2018年高考数学-函数含答案.pdf

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1、1 / 18 2018 年高考复习专题 - 函数 一函数 1、函数的概念： （1）定义： 设 A、B是非空 的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中 的任意一个 数x，在集合B中都有 唯一确定 的数)(xf和它对应，那么就称f：A B为从集合A到集合 B的一个函数 记作：y=)(xf，xA其中，x叫做自变量， x的取值范围A 叫做函数的定义域；与x的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的 集合 )(xf| xA 叫做函数的值域 （ 2）函数的三要素：定义域、值域、对应法则 （ 3）相同函数的判断方法：表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；定 义域一致 ( 两点必须同时具备)

2、2、定义域： （1）定义域定义：函数)(xf的自变量x的取值范围。 （2）确定函数定义域的原则：使这个函数 有意义的实数的全体构成的集合。 （3）确定函数定义域的常见方法： 若)(xf是整式，则定义域为全体实数 若)(xf是分式，则定义域为使分母不为零的全体实数 例 :求函数 x y 1 1 1的定义域。 若)(xf是偶次根式，则定义域为使被开方数不小于零的全体实数 例1 求函数 21 43 4 3 2 x xx y的定义域。 例2 求函数 02 112xxy的定义域。 对数函数的真数必须大于零 指数、对数式的底必须大于零且不等于1 若)(xf为复合函数，则定义域由其中各基本函数的定义域组成的

3、不等式组来确定 指数为零底不可以等于零，如)0( 1 0 xx 实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. （4）求抽象函数（复合函数）的定义域 已知函数)(xf的定义域为 0,1 求 )( 2 xf的定义域 已知函数) 12( xf的定义域为 0,1 ）求)31(xf的定义域 3、值域 : （1）值域的定义：与x相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。 （2）确定值域的原则：先求定义域 （3）常见基本初等函数值域： 一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数（正余弦、正切） （4）确定函数值域的常见方法： 2 / 18 直接法 ：从自变量x的范围出发，推出

4、( )yf x的取值范围。 例：求函数1yx的值域。 解： 0x ， 11x ， 函数1yx的值域为1,)。 配方法： 配方法是求“二次函数类”值域的基本方法。形如 2 ( )( )( )F xafxbf xc的 函数的值域问题，均可使用配方法。 例：求函数 2 42yxx（ 1,1x）的值域。 解： 22 42(2)6yxxx， 1,1x，2 3, 1x， 2 1(2)9x 2 3(2)65x，35y 函数 2 42yxx（ 1,1x）的值域为 3,5。 分离常数法：分子、 分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以 利用反函数法。 例：求函数 1 25 x y x 的值域

5、。 解： 177 (25) 11 222 2525225 x x y xxx ， 7 2 0 25x ， 1 2 y， 函数 1 25 x y x 的值域为 1 | 2 y y。 换元法 ：运用代数代换， 奖所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值 域，形如yaxbcxd（a、b、c、d均为常数， 且0a）的函数常用此法求解。 例：求函数212yxx的值域。 解：令12tx（0t） ，则 2 1 2 t x， 22 15 1() 24 yttt 3 / 18 当 1 2 t，即 3 8 x时， max 5 4 y，无最小值。 函数 212yxx的值域为 5 (, 4 。 判别式法

6、： 把函数转化成关于 x的二次方程 ( , )0F x y ； 通过方程有实数根， 判别式 0， 从而求得原函数的值域，形如 2 111 2 222 a xb xc y a xb xc （ 1 a 、 2 a 不同时为零） 的函数的值域， 常用此方法求解。 例：求函数 2 2 3 1 xx y xx 的值域。 解：由 2 2 3 1 xx y xx 变形得 2 (1)(1)30yxyxy， 当1y时，此方程无解； 当1y时，xR， 2 (1)4(1)(3)0yyy， 解得 11 1 3 y，又1y， 11 1 3 y 函数 2 2 3 1 xx y xx 的值域为 11 |1 3 yy 值域为

7、| 11yy 练习：求函数 2 2 22 1 xx y xx 的值域 4、函数的表示方法 （1）解析法、列表法、图象法 （2）求函数解析式的常见方法： 换元法 例：已知34) 13(xxf, 求)(xf的解析式 . 例：若 x x x f 1 ) 1 (, 求)(xf. 例：已知(1)23,fxx求)(xf. 解方程组法 4 / 18 例：设函数)(xf满足)(xf+2 f（ x 1 ）= x（x0） ，求)(xf函数解析式 . 一变：若( )f x是定义在R 上的函数，(0)1f，并且对于任意实数,x y，总有 2 ()( )(21),f xf xyxy y 求 ( )f x 。 （令 x=

