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1、2019 年全国高考押题数学理科 本卷共 48 题，三种题型：选择题、填空题和解答题。选择题30 小题，填空题4 小题， 解答题 14 小题。 一、选择题（ 30 个小题） 1. 已知集合 2 2 |log1 , |60,AxxBx xx则 () RA Be 等于（） A. |21xx B.|22xx C.| 23xx D.|2xx 2. 已知复数 4i 1i b zbR 的实部为1，则复数 zb 在复平面上对应的点位于（） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3. 若复数满足1 i1 iiz, 则 z的实部为（） A. B. C. D. 4. 下列函数中，既是奇函数又在区间(0,
2、) 2 上是减函数的是（） A 3 y x B. sinyxC21yx D cosyx 5. 若,A a b B c d是lnf xx图象上不同两点,则下列各点一定在fx图象上的是 ( ) A.,ac bd B.acbd， C.,ac bd D.,ac bd 6. 双曲线 2 2 :1 3 y C x的顶点到渐近线的距离与焦点到渐近线的距离之比为（） A. 1 2 B. 2 2 C. 3 3 D. 3 2 z 21 2 211 21 2 7. 在区间1,1内随机取两个实数x，y，则满足1 2 xy的概率是（） A. 9 2 B. 9 7 C. 6 1 D. 5 6 8. 执行如图所示的程序框图
3、，输出的结果S的值是（） A2 B 1 2 C 3 D 1 3 9. 一个算法的程序框图如右图所示，若输入的x 值为2016，则输出的 i 值为 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 10. 若向量,a b满足| |2ab ，a b与 的夹角为60 ， a在+a b上的投影等于 ( ) A.2 B.2 C.3 D.423 11. 不等式组的解集记为D，有下面四个命题： p1：，p2：， p3：，p4：， 其中的真命题是 ( ) Ap1，p2 Bp1，p3 Cp1，p4Dp2，p3 12. “牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的 几何体它由完全相同的四个曲面
4、构成, 相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上, 好似两个扣 合( 牟合 ) 在一起的方形伞( 方盖 ) 其直观图如下左图, 图中四边形是为体现其直观性所作的 辅助线当其主视图和侧视图完全相同时, 它的俯视图可能是（） 13一个几何体的三视图如图2 所示 ( 单位： cm)，则该几何体的体积是（） A. 23 3 3 cm B. 22 3 3 cm C. 47 6 3 cm D.7 3 cm 14. 若数列 n a 满足 1 1 n a 1 = n d a （ dNn, * 为常数），则称数列 n a 为调和数列已知数 列 1 n x 为调和数列，且x1x2x20200，则 165 xx 等于（）
5、 A10 B20 C 30 D40 15. 九章算术之后，人们学会了用等差数列的知识来解决问题，张丘建算经卷上第 22 题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2 天开始，每天比前一天多织相同量的布）， 第一天织5 尺布，现一月（按30 天计）共织390 尺布”，则从第2 天起每天比前一天多织 （）尺布 . A 2 1 B. 15 8 C. 31 16 D. 29 16 16. 在某次联考测试中，学生数学成绩X 2 1000N,，若 ,8.0)12080(XP则)800(XP等于（） A0.05 B0.1 C0.15 D0.2 17 由 1,2,3,0组成没有重复数字的三位数，其中 0 不在个位
6、上， 则这些三位数的和为 （） A.2544 B.1332 C.2532 D.1320 18. 已知 2 cos2 , 21 x x fxaxx若 () 3 f=2, 则 () 3 f等于（） A.2 B.1 C.0 D. 1 19. 函数 ( )sin2() 2 fxAx部分图象如图所示，对不同的baxx, 21 ，若 21 xfxf，有3 21 xxf，则（） A xf 在 5 (,) 1212 上是减函数 Bxf在 5 (,) 36 上是减函数 C xf 在 5 (,) 1212 上是增函数 Dxf在 5 (,) 36 上是增函数 20若 7 28 0128 112xxaa xa xa
