《《100题斩》系列——(上解析)极坐标与参数方程.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《100题斩》系列——(上解析)极坐标与参数方程.pdf（11页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、2 100 题斩系列 极坐标与参数方程（上） 1(2018 全国卷 ) 在直角坐标系 xOy 中，曲线C1 的方程为y k|x| 2 以坐标原点为极 点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为 2 2 cos 3 0 (1)求C2 的直角坐标方程； (2)若C 1 与C2 有且仅有三个公共点，求 C1 的方程 【解析】 (1)由 x cos，y sin 得C2 的直角坐标方程为 (x 1)2 y 2 4 (2)由(1)知C2 是圆心为 A( 1, 0) ，半径为 2 的圆 由题设知， C1 是过点B(0, 2) 且关于y 轴对称的两条射线记y 轴右边的射 线为l1 ， y 轴左
2、边的射线为 l2 由于 B 在圆C2 的外面，故C1 与C2 有且仅有 三个公共点等价于 l1 与C2 只有一个公共点且 l2 与 C2 有两个公共点，或 l2 与 C2 只有一个公共点且l1 与C2 有两个公共点 当l 与 C 只有一个公共点时， A 到l 所在直线的距离为 2 ，所以 | k 2 | 2 ， 1 2 1 故k 4 或k 0 3 经检验，当 k 0 时， l 与 C 没有公共点；当 k 4 时， l 与C 只有一个公 1 2 3 1 2 共点， l2 与C2 有两个公共点 当l 与C 只有一个公共点时， A 到l 所在直线的距离为 2 ，所以 | k 2 | 2 ， 2 2
3、2 故 k 0 或 k 4 3 经检验，当 k 0 时， l 与 C 没有公共点；当 k 4 时， l 与C 没有公共点 1 2 3 2 2 综上，所求 C 的方程为y 4 | x | 2 1 3 y 4 sin , 22 2(2018 全国卷 ) 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 x 2 cos ,（ x 1t cos 为参数），直线 l 的参数方程为 y 2 t sin （t 为参数） (1)求 C 和l 的直角坐标方程； (2)若曲线 C 截直线 l 所得线段的中点坐标为(1, 2) ，求 l 的斜率 【解析】 (1)曲线 C 的直角坐标方程为 x y 1 4 16 当c
4、os 0 时， l 的直角坐标方程为y tanx 2 tan ， 当cos 0 时， l 的直角坐标方程为 x 1 (2)将l 的参数方程代入 C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程 (1 3cos 2 )t 2 4(2 cos sin )t 8 0 因为曲线 C 截直线 l 所得线段的中点 (1, 2) 在C 内，所以有两个解，设为t1 ， t2 ，则t1 t2 0 又由得 t t 4(2 cos sin ) ，故2 cos sin 0 ，于是直线 l 的斜率 1 2 k tan2 1 3cos 2 3(2018 全国卷 ) 在平面直角坐标系xOy 中，O 的参数方程为 x cos y s
5、in ， （ 为参数），过点 (0, (1)求 的取值范围； 2) 且倾斜角为的直线 l 与 O 交于 A ， B 两点 (2)求 AB 中点 P 的轨迹的参数方程 【解析】 (1) O 的直角坐标方程为x2 y 2 1 当时， l 与O 交于两点 2 又点 的坐标满足 当时，记 tank ，则l 的方程为y kx l 与 O 交于两点当且仅 2 | | 1 当，解得 k 1 或k 1，即( , ) 或( , ) 4 2 2 4 综上， l 的取值范围是 ( , ) 4 4 xtcos , (t ) (2) 的参数方程为 ytsin 为参数， 4 4 设A ，B ，P 对应的参数分别为 t ，
6、t ，t ，则t tA tB ， A B P P 2 且tA ，tB 满足 t 2 2 2t sin 1 0 于是t A tB 2 2 sin，tP 2 sinP (x,y) xtP cos , y t sin . x 所以点 P 的轨迹的参数方程是 2 sin 2 , 2( 为参数， P ) y 2 2 cos 2 4 4 22 4(2018 江苏)在极坐标系中，直线 l 的方程为sin( ) 2 ，曲线 C 的方程为 6 4 cos，求直线 l 被曲线 C 截得的弦长 【解析】因为曲线 C 的极坐标方程为=4 cos， 所以曲线 C 的圆心为 (2, 0) ，直径为 4 的 圆 因为直线