8、0，y=2x） 待定系数法 例：已知)(xf是一次函数，并且34)(xxff求)(xf 解：设bkxxf)(，则 34)()()( 2 xbkbxkbbkxkbxkfxff 则 3 4 2 bkb k ，解得 1 2 b k 或 3 2 b k 故所求一次函数解析式12)(xxf或32)(xxf 配变量法 例：已知 2 2 1 ) 1 ( x x x xf, 求)(xf的解析式 . 例：若xxxf2) 1(, 求)(xf. 特殊值代入法（取特殊值法） 例：若)()()(yfxfyxf, 且2) 1(f， 求值 )2004( )2005( )3( )4( )2( )3( )1( )2( f f

9、f f f f f f . 例：设)(xf是R上的函数，且满足1)0(f并且对任意实数yx,有 ) 12()()(yxyxfyxf求)(xf的表达式 解：设yx则1)12()()0(xxxxff 即 1)( 2 xxxf 或设0x则) 1(1)1()0()(yyyyfyf 1)1(1)( 2 xxxxxf 利用给定的特性（奇偶性周期性）求解析式. 例 ： 对x R, )(xf满 足) 1()(xfxf, 且 当x 1,0时 , xxxf2)( 2 求当x9,10时)(xf的表达式 . 5 / 18 解析：) 1()(xfxf，则)()1(xfxf则 )2()(),1()1(xfxfxfxf，T

10、=2 5、分段函数 (1) 定义：在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样 的函数叫分段函数。 (2) 注意：分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集； 分段函数是一个函数，而不是几个函数； 写分段函数定义域时，区间端点不重不漏。 6、复合函数 如果)(),(),(),(AxxguMuufy则),(),()(AxxFxgfy称为f、g 的复合函数。 7、函数图象问题 （1）熟悉各种基本初等函数的图象 如：0y，)( 为常数ccy，xy， x y 1 ， x y 1 ， 2 xy （2）图象变换 平移：个单位长度向右平移)0()(aaxfy)(axf

11、y 个 单 位 长 度向 上 平 移)0()(bbxfybxfy)( 对称：轴对称关于xxfy)()(-xfy 轴 对 称关于 y)(xfy)( xfy 关 于 原 点 对 称)(xfy)(-xfy 翻折：)(,)(xfyxfy 注意：带绝对值的函数去绝对值方法有分情况讨论法，平方法，图象法 2018 年高考模拟题 1. 求下列函数的定义域： 2 215 33 xx y x 2 1 1() 1 x y x 2. 设函数 fx( )的定义域为01， ，则函数 fx() 2 的定义域为 _ _ 3. 若函数 (1)f x 的定义域为 23， ，则函数 (21)fx 的定义域是 4. 函数 2 2(

12、1) ( )( 12) 2 (2) xx f xxx x x ，若 ( )3f x，则x= 5. 求下列函数的值域： 2 23yxx()xR 2 23yxx1,2x (3) 1 2yxx (4) 2 45yxx 6 / 18 二函数的性质 1. 函数的单调性 ( 局部性质 ) （1）增减函数和单调区间 设函数)(xfy的定义域为I ， 如果对于定义域I 内的某个区间D内的任意两个 自变量 21, x x，当 21 xx时，都有)()( 21 xfxf，那么就说)(xf在区间D 上是增 函数 .区间 D称为)(xfy的单调增区间. 如 果 对 于 区 间D 上 的 任 意 两 个 自 变 量 的

13、 值 21,x x当 21 xx时 ， 都 有 )()( 21 xfxf， 那么就说)(xf在这个区间上是减函数. 区间 D称为)(xfy的单调 减区间 . 注意：函数的单调性是函数的局部性质； （2）图象的特点 如果函数)(xfy在某个区间是增函数或减函数，那么说函数)(xfy在这 一区间上具有( 严格的 ) 单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减 函数的图象从左到右是下降的. （3）函数单调区间与单调性的判定方法（重点） (A) 定义法： 1任取 21,x x D，且 21 xx； 2作差)()( 21 xfxf； 3变形（通常是因式分解和配方）； 4定号（即判断差)()(