7、x，则 127 aaa 的值是（） A.2 B.3 C125 D.131 21. 设点A、 ,0F c分别是双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的右顶点、右焦点 ,直线 2 a x c 交该双曲线的一条渐近线于点P若PAF是等腰三角形, 则此双曲线的离心率为（） A. 3 B. 3 C. 2 D.2 22. 过抛物线 2 yx 4 焦点 F 的直线交其于BA,两点， O为坐标原点若3AF，则 AOB的面积为（） A. 2 2 B.2 C. 3 2 2 D.22 23. 已知圆 22 1: 20Cxcxy，圆 22 2: 20Cxcxy，椭圆 22 22 :1(0) xy Cab
8、 ab 的焦距为2c，若圆 12 ,CC 都在椭圆C内，则椭圆C离心率的 范围是（） A 1 ,1) 2 B 1 (0 2 ， C 2 ,1) 2 D 2 (0 2 ， 24. 已知向量AB、AC、AD满足ACABAD,2AB,1AD,E、F分别是 线段BC、CD的中点若 5 4 DEBF, 则向量 AB 与向量 AD 的夹角为（） A 3 B 2 3 C 6 D 5 6 25. 已知函数 0, 0, 3 xbax xx xf满足条件：对于 R 1x ，唯一的 R 2x ，使得 21xfxf . 当bfaf32成立时，则实数ba( ) A. 2 6 B. 2 6 C. 2 6 +3 D. 2
9、6 +3 26. 函数 2 ln x y x 的图象大致为（） 27. 已知定义在(0,) 2 上的函数()fx,( )fx 为其导数 , 且( )( ) tanfxfxx 恒成立，则 （） A. 3()2() 43 ff B.2()() 64 ff C. 3()() 63 ff D.12() sin1 6 ff 28. 若过点,P a a与曲线lnf xxx相切的直线有两条, 则实数a的取值范围是( ) A.,e B.e, C. 1 0, e D.1, 29. 已知四边形ABCD的对角线相交于一点, 1,3AC,3,1BD, 则 AB CD 的最小值是（） A.2 B.4 C.2 D.4 3
10、0. 定义在R上的函数fx对任意 1212 ,x xxx都有 12 12 0 fxfx xx ，且函数 1yf x的图象关于 （1,0 ） 成中心对称， 若, s t满足不等式 22 22fssftt， 则当14s时， 2ts st 的取值范围是（） A 1 3, 2 B 1 3, 2 C 1 5, 2 D 1 5, 2 二、填空题（ 4 个小题） 31. 已知边长为3的正ABC的三个顶点都在球O的表面上，且OA与平面ABC所成的角 为 30 ，则球O的表面积为 _ 32. 设1m, 当实数yx,满足不等式组 1 2 yx xy xy 时， 目标函数myxz的最大值等于2， 则m 的值是 _
11、33. 已知数列 na 中, 对任意的 * nN, 若满足 123nnnnaaaas（ s为常数） , 则称 该数列为4阶等和数列 , 其中s为4阶公和；若满足 12nnnaaat （t为常数） , 则称该数 列为3阶等积数列 , 其中t为3阶公积 , 已知数列 np 为首项为1的4阶等和数列 , 且满足 342 321 2 ppp ppp ；数列 nq 为公积为1的3阶等积数列 , 且 12 1qq , 设 nS 为数列 nnpq 的前n项和 , 则 2016S _ 34. 用g n表示自然数n的所有因数中最大的那个奇数，例如：9 的因数有1,3,9 ， 99,10g的因数有 1,2,5,1
12、0，105g，那么 2015 12321gggg . 三、解答题（ 14 个小题） 35. （本小题满分12 分） 在ABC中，角,A B C 所对的边分别为, ,a b c ，已知2cos1 4sin sinB CBC. (1) 求A； (2) 若27a，ABC的面积23，求bc. 36. （本小题满分12 分） 如图，在ABC中，点D在边BC上， , 4 CAD 2 7 AC， 10 2 cos ADB. （1）求Csin的值； （2）若ABD的面积为 7，求AB的长 . 37. （本小题满分12 分） 已知公差不为0的等差数列 n a 中， 1 2a ，且 248 1,1,1aaa 成等