7、l 的极坐标方程为 sin( ) 2 ， 6 则直线 l 过 A(4, 0) ，倾斜角为 ， 6 所以 A 为直线 l 与圆C 的一个交点 设另一个交点为B，则 OAB= 6 连结 OB，因为OA 为直径，从而 OBA= ， 2 y 1t y 所以AB 4 cos 2 3 6 因此，直线 l 被曲线 C 截得的弦长为2 3 5（2017 新课标）在直角坐标系xOy 中，曲线 C 的参数方程为 x 3cos ( 为参数 )，直线 l 的参数方程为 x a 4t ( t 为参数 ) (1)若 a 1 ，求 C 与l 的交点坐标； y sin ， (2)若C 上的点到 l 距离的最大值为，求 a 【
8、解析】（ 1）曲线C 的普通方程为 x 2 2 9 1 当a 1时，直线 l 的普通方程为x 4 y 3 0 x 4 y 3 0x 21 x 3 25 由 x 2 2 解得 y 0 或 24 9 y 1 y 25 从而C 与l 的交点坐标为(3, 0) ， ( 21 , 24) 25 25 （2）直线 l 的普通方程为x 4 y a 4 0 ，故C 上的点(3cos , sin ) 到l 的 距离为 2 d | 3cos 4 sina 4 | 17 当a 4 时， d 的最大值为 a 9 由题设得 a 9 ，所以 a 8 ； 17 17 当a 4 时， d 的最大值为 a 1 由题设得a 1
9、，所以 a 16 综上， a 8 或 a 16 6（2017 新课标）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴 为极轴建立极坐标系，曲线C1 的极坐标方程为cos 4 (1)M 为曲线 C1 上的动点，点 P 在线段 OM 上，且满足| OM | | OP | 16 ，求点 P 的轨迹 C2 的直角坐标方程； (2)设点 A 的极坐标为 ，点 B 在曲线 C 上，求OAB 面积的最大值 (2, ) 3 2 【解析】（ 1）设 P的极坐标为 ( , ) (0) ， M 的极坐标为 ( 1, ) (1 0) 由椭圆知 |OP|，|OM | 1 4 cos 由| OM | | OP
10、| 16 得 C2 的极坐标方程 4 cos ( 0) 因此 C 的直角坐标方程为 (x 2) 2 y 2 4(x 0) （2）设点 B的极坐标为 ( B , ) (B 0) 由题设知 | OA | 2 ， B 4 cos ， 于是 OAB 面积 S 1 | OA | sin AOB 2 B 4 cos | sin( 3 ) | ) 2 | sin(2 3 | 3 2 2 3 当时， S 取得最大值 2 12 所以OAB 面积的最大值为 2 7（2017 新课标）在直角坐标系xOy 中，直线 l 的参数方程为 x 2 t ( t 为 1 x 2 m y kt 参数)，直线 l 的参数方程为 m
11、 （ m 为参数） 设l 与 l 的交点为 P ， 2 y 1 2 k 当k 变化时，P 的轨迹为曲线 C (1)写出 C 的普通方程； (2)以坐标原点为极点， x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设 l3 ： (cos sin ) 0 ， M 为l3 与C 的交点，求 M 的极径 【解析】（ 1）消去参数 t 得 l1 的普通方程 l1 : y k x2 ； 消去参数 m 得l 的普通方程 l : y 1 x 2 2 2 k y k x 2 设 P(x, y) ，由题设得 y 1 x 2 k ，消去 k 得 x 2 y 2 4 y 0 所以 C 的普通方程为 x 2 y 2 4 y 0 （2）C
12、的极坐标方程为 2 cos 2 sin 2 4 02 , t 2 cos 2 sin 2 4 联立 cos+sin -2=0 得cos sin =2 cos +sin 故 tan 1 ，从而 cos 2 = 9 ，sin 2 = 1 3 10 10 代入 2 cos 2 -sin 2 =4得 2 =5，所以交点 M 的极径为 x 8 t 8（2017 江苏）在平面坐标系中 xOy 中，已知直线 l 的参考方程为（t y x2s 2 2 为参数），曲线 C 的参数方程为 y2 2s 动点，求点 P 到直线 l 的距离的最小值 【解析】直线 l 的普通方程为 x 2 y 8 0 . （ s 为参数
13、）设 P 为曲线 C 上的 因为点 P 在曲线 C 上，设 P(2s 2 , 2 2s) ， 从而点 P 到直线 l 的的距离 d ， 当 s 时， dmin . 因此当点P 的坐标为 (4, 4) 时，曲线 C 上点 P 到直线 l 的距离取到最小值 . 1 9 （2016 年全国 I）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 xacost （t 1 y 1a sin t 为参数， a0）在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中， 曲线C2 ： 4 cos （I）说明 C1 是哪种曲线，并将 C1 的方程化为极坐标方程； （II ）直线 C3 的极坐标方程为=a0 ，其中