14、21 xfxf的正负）； 5下结论（指出函数)(xf在给定的区间D上的单调性） (B) 图象法 ( 从图象上看升降) (C) 复合函数的单调性 复合函数)(xgf的单调性与构成它的函数)(xgu，)(ufy的单调性密切 相关，其规律： “同增异减” 注意： 函数的单调区间只能是其定义域的子区间 , 不能把单调性相同的区间和在一起 写成其并集 . 例：是否存在实数a使函数)(log)( 2 xaxxfy a 在闭区间4 ,2上是增函数？如 果存在，说明a可取哪些值；如果不存在，说明理由。 解：当a1 时，为使函数)(log)( 2 xaxxfy a 在闭区间 4, 2上是增函数 只需xaxxg

15、2 )(在闭区间4, 2上是增函数，故 024)2( 2 2 1 ag a x 得 2 1 a，又由a1，得a1 当 00=00 二次函数 的图象)0( 2 a cbxaxy 一元二次方程 ）的根（0 0 2 a cbxax 有两不等实根 a acbb xx 2 4 , 2 21 （ 21 xx） 有两相等实根 a b xxx 2 21 没有 实根 一元 二次 不等 式的 解 集 ）（0 0 2 a cbxax 21 xxxxx或 a b xRxx 2 ,且 实数 集 R ）（0 0 2 a cbxax 21 xxxx 空集空集 5、一元二次方程)04,0(0 22 acbacbxax的实根分

16、布 比较标准 一元二次方程 的分布 ）的实根（ 21 2 , 0 0 xx a cbxax 充要条件 二次函数 的图象)0( 2 a cbxaxy 方程两根与 实数K比较 Kxx 21 0)( 2 0 Kf K a b 21 xxK 0)( 2 0 Kf K a b 21 xKx0)(Kf 11 / 18 方程两根与 区间 （ 21, K K） 比较 2211 KxxK 0)( 0)( 2 0 2 1 21 Kf Kf K a b K 2211 xKKx 0)( 0)( 2 1 Kf Kf ),( ),( 212 211 KKx KKx 或 0)()( 21 KfKf 6、函数的零点与二分法

17、（1）函数零点的定义 如果)(xfy在实数a处的值等于零，即0)(af，则a叫做这个函数的零点。 一般地，函数)(xfy的零点就是方程0)(xf的实数根，也就是函数)(xfy的 图象与x轴的交点的横坐标。 所以，方程0)(xf有实数根函数)(xfy的图象与x轴 有交点函数)(xfy有零点。 注意：并不是每个函数都有零点 （2）函数零点的判断（零点存在性定理） 如果函数)(xfy在区间,ba上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异 号，即0)()(bfaf，则这个函数在区间),(ba上至少有一个零点，即存在一点 ),( 0 bax 使得 0)( 0 xf，这样的零点叫做变号零点，有时曲线通

18、过零点时不变号，这样的零点叫做 不变号零点。 （3）二分法的概念 对 于 区 间,ba上 连 续 且 满 足0)()(bfaf的 函 数)(xfy通 过 不 断 地 把 函 数 )(xfy的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，从而得到零点近 似值的方法叫做二分法。 （4）用二分法求函数零点近似值的一般步骤（略） 2018 年高考模拟题 1已知 2 2(1) ( )( 12) 2 (2) xx f xxx x x ，若( )3f x，则x的值是（） A1B1或 3 2 C1， 3 2 或3D3 2为了得到函数( 2 )yfx的图象，可以把函数(12 )yfx的图象适当平移， 这

19、个平移是（） A沿x轴向右平移1个单位B沿x轴向右平移 1 2 个单位 12 / 18 C沿x轴向左平移1个单位D沿x轴向左平移 1 2 个单位 3设 )10(),6( )10( , 2 )( xxff xx xf则)5(f的值为（） A10B11C12D13 4. 设函数( )23,(2)( )f xxg xf x，则( )g x的表达式是（） A21xB21x C23xD27x 5已知函数yfx()1定义域是23，则yfx()21的定义域是（） A0 5 2 ，B. 14， C. 55，D. 37， 6函数 2 24yxx的值域是（） A 2,2B1,2 C0, 2D 2,2 7函数x x

