2019届高三联合模拟考试理科数学试题.pdf

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1、理科数学试题第 1 页 （共 6 页） 东北师大附中重庆一中2019届高三联合模拟考试 吉大附中长春十一高中 理科数学试题 吉林一中松原实验高中 本试卷共 23 题，共 150 分，共 6 页。时间 120 分钟。 注意事项：1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。 2选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用05 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔 迹清楚。 3请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、 试题卷上 答题无效。 4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5保持卡面清洁，

2、不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题：本题共12 题，每小题5分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1已知集合|3AxxZ，|ln1Bxx，集合 A 与 B 关系的韦恩图如图所示，则阴影部 分所表示的集合为 A|0xxeB 12 3， C 0 1 2，D 12， 2i为虚数单位，复数 1i 2 z在复平面内对应的点的坐标为 A)11(，B)11(，C)11(，D)11(， 3等比数列 n a各项均为正数，若 1 1a， 21 28 nnn aaa ，则 n a的前 6 项和为 A1365 B63 C 32 63 D 1024

3、 1365 4如图，点A为单位圆上一点， 3 xOA，点A沿单位圆逆时针方向旋转角到点) 5 4 5 3 (，B， 则cos A 10 334 B 10 334 C 10 334 D 10 334 5已知双曲线 22 22 :1(00 ) xy Cab ab ，的右焦点到渐近线的距离等于 实轴长，则此双曲线的离心率为 A2B3C5D 5 2 6已知 1 5 36a ， 4 3 3b， 2 5 9c，则 A cab B cba C bca D bac 7秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人， 他在所著的数书九章中提出的多项式求值的秦九韶算法， 至今仍是比较先进的算法如右图所示的

4、程序框图给出了利用 秦九韶算法求某多项式值的一个实例若输入n， x 的值分别 为 5，2，则输出v 的值为 A64 B68 C72 D133 8如图所示是某三棱锥的三视图，其中网格纸中每个小正方形的边 长为 1，则该三棱锥的外接球的体积为 A4B 16 3 C16D 32 3 9为了丰富教职工的文化生活，某学校从高一年级、高二年级、高三年级、行政部门各挑选出4 位教师组成合唱团，现要从这16 人中选出3 人领唱，要求这3 人不能都是同一个部门的，且在 行政部门至少选1 人，则不同的选取方法的种数为 A336 B340 C352 D472 10在正方体 1111 ABCDABC D 中，点 E

5、是棱 11 BC 的中点，点F 是线段 1 CD 上的一个动点有以下 三个命题： 异面直线 1 AC 与 1 B F 所成的角是定值； 三棱锥 1 BA EF 的体积是定值； 直线 1 A F 与平面11BCD 所成的角是定值 其中真命题的个数是 A3 B2 C1 D0 理科数学试题第 2 页 （共 6 页） 112018 年，国际权威机构IDC 发布的全球手机销售报告显示：华为突破2 亿台出货量超越苹果 的出货量，首次成为全球第二，华为无愧于中国最强的高科技企业。华为业务CEO 余承东明 确表示，华为的目标，就是在2021 年前，成为全球最大的手机厂商为了解华为手机和苹果 手机使用的情况是否

6、和消费者的性别有关，对 100 名华为手机使用者和苹果手机使用者进行统 计，统计结果如下表： 根据表格判断是否有95%的把握认为使用哪种品牌手机与性别有关系，则下列结论正确的是 A没有 95%把握认为使用哪款手机与性别有关 B有 95%把握认为使用哪款手机与性别有关 C有95%把握认为使用哪款手机与性别无关 D以上都不对 附： 12已知抛物线 2 :8C xy 的焦点为F，过点 ( 02 )，作斜率为(0 )kk的直线 l 与抛物线C 交 于 A，B 两点，直线AFBF，分别交抛物线C 与 M，N 两点，若10 AFBF MFNF ，则k A1 B 2 6 C2D3 二、填空题：本题共4 小题

7、，每小题5 分，共 20 分。 13设 x，y 满足条件 2 1 0 xy xy y 0 ，则yx32的最小值为 14由曲线 3 xy(0 )x与它在1x处切线以及x 轴所围成的图形的面积为 15 已知正方形ABCD的边长为 4， M是AD的中点， 动点N在正方形ABCD的内部或其边界移动， 并且满足 0MNAN ，则 NB NC 的取值范围是 16已知数列 n a的前n项和为 n S ，若 1 n S是 n a 和 n S 的等比中项，设( 1) (21) n nn bna ，则数 列 n b的前 60 项和为 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721 题为必考题，每个

