2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(全国二卷).pdf

《2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(全国二卷).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(全国二卷).pdf（5页珍藏版）》请在三一文库上搜索。

1、1 绝密启用前 2019 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(全国二卷） 2019.06.07 满分 150 分，考试用时120 分钟 一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的 1、设集合A= x|x 2 -5x+60 ，B= x|x-1b，则（） Aln(a- b)0 B3 a0 D a b 7、设 ，为两个平面，则 的充要条件是（） A内有无数条直线与平行B内有两条相交直线与 平行 C ，平行于同一条直线D ，垂直于同一平面 8、若抛物线y 2=2px(p0)的焦点是椭圆 22 3 1 xy pp 的一个焦点，则p=（

2、） A2 B3 C4 D8 9、下列函数中，以 2 为周期且在区间( 4 ， 2 )单调递增的是（） Af(x)= cos 2xBf(x)= sin 2xCf(x)=cos xD f(x)= sin x 10、已知 (0， 2 )，2sin 2 =cos 2 +1，则 sin =（） A 1 5 B 5 5 C 3 3 D 2 5 5 11、设 F 为双曲线C： 22 22 1(0,0) xy ab ab 的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆 222 xya交于 P，Q 两点 .若 PQOF ，则 C 的离心率为（） A 2 B 3 C2 D 5 12、设函数 ( )f x 的定义域为

3、R，满足 (1)2 ( )f xf x ，且当(0,1x时， ( )(1)f xx x .若对 任意(,xm，都有 8 ( ) 9 f x，则 m 的取值范围是（） A 9 , 4 B 7 , 3 C 5 , 2 D 8 , 3 2 二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20 分 13、 我国高铁发展迅速， 技术先进 .经统计，在经停某站的高铁列车中，有 10 个车次的正点率为0.97， 有 20 个车次的正点率为0.98，有 10 个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的 平均正点率的估计值为 _. 14、已知( )f x是奇函数，且当 0x时，( )e ax f x

4、.若 (ln 2)8f，则a_. 15、ABC的内角,A B C的对边分别为, ,a b c.若 6,2 , 3 bac B，则ABC的面积为 _. 16、中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱 体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“ 半正多面体 ” （图 1）.半正多面体是由两种或两 种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图 2是一个棱数为48的半正 多面体， 它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共 有_个面，其棱长为_.（本题第一空2 分，第二空3 分.） 三、解答题：共70 分。解

5、答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721 题为必考题，每个 试题考生都必须作答第 22、23 为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共60 分。 17、（12 分）如图， 长方体 ABCD A1B1C1D1的底面 ABCD 是正方形， 点 E 在棱 AA1上，BEEC1. （1）证明： BE平面 EB1C1；（ 2）若 AE=A1E，求二面角 B EC C1的正弦值 . 18（ 12 分） 11 分制乒乓球比赛，每赢一球得1 分，当某局打成10:10 平后，每球交换发球权， 先多得 2 分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概 率为 0.5，乙

6、发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10:10 平后，甲先发球， 两人又打了X 个球该局比赛结束. （1）求 P（X=2）；（ 2）求事件 “ X=4 且甲获胜 ” 的概率 . 19（ 12 分）已知数列an和 bn满足 a1=1，b1=0，1 434 nnn aab， 1 434 nnn bba. （1）证明： an+bn是等比数列， an bn是等差数列；（2）求 an和 bn的通项公式 . 20（ 12 分）已知函数 1 1 ln x fxx x . （1）讨论 f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点； （2）设 x0是 f(x)的一个零点，证明曲线 y=

7、ln x 在点 A(x0，ln x0)处的切线也是曲线 e x y的切线 . 21、（12 分）已知点A(- 2,0)，B(2,0)，动点 M(x,y)满足直线 AM 与 BM 的斜率之积为- 1 2 .记 M 的轨 迹为曲线C. （1）求 C 的方程，并说明C 是什么曲线； （2）过坐标原点的直线交C 于 P， Q 两点，点 P 在第一象限，PEx 轴，垂足为E，连结 QE 并延长交 C 于点 G. （ i）证明：PQG是直角三角形；（ii）求PQG面积的最大值. 3 （二）选考题：共10 分请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计 分 22、选修 4-4：坐标系

8、与参数方程（10 分） 在极坐标系中，O 为极点，点 000 (,)(0)M在曲线:4sinC上，直线l 过点(4,0)A且 与OM垂直，垂足为P. （1）当 0= 3 时，求 0及 l的极坐标方程； （2）当 M 在 C 上运动且P 在线段 OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程. 23 选修 4-5：不等式选讲 （10 分） 已知 ( )|2 | ().fxxa xxxa （1）当1a时，求不等式( )0f x的解集； （2）若(,1x时，( )0f x，求a的取值范围 . 2019 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(全国二卷） 2019.06.07 参考答案 一、选择题： 1A 2

9、C 3C 4D 5A 6C 7B 8D 9 A 10B 11A 12B 二、填空题：130.98；14 3； 156 3 1626； 21 三、解答题： 17解：（ 1）由已知得， 11 B C平面 11 ABB A，BE平面 11 ABB A，故 11 B CBE 又 1 BEEC，所以BE平面 11 EBC （2）由（ 1）知 1 90BEB由题设知 11 RtRtABEA B E，所以45AEB， 故AE AB， 1 2AAAB 以D为坐标原点，DA的方向为 x轴正方向，|DA为单位长， 建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz， 则C（0，1，0），B（ 1，1，0）， 1 C（0，1，