20、 x y的图象是（） 8若函数 2 34yxx的定义域为0,m,值域为 25 4 4 ，则m的取值范围是（） A4,0B 3 2 ，4 C 3 3 2 ，D 3 2 ，） 9. 函数 2 2 2(03) ( ) 6 ( 20) xxx fx xxx 的值域是（） ARB9,C8,1D9,1 13 / 18 10. 设函数.)( ).0( 1 ),0(1 2 1 )(aaf x x xx xf若则实数a的取值范围是。 11函数 4 2 2 x x y的定义域。 12. 函数1)( 2 xxxf的最小值是 _。 13若函数 2 34(0) ( )(0) 0(0) xx f xx x ，则(0)ff

21、= 14若函数xxxf2)12( 2 ，则)3(f= . 15函数 2 1 ( )2 23 f x xx 的值域是。 16. 设函数fx( )的定义域为01，则函数fx()2的定义域为 _。 17 已知函数 )0(2 )0(1 )( 2 xx xx xf，若( )10f x, 则x。 练习题 一、选择题 1已知函数)127()2()1()( 22 mmxmxmxf为偶函数， 则m的值是（） A. 1B. 2 C. 3D. 4 2若偶函数)(xf在1,上是增函数，则下列关系式中成立的是（） A)2()1() 2 3 (fff B)2() 2 3 ()1(fff C) 2 3 ()1()2(fff

22、 D)1() 2 3 ()2(fff 3如果奇函数)(xf在区间3,7上是增函数且最大值为5， 那么)(xf在区间3,7上是（） A增函数且最小值是5B增函数且最大值是5 C减函数且最大值是5D减函数且最小值是5 14 / 18 4设)(xf是定义在R上的一个函数，则函数)()()(xfxfxF 在R上一定是（） A奇函数B偶函数 C既是奇函数又是偶函数D非奇非偶函数。 5下列函数中,在区间0,1上是增函数的是（） AxyBxy3 C x y 1 D4 2 xy 6函数)11()(xxxxf是（） A是奇函数又是减函数 B是奇函数但不是减函数 C是减函数但不是奇函数 D不是奇函数也不是减函数

23、二、填空题 1 设奇函数)(xf的定义域为5,5， 若当0,5x时， )(xf的图象如右图 ,则不等式( )0f x的解是 2函数21yxx的值域是 _。 3已知0,1x，则函数21yxx的值域是. 4若函数 2 ( )(2)(1)3f xkxkx是偶函数，则)(xf的递减区间是. 5下列四个命题 （1）( )21f xxx有意义 ; （2）函数是其定义域到值域的映射; （3）函数2 ()yx xN的图象是一直线； （4）函数 2 2 ,0 ,0 xx y xx 的图象是抛物线， 其中正确的命题个数是_。 三、解答题 1判断一次函数,bkxy反比例函数 x k y，二次函数cbxaxy 2 的

24、 单调性。 2已知函数( )fx的定义域为1,1，且同时满足下列条件：（1）( )f x是奇函数； （2）( )f x在定义域上单调递减； （3） 2 (1)(1)0,fafa求a的取值范围。 3利用函数的单调性求函数 xxy21 的值域； 15 / 18 4已知函数 2 ( )22,5,5f xxaxx. 当1a时，求函数的最大值和最小值； 求实数a的取值范围，使( )yf x在区间5 ,5上是单调函数。 课后作业 一、选择题 1下列判断正确的是（） A函数 2 2 )( 2 x xx xf是奇函数B函数 1 ( )(1) 1 x f xx x 是偶函数 C函数 2 ( )1f xxx是非奇

25、非偶函数D函数1)(xf既是奇函数又是偶函数 2若函数 2 ( )48f xxkx在5,8上是单调函数，则k的取值范围是（） A,40B40,64 C,4064,D64, 3函数11yxx的值域为（） A2,B2, 0 C,2D,0 4已知函数 2 212fxxax在区间4,上是减函数， 则实数a的取值范围是（） A3aB3aC5aD3a 5下列四个命题： (1)函数f x( )在0x时是增函数，0x也是增函数， 所以)(xf是增函数； (2)若函数 2 ( )2f xaxbx与x轴没有交点，则 2 80ba且0a；(3) 2 23yxx的 递增区间为1,； (4) 1yx和 2 (1)yx表