8、试题考生 都必须作答 。22、23 为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60 分。 17 （12 分） ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知 ABC 的面积为)cos( 6 3 Cacbb （1）求 A； （2）若13bc，求) 6 2cos( C的值 18（ 12 分） - 2018 年 12 月 18 日上午 10 时，在人民大会堂举行了庆祝改革开放40 周年大会 40 年众 志成城， 40 年砥砺奋进，40 年春风化雨，中国人民用双手书写了国家和民族发展的壮丽史诗 会后，央视媒体平台，收到了来自全国各地的纪念改革开放40 年变化的老照片，并从众多照 片中抽取

9、了100 张照片参加 “ 改革开放40 年图片展 ” ，其作者年龄集中在 25 85，之间，根据 统计结果，做出频率分布直方图如下： （1）求这 100 位作者年龄的样本平均数x和样本方差 2 s （同一组数据用该区间的中点值 作代表）； （2）由频率分布直方图可以认为，作者年龄X 服从正态分布 2 ( ,)N，其中近似为样 本平均数x ， 2 近似为样本方差 2 s （i）利用该正态分布，求(6073.4)PX； （ii ）央视媒体平台从年龄在 45 55 ，和 65 75，的作者中，按照分层抽样的方法，抽出了 7 人参加“纪念改革开放40 年图片展”表彰大会，现要从中选出3 人作为代表发言

10、，设这3 位 发言者的年龄落在区间 45 55，的人数是Y，求变量 Y 的分布列和数学期望 附：4.13180，若 2 (,)XN，则()0.683PX， (22 )0.954PX 0.005 0.020 25 35 45 55 65 75 85 频率 /组距 年龄 0.015 0.025 0.030 0.035 0.010 )()()( )( 2 2 dbcadcba bcadn K 理科数学试题第 3 页 （共 6 页） 19（ 12 分） 如图，在四棱台 1111 ABCDABC D 中，底面ABCD是菱形， 111 1 1 2 AAA BAB，60ABC， 1 AA平面ABCD （1）

11、若点M是AD的中点，求证： 1 C M /平面 11 AAB B ； （2）棱 BC 上是否存在一点E，使得二面角 1EADD 的余弦值为 1 3 ？若存在，求线段CE 的长；若不存在，请说明理由 20 （ 12 分） 已知平面直角坐标系内的动点P 到直线 1:2lx 的距离与到点 (1 0 )F， 的距离比为 2 （1）求动点P 所在曲线 E 的方程； （2）设点 Q 为曲线 E 与y轴正半轴的交点，过坐标原点O 作直线l，与曲线E 相交于异于 点 Q 的不同两点MN、，点 C 满足2OCOQ ，直线 MQ 和 NQ 分别与以C 为圆心，CQ 为半径 的圆相交于点A 和点 B，求 QAC 与

12、 QBC 的面积之比的取值范围 21 （ 12 分） 已知函数xaaxxaxxf)( 2 1 ln)( 22 （1）若1a，证明：0)(xf； （2）若)(xf只有一个极值点，求a的取值范围 （二）选考题：请考生在第22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。 22选修 44：坐标系与参数方程（10 分） 已知曲线 1C 的参数方程为 2 cos 3sin x y (为参数 )，以原点O为极点，以x轴的非负半轴为 极轴建立极坐标系，曲线 2 C 的极坐标方程为sin()1 4 （1）求曲线 1 C 的极坐标方程和曲线 2 C 的直角坐标方程； （2）射线() 2 OM ：与

13、曲线 1 C 交于点 M，射线 4 ON ：与曲线 2 C 交于 点 N，求 22 11 OMON 的取值范围 23选修 45：不等式选讲 （10 分） 设函数 3 ( )22(0)f xxaxa a （1）若 ( )(0)g af，解不等式( )5g a ； （2）求证：( )2 3f x 东北师大附中重庆一中2019 届高三联合模拟考试 吉大附中长春十一高中 理科数学 吉林一中松原实验高中 参考答案及评分标准 评分说明： 1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要 考查内容比照评分参考制订相应的评分细则。 2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如

14、果后继部分的解答未改变该题的内容和 难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后 继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 理科数学试题第 4 页 （共 6 页） 4只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。 一、选择题： 1D 2C 3B 4A 5 C 6 C 7B 8D 9A 10B 11A 12 D 二、填空题 132 14 12 1 15 142 17 16，16 60 61 三、解答题 17解 （1）由题设得)cos( 6 3 sin 2 1 CacbbCab1 分 即CacbCaco