13、比数列 . (1) 求数列 n a通项公式； (2) 设数列 nb 满足 3 n n b a ，求适合方程 12231 45 . 32 nn bbb bb b的正整数n的值 . 38. （本小题满分12 分） 设 * nN，数列 n a 的前项和为 n S，已知 1 2 nnn SSa， 125 ,a a a成等比数列 . （1）求数列 n a 的通项公式； （2）若数列 n b满足 1 ( 2) n an n b a ，求数列 nb 的前n项和 n T. 39. （本小题满分12 分） 近年来我国电子商务行业迎来发展的新机遇,2015 年双 11期间 , 某购物平台的销售业绩高达 918 亿
14、人民币 . 与此同时 , 相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系. 现从评价 系统中选出200 次成功交易 , 并对其评价进行统计, 对商品的好评率为0.6, 对服务的好评率 n 为 0.75, 其中对商品和服务都做出好评的交易为80 次. (1) 能否在犯错误的概率不超过0.001 的前提下 , 认为商品好评与服务好评有关？ (2) 若将频率视为概率, 某人在该购物平台上进行的5 次购物中 , 设对商品和服务全好评的次 数为随机变量X： 求对商品和服务全好评的次数X的分布列（概率用组合数算式表示）； 求X的数学期望和方差. 2 ()0.150.100.050.025 0.010 0
15、.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.0246.635 7.879 10.828 P Kk k （ 2 2() ()()()() n adbc K ab cdac bd , 其中nabcd） 40. （本小题满分12 分） 某市组织高一全体学生参加计算机操作比赛，等级分为1 至 10 分，随机调阅了A、B两所学 校各 60 名学生的成绩，得到样本数据如下： （1）计算两校样本数据的均值和方差，并根据所得数据进行比较； (2) 记事件C为“A校学生计算机优秀成绩高于B校学生计算机优秀成绩”假设 7 分 或 7 分以上为优秀成绩，两校学生计算机成绩相互独立根据所给样本数据，
16、以事件发生的 频率作为相应事件发生的概率，求事件C的概率 41. （本小题满分12 分） 如图，已知矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面，平面ABCD 平面 ABPE=AB，且2,1ABBPADAE，,AEAB 且AEBP （1）设点M为棱PD中点，求证：EM平面ABCD； （2）线段PD上是否存在一点 N，使得直线BN与平面 PCD所成角的正弦值等于 2 5 ？若 存在，试确定点N的位置；若不存在，请说明理由 42. （本小题满分12 分） 正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，,/ /,ADCDABCD 1 2 2 ABADCD，点M在线段EC上且不与 CE , 重合
17、 （1）当点M是EC中点时，求证：ADEFBM平面/； （2）当平面BDM与平面ABF所成锐二面角的余弦值为 6 6 时，求三棱锥BDEM的 体积 43. （本小题满分 12 分） 已知点是椭圆的右焦点，点、分别是轴、 轴上的动点，且满足若点满足 （1）求点的轨迹的方程； （2）设过点任作一直线与点的轨迹交于、两点，直线、与直线 分别交于点、（为坐标原点） ，试判断是否为定值？若是，求出这 个定值；若不是，请说明理由 44. （本小题满分12 分） 以椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 6 3 ，以其四个顶点为顶点的四边形的面积等于 23. （1）求椭圆C的标准方程； （2）过原点且斜率不为0的直线l与椭圆C交于QP,两点，A是椭圆C的右顶点，直线 AQAP 、分别与y轴交于点NM、，问：以MN为直径的圆是否恒过x轴上的定点？若恒 过x轴上的定点，请求出该定点的坐标；若不恒过x轴上的定点，请说明理由. 45. （本小题满分12 分） 已知函数ln3fxaxax（0a） （1）讨论f x的单调性； （2）若140fxaxe对任意 2 ,xe e恒成立，求实数a的取值范围（e为 自然常数）； F )0( 1 1 2 2 2 ay a x (, 0)M m(0,)Nnxy 0NFMNPPOONOM2 PC FPABOAOB axSTOFS FT