26、示相等函数。 其中正确命题的个数是( ) A0B1C2D3 6某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程. 在下图中 纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下图中的四个图形中较符合该学生走法的是 （） d d0 t0tO A d d0 t0tO B d d0 t0tO C d d0 t0tO D 16 / 18 二、填空题 1函数xxxf 2 )(的单调递减区间是_。 2已知定义在R上的奇函数( )f x，当0x时，1|)( 2 xxxf， 那么0x时，( )f x. 3若函数 2 ( ) 1 xa f x xbx 在1,1上是奇函数 , 则( )f x的解

27、析式为 _. 4奇函数( )f x在区间3,7上是增函数，在区间3,6上的最大值为8， 最小值为1，则2 ( 6)( 3)ff_。 5若函数 2 ( )(32)f xkkxb在R上是减函数，则k的取值范围为 _。 三、解答题 1判断下列函数的奇偶性 （1） 2 1 ( ) 22 x f x x （2）( )0,6, 22,6f xx 2已知函数( )yfx的定义域为R，且对任意,a bR，都有()( )( )f abf af b， 且当0x时，( )0f x恒成立，证明： （1）函数( )yf x是R上的减函数； （2）函数( )yf x是奇函数。 3设函数( )f x与( )g x的定义域是

28、xR且1x,( )f x是偶函数 ,( )g x是奇函数 , 且 1 ( )( ) 1 f xg x x , 求( )f x和( )g x的解析式 . 4设a为实数，函数1|)( 2 axxxf，Rx （1）讨论)(xf的奇偶性； （ 2）求)(xf的最小值。 课后作业答案 一、选择题 17 / 18 1. C选项 A中的2,x而2x有意义，非关于原点对称，选项B中的1,x 而1x有意义，非关于原点对称，选项D中的函数仅为偶函数； 2. C对称轴 8 k x ，则 5 8 k ，或 8 8 k ，得 40k ，或 64k 3. B 2 ,1 11 yx xx ,y是x的减函数， 当1,2,02

29、xyy 4. A对称轴1,14,3xaaa 1.A（1）反例 1 ( )f x x ； （2）不一定0a，开口向下也可； （3）画出图象 可知，递增区间有1,0和1,； （4）对应法则不同 6. B刚刚开始时，离学校最远，取最大值，先跑步，图象下降得快！ 二、填空题 1 11 (,0, 22 画出图象 2. 2 1xx设0x，则0x， 2 ()1fxxx， ()( )fxf x 2 ( )1f xxx, 2 ( )1f xxx 3. 2 ( ) 1 x f x x ()( )fxf x( 0)(0),(0)0,0,0 1 a fffa 即 2 11 ( ),( 1)(1),0 122 x f

30、xffb xbxbb 4. 15( )f x在区间3,6上也为递增函数，即(6)8,(3)1ff 2(6 )(3 )2( 6 )( 3 )ffff 5. (1,2) 2 320,12kkk 三、解答题 1解：（1）定义域为1,00,1，则22xx， 2 1 ( ), x f x x ()( )fxf x 2 1 ( ) x f x x 为奇函数。 （2）()( )fxf x且()( )fxfx( )f x既是奇函数又是偶函数。 18 / 18 2证明： (1)设 12 xx，则 12 0xx，而()( )( )f abf af b 1122122 ()()()()()fxfxxxfxxfxfx

31、 函数( )yf x是R上的减函数 ; (2)由()( )( )f abf af b得()( )()f xxf xfx 即( )()(0)f xfxf，而(0)0f ()( )fxf x，即函数( )yfx是奇函数。 3解：( )f x是偶函数 , ( )g x是奇函数，()( )fxf x，且()( )gxg x 而 1 ( )( ) 1 f xg x x ,得 1 ()() 1 fxgx x , 即 11 ( )( ) 11 f xg x xx ， 2 1 ( ) 1 f x x ， 2 ( ) 1 x g x x 。 4解：（1）当0a时， 2 ( )| 1f xxx为偶函数， 当0a时， 2 ()|1fxxxa为非奇非偶函数； （2）当x a时， 22 13 ( )1(), 24 f xxxaxa 当 1 2 a时， m i n 13 ( )( ) 24 f xfa， 当 1 2 a时， m i n ( )f x不存在； 当xa时， 2213 ( )1(), 24 f xxxaxa 当 1 2 a时， 2 m i n ()()1fxfaa， 当 1 2 a时， m i n 13 ( )() 24 f xfa。