15、ssin32分 由正弦定理得CACBCAcossinsinsinsinsin3，3 分 因为CAB所以CACACsincossinsinsin34 分 由于0sinC所以 2 1 ) 6 sin( A5 分 又A0，故 3 A6分 （2） 在 ABC 中，由余弦定理及13bc， 3 A 有 222 2cos7abcbcA，故7a7 分 由)cos( 6 3 sin 2 1 CacbbAbc，得 72 1 cosC8分 所以 72 33 sinC， 因此 14 33 cossin22sinCCC 10 分 2 13 cos22cos1 14 CC 11分 所以 1333 314 3 cos(2)

16、cos2cossin2sin 6661421427 CCC 12 分 18解： （1）这 100 位作者年龄的样本平均数x和样本方差 2 s分别为 300.05400.1500.15600.35700.2800.1560x2 分 222222 ( 30)0.05( 20)0.1(10)0.1500.35100.2200.15180s4 分 （2） （i）由（ 1）知，)18060(，NX， 从而 1 (6073.4)(6013.46013.4)0.3415 2 PXPX；7 分 （ii）根据分层抽样的原理，可知这7 人中年龄在 45 55，内有 3 人，在 65 75 ，内有 4 人， 故Y可

17、能的取值为0，1，2， 3 35 4 )0( 3 7 3 4 0 3 C CC YP， 35 18 )1( 3 7 2 4 1 3 C CC YP， 35 12 )2( 3 7 1 4 2 3 C CC YP 35 1 )3( 3 7 0 4 3 3 C CC YP 所以Y的分布列为 Y 0 1 2 3 P 35 4 35 18 35 12 35 1 11分 所以 Y 的数学期望为 4181219 ()0123 353535357 E Y 12分 19解： （1）证明：连接 1 B A 由已知得， 11/ /BCBCAD ，且 11 1 2 BCAMBC 所以四边形 11 AB C M 是平行

18、四边形，即 11 /C MB A2 分 又 1 C M平面 11 AA B B ， 1 B A平面 11 AA B B， 所以 1 C M /平面 11 AA B B4 分 （2）取BC中点 Q ，连接 AQ 因为ABCD是菱形， 且60ABC，所以 ABC是正三角形， 所以 AQBC 即 AQAD ， 由于 1AA平面ABCD6 分 所以，分别以AQ ,AD, 1 AA 为 x 轴,y轴, z 轴，建 立空间直角坐标系,如图(0 0 0)A， ， ， 1(0 01) A， ， 1(0 11) D， ， ，(3,0,0)Q 假设点E存在，设点E的坐标为 (30)， ，11- ( 30)AE，

19、，1 (011)AD， ， 7 分 设平面 1AD E的法向量 ()nxyz， ， 则 1 0 0 n AE n AD 即 30 0 xy yz ，可取( ,3,3)n9 分 平面 1 ADD 的法向量为( 3 0 0)AQ， ，10 分 所以， 2 3 |1 cos, 3 36 AQ n，解得： 3 2 11 分 又由于二面角 1 EADD 大小为锐角，由图可知，点E 在线段 QC 上， 理科数学试题第 5 页 （共 6 页） 所以 3 2 ，即 3 1 2 CE 12 分 20解： （1）设动点P 的坐标为 ()xy，由题意可得 22 2 2 (1) x xy ， 整理，得： 22 22x

20、y，即 2 2 1 2 x y为所求曲线E 的方程4 分 （2） （解法一）由已知得：(0,1)Q，(0,2)C，1CQ，即圆 C 方程为 22 (2)1xy 由题意可得直线MQ，NQ 的斜率存在且不为0 5 分 设直线 MQ 的方程为 1 1yk x，与 22 (2)1xy联立得： 22 11 (1)20kxk x 所以， 1 2 1 2 1 A k x k 同理，设直线NQ 的方程为 21yk x，与 22 (2)1xy联立得： 22 22 (1)20kxk x 所以 2 2 2 2 1 B k x k 7 分 因此 2 12 2 21 1 (1) 2 1 (1) 2 A QAC A QB

21、CB B QC x S xkk Sxkk QC x 8 分 由于直线l过坐标原点，所以点M与点N关于坐标原点对称 设 00 (,)Mxy， 00 (,)Nxy，所以， 2 000 12 2 000 111yyy k k xxx 又 00 (,)Mxy在曲线E上，所以 2 2 0 0 1 2 x y，即 12 1 2 k k 10 分 故 22 121 222 2111 (1)4113 (4) (1)2221 kkk kkkk ， 由于 2 1 0k，所以， 1 2 2 12 分 （解法二）由已知得：(0,1)Q，(0,2)C，1CQ，即圆 C 方程为 22 (2)1xy 由题意可得直线MQ，N

