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1、绝密启用前 2019 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2作答时， 务必 将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的 1设集合A= x|x 2-5x+60 ，B= x|x-1b，则 Aln(a- b)0 B3 a0 D a b 7设 ，为两个平面，则 的充要条件是 A内有无数条直线与平行 B内有两条相交直线与 平行 C ，平行于同一条直线D ，垂直于同一平面 8若
2、抛物线y 2=2px(p0)的焦点是椭圆 22 3 1 xy pp 的一个焦点，则p= A2 B3 C4 D8 9下列函数中，以 2 为周期且在区间( 4 ， 2 )单调递增的是 Af(x)= cos 2xBf(x)= sin 2x Cf(x)=cos xDf(x)= sinx 10已知 (0， 2 )，2sin 2 =cos 2 +1，则 sin = A 1 5 B 5 5 C 3 3 D 2 5 5 11 设 F 为双曲线C： 22 22 1(0,0) xy ab ab 的右焦点，O为坐标原点， 以OF为直径的圆与圆 222 xya 交于 P，Q 两点 .若PQOF，则 C 的离心率为 A
3、 2 B 3 C 2 D 5 12设函数 ( )f x 的定义域为R，满足 (1)2 ( )f xf x ，且当 (0,1x 时， ( )(1)f xx x.若对任意 (,xm ，都有 8 ( ) 9 f x，则 m 的取值范围是 A 9 , 4 B 7 , 3 C 5 , 2 D 8 , 3 二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20 分 13我国高铁发展迅速，技术先进.经统计，在经停某站的高铁列车中，有10 个车次的正点率为0.97，有 20 个车次的正点率为0.98，有 10 个车次的正点率为 0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率 的估计值为 _. 14已知 ( )f
4、x 是奇函数，且当0x时，( )e ax f x.若 (ln 2)8f ，则a_. 15ABC的内角 ,A B C 的对边分别为 , ,a b c.若 6,2 , 3 bac B，则ABC的面积为 _. 16中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南 北朝时期的官员独孤信的印信形状是“ 半正多面体 ”（图 1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形 围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图 2 是一个棱数为48 的半正多面体，它的所有顶点都 在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有_个面，其棱长为 _.（本题第一空
5、2 分，第二空3 分.） 三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721 题为必考题，每个试题考 生都必须作答第 22、23 为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共60 分。 17（ 12 分） 如图，长方体ABCD A1B1C1D1的底面 ABCD 是正方形，点E 在棱 AA1上， BEEC1. （1）证明： BE平面 EB1C1； （2）若 AE=A1E，求二面角 B EC C1的正弦值 . 18（ 12 分） 11 分制乒乓球比赛，每赢一球得1 分，当某局打成10:10 平后，每球交换发球权，先多得2 分的一方 获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打
6、比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得 分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10:10 平后，甲先发球，两人又打了X 个球该局比赛 结束 . （1）求 P（X=2）； （2）求事件 “ X=4 且甲获胜 ” 的概率 . 19（ 12 分） 已知数列 an和 bn满足 a1=1，b1=0， 1 434 nnn aab， 1 434 nnn bba. （1）证明： an+bn 是等比数列， anbn是等差数列； （2）求 an和bn的通项公式 . 20 （12 分） 已知函数 1 1 ln x fxx x . （1）讨论 f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；
7、 （2）设 x0是 f(x)的一个零点，证明曲线 y=ln x 在点 A(x0，ln x0)处的切线也是曲线 e x y的切线 . 21 （12 分） 已知点 A(- 2,0)，B(2,0)，动点 M(x,y)满足直线AM 与 BM 的斜率之积为- 1 2 .记 M 的轨迹为曲线C. （1）求 C 的方程，并说明C 是什么曲线； （2）过坐标原点的直线交C 于 P，Q 两点，点P 在第一象限， PEx 轴，垂足为E，连结 QE 并延长交 C 于点 G. （i）证明：PQG是直角三角形； （ii）求PQG面积的最大值 . （二）选考题：共10 分请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分 22 选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分） 在极坐标系中， O 为极点，点 000 (,)(0)M在曲线:4sinC上，直线 l 过点(4,0)A且与OM 垂直，垂足为P. （1）当 0= 3 时，求 0及 l 的极坐标方程； （2）当 M 在 C 上运动且 P 在线段 OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程. 23选修 4-5：不等式选讲 （10 分） 已知( )|2 | ().fxxa xxxa （1）当1a时，求不等式( )0f x的解集； （2）若(,1x时，( )0f x，求a的取值范围 .