10、2），E（ 1，0，1），(1 , 1,1 )CE， 1 (0,0,2)CC 设平面 EBC的法向量为 n=（x，y，x），则 0, 0, CB CE n n 即 0, 0, x xyz 所以可取 n=(0,1, 1). 设平面 1 ECC的法向量为 m=（x，y，z），则 4 10, 0, CC CE m m 即 20, 0. z xyz 所以可取 m=（1，1，0） 于是 1 cos, |2 n m n m nm 所以，二面角 1 BECC的正弦值为 3 2 18、解：（ 1）X=2就是 10：10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这 2个球均由甲得分，或者 均由乙得分因此P（X=2）

11、=0.5 0.4+（1 0.5） （1 04）=05 （2）X=4且甲获胜，就是10：10平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的得分情况 为：前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分 因此所求概率为0.5 （ 1 0.4）+（1 0.5） 0.4 0.5 0.4=0.1 19、解：（ 1）由题设得11 4()2() nnnn abab ，即11 1 () 2 nnnn abab 又因为 a1+b1 =l，所以nna b是首项为 1，公比为 1 2 的等比数列 由题设得 11 4()4()8 nnnn abab，即 11 2 nnnn abab 又因为 a1 b1=l，所以 nn ab

12、是首项为 1，公差为 2的等差数列 （2）由 （1） 知， 1 1 2 nn n ab ， 21 nn abn所以 111 ()() 222 nnnnn n aababn ， 111 ()() 222 nnnnn n bababn 20、解：（ 1）f（ x）的定义域为（0，1），（ 1， +）单调递增 因为 f（e）= e 1 10 e 1 ， 22 2 22 e1e3 (e )20 e1e1 f ， 所以 f（x）在（ 1，+）有唯一零点x1，即 f（ x1）=0 又 1 1 01 x ， 1 11 11 11 ()ln()0 1 x fxfx xx ， 故 f（x）在（ 0，1）有唯一零

13、点 1 1 x 综上， f（x）有且仅有两个零点 （2） 因为 0 ln 0 1 e x x ， 故点 B （ lnx0， 0 1 x ） 在曲线 y=e x 上 由题设知 0 ()0f x， 即 0 0 0 1 ln 1 x x x ， 故直线 AB 的斜率 0 0 000 0 000 0 0 111 ln 11 1 ln 1 x x xxx k x xxx x x 曲线 y=ex在点 0 0 1 (ln,)Bx x 处切线的斜率是 0 1 x ，曲线lnyx在点 00 (,ln)A xx处切线的斜 率也是 0 1 x ，所以曲线lnyx在点 00 (,ln)A xx处的切线也是曲线y=e

14、x 的切线 21、解： （1）由题设得 1 222 yy xx ，化简得 22 1(|2) 42 xy x，所以 C 为中心在坐标原 点，焦点在x 轴上的椭圆，不含左右顶点 （2）（ i）设直线 PQ 的斜率为k，则其方程为(0)ykx k 由 22 1 42 ykx xy 得 2 2 12 x k 记 2 2 12 u k ，则( ,),(,),( ,0)P u ukQuukE u 于是直线QG的斜率为 2 k ，方程为() 2 k yxu由 22 (), 2 1 42 k yxu xy 得 22222 (2)280kxuk xk u 设(,) GG G xy，则u和 G x是方程的解，故

15、2 2 (32) 2 G uk x k ，由此得 3 2 2 G uk y k 5 从而直线PG的斜率为 3 2 2 2 1 2 (32) 2 uk uk k ukk u k 所以PQPG，即PQG是直角三角形 （ii）由（ i）得 2 | 21PQuk ， 2 2 21 | 2 ukk PG k ， 所以 PQG 的面积 2 22 2 1 8() 18 (1) | 1 2(1 2)(2) 12() k kk k SPQ PG kk k k 设 t=k+ 1 k ，则由 k0 得 t2，当且仅当k=1 时取等号 因为 2 8 12 t S t 在2，+）单调递减，所以当t=2，即 k=1 时，

16、 S取得最大值，最大值为 16 9 因此， PQG 面积的最大值为 16 9 22、解：（ 1）因为 00 ,M在C上，当 0 3 时， 0 4sin2 3 3 . 由已知得| | cos2 3 OPOA. 设( , )Q为l上除 P的任意一点 .在RtOPQ中cos|2 3 OP ， 经检验，点(2,) 3 P在曲线 cos2 3 上 .所以， l的极坐标方程为cos2 3 . （2）设(, )P，在RtOAP中，| |cos4cos,OPOA即4cos 因为 P在线段 OM上，且APOM，故的取值范围是, 4 2 . 所以， P点轨迹的极坐标方程为4cos, 4 2 . 23、解：（1）当 a=1 时，( )=|1| +|2|(1)f xxxxx. 当1x时， 2 ( )2(1)0f xx；当1x时，( )0f x. 所以，不等式( )0fx的解集为(,1). （2）因为( )=0f a，所以1a. 当1a，(,1)x时，( )=() +(2)()=2()(1)0f xax xxxaax x 所以，a的取值范围是1,).