数为 2 n-2 错误！未找到引用源。 ) 结论 2 设错误！未找到引用源。，则有，满足错误！未找到引用源。的集合 A 的个数是错误！未找到引用源。满足错误！未找到引用源。的集合 A 的个数是错误！未找到引用源。-1 满足错误！未找到引用源。的集合 A 的个数是错误！未找到引用源。-1 满足错误！未找到引用源。的集合 A 的个数是错误！未找到引用源。-2 例 1.7 变式 1 分析本题考查集合的概念与运算。解析先化简再求交集，由已知得错误！未找到引用源。，故错误！未找到引用源。，故选 B 评注：本题若忽视集合P 中元素

34、的属性，易误将集合P等同于集合错误！未找到引用源。例 1.7 变式 2 解析错误！未找到引用源。，利用零点分段法解绝对值不等式。当错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。; 当错误！未找到引用源。时,错误！未找到引用源。,恒成立；当错误！未找到引用源。时,错误！未找到引用源。, 综上所述 ,错误！未找到引用源。又因为错误！未找到引用源。，由基本不等式得错误！未找到引用源。, 当错误！未找到引用源。时取错误！未找到引用源。，所以错误！未找到引用源。，故错误！未找到引用源。例 1.7 变式 3 解析解法一： M 表示直线y=x+1 上除去点（ 2,3）的部分，

35、错误！未找到引用源。表示点（2,3）和除去直线y=x+1 的部分，错误！未找到引用源。表示直线y=x+1 上的点集，所以错误！未找到引用源。表示的点集中仅有点（2,3），即（ 2,3）。解法二：错误！未找到引用源。，故选 B 例 1.7 变式 4 第 16 页共 23 页分析本题的几何背景是：抛物线错误！未找到引用源。与线段错误！未找到引用源。有公共点，求实数错误！未找到引用源。的取值范围。解析解法一：问题等价于方程组错误！未找到引用源。在0,2上有解，即错误！未找到引用源。在0,2上有解，令错误！未找到引用源。，则由错误！未找到引用源。知，抛物线错误！

36、未找到引用源。过点 (0,1), 所以抛物线错误！未找到引用源。在0,2 上与 x 轴有交点等价于错误！未找到引用源。或错误！未找到引用源。由得错误！未找到引用源。，由得错误！未找到引用源。所以实数错误！未找到引用源。的取值范围为错误！未找到引用源。解法二：同解法一，问题等价于方程错误！未找到引用源。在0,2上有解，故可以转化为函数值域问题。错误！未找到引用源。等价转化为错误！未找到引用源。，当错误！未找到引用源。时，方程不成立；当错误！未找到引用源。时，方程转化为错误！未找到引用源。；当错误！未找到引用源。时，函数错误！未找到引用源。，即当错误！未找

37、到引用源。时原方程有解，由错误！未找到引用源。，即所求实数的取值范围为错误！未找到引用源。. 例 1.8 变式 1 解析先求出集合A，再根据集合的交集运算求解。因为错误！未找到引用源。，当错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。不符合题意，所以错误！未找到引用源。，即错误！未找到引用源。，又错误！未找到引用源。，所以错误！未找到引用源。. 例 1.8 变式 2 解析错误！未找到引用源。,故选 D 例 1.8 变式 3 解析解法一：错误！未找到引用源。,所以错误！未找到引用源。,得错误！未找到引用源。. 解法二：错误！未找到引用源。错误！未找到引

38、用源。. 故选 D 例 1.9 变式 1 解析由错误！未找到引用源。可得集合N 中不含元素2,4，由排除法可知选项B 正确，故选 B. 例 1.9 变式 2 分析本题中的集合关系比较抽象，可以考虑使用韦恩图求解。解析作出韦恩图，如图1-12 所示，设所求为错误！未找到引用源。人，则喜爱篮球又喜爱足球的有15-错误！未找到引用源。人，喜爱足球不喜爱篮球的有错误！未找到引用源。人，故有错误！未找到引用源。. 第 17 页共 23 页 U 图1-12 8 x-7 15-x x 足球篮球例 1.10 变式 1 解析如图 1-13 所示，因为错误！未找到引用源。，所以错误！未找到

39、引用源。，所以错误！未找到引用源。，故选 A N M I 图1-13 例 1.11变式 1 解析由于错误！未找到引用源。，故整数1 一定在 T,V 两个集合中的一个中，不妨设错误！未找到引用源。，则错误！未找到引用源。，由于错误！未找到引用源。，则错误！未找到引用源。，即错误！未找到引用源。，从而 T 对乘法封闭；另一方面，当错误！未找到引用源。时， T 关于乘法封闭，V 关于乘法不封闭，故D 不对，当错误！未找到引用源。时， T,V 显然关于乘法都是封闭的，故B,C 不对，故选A 例 1.11变式 2 解析（1）因为错误！未找到引用源。，故集合错误

40、！未找到引用源。不具有性质P，集合错误！未找到引用源。具有性质P，其相应的集合S和 T 是错误！未找到引用源。. （2）首先，由A 中元素构成的有序数对错误！未找到引用源。共有错误！未找到引用源。个，因为错误！未找到引用源。，所以错误！未找到引用源。又因为错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。，所以当错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。，从而集合 T 中元素的个数最多为错误！未找到引用源。,即错误！未找到引用源。 . 例 1.11变式 3 解析（1）当 n=4 时，错误！未找到引用源。，满足条件的集合A 有错误！未找到引用源。所以错误！未找到引用源