22、Q 的斜率存在且不为0 5 分 设直线 MQ 的方程为 1 1yk x，则点 C 到 MQ 的距离为 1 2 1 1 1 d k 所以 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 22 1 1 1 k AQCQd k k 于是， 1 1 2 QAC SAQd 1 2 1 1 k k 设直线 NQ 的方程为 2 1yk x，同理可得： QBC S 2 2 2 1 k k 所以 2 12 2 21 (1) (1) QAC QBC S kk Skk 8 分 由于直线l 过坐标原点，所以点M 与点 N 关于坐标原点对称 设 00 (,)M xy， 00 (,)Nxy，所以， 2 000 12 2 000

23、111yyy k k xxx 又 00 (,)M xy在曲线E上，所以 2 2 0 01 2 x y，即 12 1 2 k k10 分 故 22 121 222 2111 (1)4113 (4) (1)2221 kkk kkkk ， 由于 2 10k，所以， 1 2 2 12 分 21解： （1）当1a时，0)(xf等价于0 2 1 ln 2 xxx，即0ln2xx；1 分 设函数xxxgln2)(，则 x x x xg 22 1)(，2分 当)20(，x时，0)(xg；当)2( ，x时，0)(xg 所以)(xg在)20(，上单调递减，在)2( ，单调递增 故2ln22)2(g为)(xg的最小

24、值，3 分 而02ln22，故0)(xg，即0)(xf4 分 （2） 2 ln)(axxaxf， 设函数)(xh 2 lnaxxa，则 )0(1)(x x ax x a xh； （i）当0a时，0)(xh，)(xh在)0( ，上单调递增， 又0)(e a h，取 b 满足10b且 2 ab，则0)(bh， 故)(xh在)0( ，上有唯一一个零点 1 x ， 且当)0( 1 xx，时，0)(xh，)( 1， xx时，0)(xh， 由于)()(xhxf，所以 1 xx是)(xf的唯一极值点；6分 （ii ）当0a时，)0( 2 1 )( 2 xxxf在)0( ，上单调递增，无极值点；7 分 （ii

25、i ）当0a时，若)0(ax，时，0)(xh；若)(，ax时，0)(xh 所以)(xh在)0(a，上单调递减，在)(，a单调递增 故1)ln()(aaaah为)(xh的最小值， 若1a时，由于0)( ah，故)(xh只有一个零点，所以ax时0)(xf， 因此)(xf在)0( ，上单调递增，故)(xf不存在极值； 若)01(，a时，由于01)ln(aa，即0)( ah，所以0)( xf， 因此)(xf在)0( ，上单调递增，故)(xf不存在极值； 若)1(，a时，01)ln(aa，即0)( ah 又0)(eah ，且a a 1e0， 理科数学试题第 6 页 （共 6 页） 而由（ 1）知 xxl

26、n2 ，所以xxln， 取 c 满足 51 2 ca，则0)( 2 accach 故)(xh在)0(a，有唯一一个零点 2 x ，在 )(，a有唯一一个零点 3 x ； 且当)0( 2 xx，时0)(xh，当)( 32 xxx，时，0)(xh，当)( 3， xx时，0)(xh 由于)()(xhxf，故)( xf在 2 xx处取得极小值，在 3 xx处取得极大值， 即)(xf在)0( ，上有两个极值点11 分 综上，)(xf只有一个极值点时，a 的取值范围是)0( ，12 分 22解： （1）由曲线 1 C 的参数方程 2cos 3sin x y (为参数 )得： 22 22 cossin1 2

27、3 xy ， 即曲线 1 C 的普通方程为 22 1 23 xy 1 分 又cos ,sinxy，2分 曲线 1 C 的极坐标方程为 2222 3cos2sin6，即 222 cos263 分 曲线 2 C 的极坐标方程可化为sin cos 2 ， 故曲线 2 C 的直角方程为 20xy5 分 （2）由已知，设点M和点N的极坐标分别为 1 (, ) ， 2 (,) 4 ，其中 2 6分 则 2 2 1 2 6 cos2 OM ， 2 2 2 2 2 11 cos sin () 2 ON7 分 于是 22 2 22 11cos27cos2 cos 66 OMON 8分 由 2 ，得1cos0 故

28、 22 11 OMON 的取值范围是 1 3 () 3 2 ，10 分 23解： （1）因为0a，所以 33 ( )(0)225g afaa aa ，1 分 即 3 , 2 a或10a3 分 故不等式 ( )5g a 的解集为 3 ,10 2 a aa或 4 分 （2）由已知得： 3 32,2 333 ( )222,2 2 33 32, 2 xaxa a f xxaxxaax aaa xax aa 6分 所以 ( )f x 在 3 2a ， -上递减，在 3 , 2a 递增7 分 即min 333 ( )()22 ( 2 )()2 3 222 f xfaa aaa 所以( )2 3f x 10分