14、a0 满足 tan a0 =2 ，若曲线 C1 与 C2 的 公共点都在 C3 【解析】 (1) x a cos t 上，求 a （t 均为参数） y 1 a sin t x 2 y1 2 a 2 C 为以 0 ，1 为圆心， a 为半径的圆方程为x2 y 2 2 y 1 a 2 0 x 2 y 2 2 ，y sin 2 2 sin 1 a 2 0 即为C 的极坐标方程 1 (2) C2 ： 4cos 两边同乘得 2 4 cos 2 x 2 y 2 ， cosx x 2 y 2 4x 即 x2 2 y 2 4 C3 ：化为普通方程为 y 2x ，由题意：C1 和C2 的公共方程所在直线即为C3
15、 得：4x 2 y 1 a 2 0 ，即为C 1 a 2 0 ，a 1 10（2016 年全国 II）在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为 x6 2 y 2 25 3 ) （ I）以坐标原点为极点， x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程； x t cos （ II）直线 l 的参数方程是 ytsin （t 为参数） ， l 与 C 交于 A、 B 两点，AB 10， 求 l 的斜率 【解析】（）整理圆的方程得x 2 y 2 12 11 0 ， 2 x 2 y 2 由cosx 可知圆C 的极坐标方程为 2 12 cos 11 0 siny ()记直线的斜率为k ，则直线的方程为
16、kx y 0 ， 由垂径定理及点到直线距离公式知：， 即 36k 2 90 ，整理得k 2 5 ，则 k 1 k 2 4 3 3 11 （2016 年全国 III）在直角坐标系 xOy 中，曲线C的参数方程为 x 3 cos 1 ysin （ 为参数），以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系， 曲线C 的极坐标方程为sin() 2 2 4 （）写出C1 的普通方程和C2 的直角坐标方程； （）设点P 在C1 上，点 Q 在C2 上，求 | PQ | 的最小值及此时P 的直角坐标 x 2 2 【解析】（） C1 的普通方程为 3 y 1， C2 的直角坐标方程为x y 4 0 .
17、 （）由题意，可设点P 的直角坐标为 ( 3 cos , sin ) ，因为 C2 是直线， 所以| PQ | 的最小值，即为P 到C2 的距离 d ( ) 的最小值， d ( ) 2 | sin( 2 | 3 y 2 sin , 当且仅当 2k(k Z ) 时， d ( )取得最小值，最小值为， 6 3 1 此时 P 的直角坐标为 ( , ) 2 2 12（2016 江苏）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为 x 1 1 t, y 2 3 t, 2 t 为参数，椭圆C 的参数方程为 x cos , 为参数，设直线l 与椭圆 C 相交于A, B 两点，求线段AB 的长 x 1
18、1 t 【解析】椭圆 C 的普通方程为x 2 y 4 1，将直线l 的参数方程 y 2 ， 3 t 2 代入 x 2 y 1，得(1 1 t)2 3 t) 2 2 1 ，即7t 2 16t 0 ， 4 2 4 解得t 0 ， t 16 . 1 2 所以 AB | t t 7 | 16 . 1 2 7 13（2015 新课标）在直角坐标系xOy 中，直线 C1 ： x 2 ，圆C2 ： (x 1) 2 ( y 2) 2 1，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标 系 （）求 C1 ， C2 的极坐标方程； 2 2( 2 （）若直线 C 的极坐标方程为R ,设C 与C 的交点为 M ,
19、 N ,求 C2 MN 3 的面积 4 2 3 【解析】（）因为x cos , y sin， C1 的极坐标方程为cos2 ， C2 的极坐标方程为 2 2 cos 4 sin 4 0 （）将= 代入 2 2 cos 4 sin 4 0 ，得 2 3 2 4 0 ， 4 解得 1 = 2 ， 2 = ，|MN|= 1 2 = ， 因为 C 的半径为 1，则 C MN 的面积 1 2 1 sin 45 o = 1 2 2 2 2 14（2015 新课标）在直角坐标系xOy 中，曲线C ： x t cos , （t 为参数， 1 y t sin , t 0）其中 0 ，在以O 为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中， 曲线 C2 ： 2 sin， C3 ： 2 3 cos （）求 C2 与C3 交点的直角坐标； （）若 C1 与C2 相交于点A， C1 与C3 相交于点B，求| AB | 的最大值 【解析】（）曲线 C 的直角坐标方程为x 2 y 2 2 y 0 ，曲线 C 的直角坐标方 2 x 2 y 2 2y0, 3 x 0,x , 程为 x 2 y 2 2 3x 0 联立 x 2 y 2 2 3x0, 解得 y 0, 或 3 所以 C 与 C 交点的直角坐标为 (0, 0) 和 ( , 3) 2 1 2 2 y 2 ,