41、。 . （2）解法一：任取偶数错误！未找到引用源。，则必有奇数错误！未找到引用源。，使得错误！未找到引用源。。若错误！未找到引用源。，则错误！未找到引用源。，即错误！未找到引用源。为偶数，错误！未找到引用源。为奇数；若错误！未找到引用源。，则错误！未找到引用源。，即错误！未找到引用源。为奇数，错误！未找到引用源。为偶数。所以，任意偶数错误！未找到引用源。是否属于集合A，完全由奇数错误！未找到引用源。确定。设集合错误！未找到引用源。是由集合错误！未找到引用源。中所有奇数组成的集合，则错误！未找到引用源。等于集合错误！未找到引用源。的子集个数

42、，即错误！未找到引用源。第 18 页共 23 页解法二：易得错误！未找到引用源。, 当错误！未找到引用源。为奇数时，集合错误！未找到引用源。中满足条件的集合A 有错误！未找到引用源。个,对于集合错误！未找到引用源。，考虑元素n，因为 n 为奇数，所以错误！未找到引用源。均可，故错误！未找到引用源。. 即错误！未找到引用源。，叠乘得错误！未找到引用源。. 当错误！未找到引用源。为偶数时，集合错误！未找到引用源。中满足条件的集合A 有错误！未找到引用源。个。对于集合错误！未找到引用源。，考虑元素n，因为 n 为偶数，所以错误！未找到引用源。，即 n 是否属于

43、集合A,完全由错误！未找到引用源。确定。而集合错误！未找到引用源。中，对于每一个满足条件的集合A，元素错误！未找到引用源。是否属于集合A 均是确定的，故错误！未找到引用源。为奇数，所以错误！未找到引用源。综上，错误！未找到引用源。. 评注：数列的核心是递推，先从特殊的几个数（n=1,2,3，. ）入手，关键在于发现错误！未找到引用源。与错误！未找到引用源。的关系，从而发现一般规律，再给予证明。递推法是处理数列问题（乃至大学学习计算机等方面）的“ 杀手锏 ” ，请读者深思体会，并能灵活运用。最有效训练题1 1.D 解析因为错误！未找到引用源。，所以错误！未找到引用源。

44、，故选 D. 2.B 解析因为错误！未找到引用源。，所以错误！未找到引用源。，故选 B 3.A 解析阴影部分所表示的集合为错误！未找到引用源。，而错误！未找到引用源。，故错误！未找到引用源。，故选 A. 4.C 解析因为错误！未找到引用源。，，如图 1-14 所示，利用数轴可得错误！未找到引用源。 . 故选 C. M CIP 图1-14 a2-2O 5. C 解析由错误！未找到引用源。，即错误！未找到引用源。，如图 1-15 所示， x x 图1-15 a+1a-151 或 51a+1 a-1 由图可知错误！未找到引用源。，所以错误！未找到引用源

45、。，故选 C 6. D 解析因为错误！未找到引用源。，所以错误！未找到引用源。，又错误！未找到引用源。，所以错误！未找到引用源。.故选 D 第 19 页共 23 页 7. -1 解析错误！未找到引用源。，所以错误！未找到引用源。，此时错误！未找到引用源。，不满足集合元素的互异性，故舍去.若错误！未找到引用源。，同样错误！未找到引用源。舍去，当错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。，满足题意，所以错误！未找到引用源。 . 8.1 解析依题意错误！未找到引用源。，所以错误！未找到引用源。, 从而错误！未找到引用源。故 A 中只有错误！未找到

46、引用源。三个元素，它们的积为错误！未找到引用源。. 9.错误！未找到引用源。解析由错误！未找到引用源。，得错误！未找到引用源。，则错误！未找到引用源。，解得错误！未找到引用源。，所以错误！未找到引用源。的取值范围是错误！未找到引用源。. 10.错误！未找到引用源。解析解法一（直接法）即原方程有一个负根或两个负根，所以错误！未找到引用源。,解得错误！未找到引用源。,则实数错误！未找到引用源。的取值范围是错误！未找到引用源。解法二：（间接法）设全集错误！未找到引用源。 ,设方程错误！未找到引用源。的两根为错误！未找到引用源。若方程错误！未找到引用源。

47、的根式错误！未找到引用源。均非负，则错误！未找到引用源。,解得错误！未找到引用源。.因为错误！未找到引用源。，所以错误！未找到引用源。关于错误！未找到引用源。的补集错误！未找到引用源。即为所求 . 11.解析设错误！未找到引用源。, 因为错误！未找到引用源。. 所以错误！未找到引用源。,故错误！未找到引用源。.证毕 12.解析（1）当错误！未找到引用源。时，集合错误！未找到引用源。，集合错误！未找到引用源。不具有性质P，因为对任意不大于10 的正整数错误！未找到引用源。，都可以找到集合 B 中两元素错误！未找到引用源。，使得错误！未找到引用源。成

48、立。集合错误！未找到引用源。具有性质P，因为可取错误！未找到引用源。，对于该集合中任意一对元素错误！未找到引用源。,都有错误！未找到引用源。（2）若集合S具有性质P ,那么集合错误！未找到引用源。一定具有性质P . 首先因为错误！未找到引用源。，任取错误！未找到引用源。，其中错误！未找到引用源。，因为错误！未找到引用源。，所以错误！未找到引用源。，从而错误！未找到引用源。，即错误！未找到引用源。，所以错误！未找到引用源。。由 S具有性质 P，可知存在不大于n 的正整数错误！未找到引用源。，使得对 S中的任意一对元素错误！未找到引用源。，都有错误！未找到引用源。，对上述取定的不大于n 的正整数错误！未找到引用源。，从集合错误！未找到引用源。中任取元素错误！未找到引用源。，其中错误！未找到引用源。，都有错误！未找到引用源。，因为错误！未找到引用源。，所以有错误！未找到引用源。，即错误！未找到引用源。，所以集合错误！未

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