【精品讲义】竞赛与自主招生专题第十二讲立体几何.pdf

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1、- 1 - 竞赛与自主招生专题第十二讲立体几何 从 2015 年开始自主招生考试时间推后到高考后，政策刚出时，很多人认为， 是不是要在高考出分后再考自主招生，是否高考考完了，自主招生并不是失去其 意义。自主招生考察了这么多年，使用的题目的难度其实已经很稳定，这个题目 只有出到高考以上，竞赛以下，才能在这么多省份间拉开差距. 所以，笔试难度基本稳定，维持原自主招生难度，原来自主招生的真题竞赛 真题等，具有参考价值。 在近年自主招生试题中，立体几何是高中数学中具有联结和支撑作用的 主干知识，它既是中学数学的重要内容，又是学习高等数学的必要基础，因而是 高考数学与高校自主招生命题的主要板块之一。立体

2、几何问题大致可以分为两大 类：一是空间几何的结构特征、简单几何体的表面积和体积的计算方法，如旋转 体的体积和表面积，割补定理等；二是从构成空间几何体的基本元素点、线、 面人手研究它们的性质以及相互之间的位置关系等，如线、面之间的垂直于平行 的位置判断与证明等。 一、知识精讲 一证明直线与直线的垂直的思考途径 （1）转化为相交垂直； （2）转化为线面垂直； （3）转化为该线与另一线的射影垂直； （4）转化为该线与形成射影的斜线垂直. 二证明直线与平面垂直的思考途径： （1）转化为该直线与平面内任一直线垂直； （2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直； （3）转化为该直线与平面的一条垂线平行； （

3、4）转化为该直线垂直于另一个平行平面； （5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 三空间的线线平行或垂直：设 111 (,)ax y z r ， 222 (,)bxyz r ，则： 1. 平行： a b rr P(0)ab b rr rr 12 12 12 xx yy zz ； - 2 - 2. 垂直： ab rr 0a b r r 121212 0x xy yz z. 四夹角公式： 设 a 123 (,)a aa，b 123 (,)b b b，则 1 12233 222222 123123 cos, aba ba b a b aaabbb . 推论 2222222 1 1223 3123

4、123 ()()()a ba ba baaabbb，此即三维柯西不等式 . 五异面直线所成角： cos|cos,|a b r r = 121212 222222 111222 | | | x xy yz za b abxyzxyz r r rr （其中（090 oo ）为异面直线a b,所成角，,a b r r 分别表示异面直线a b,的 方向向量） 六直线 AB 与平面所成角： sin | AB m arc ABm (m为平面的法向量 ). 七二面角l的平面角： cos | m n arc m n 或 cos | m n arc m n （ m，n为平面， 的法向量） 八空间两点间的距离公式

5、： 若 111 (,)A x y z， 222 (,)B xy z，则 ,A B d=|ABAB AB 222 212121 ()()()xxyyzz. 九点 B到平面的距离： | | AB n d n （ n为平面的法向量， AB 是经过面的一条斜线，A）. 十柱体、锥体的体积： 1. 柱体： VSh 柱体 （S是柱体的底面积、 h是柱体的高） 2. 椎体： 1 3 VSh 锥体 （S是锥体的底面积、 h是锥体的高） 十一长度为l的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为 123 lll、 、，夹 角分别为 123 、, 则有 - 3 - 2222 123 llll 222 123 co

6、scoscos1 222 123 sinsinsin2. 十二球的表面积和体积公式： 1. 球的表面积公式： 2 4SR 球 （ R为球的半径） 2. 球的体积公式： 3 4 3 VR 球 （ R为球的半径） 一空间余弦定理 如图，平面 M 、N相交于直线 l 。AD、为 l 上两点，射线 DB在平面 M 内，射线DC在平面N内。已知,BDCBDACDA， 且、 、都是锐角，是二面角MlN的平面角，则 coscoscos cos sinsin 。 ? 证明： 在平面 M 中，过 A作DA的垂线，交射线DB于 B 点。 在平面N中，过 A作DA的垂线，交射线DC于C点。 设1DA，则 1 tan

7、,tan cos ABDBAC， 1 cos DC，并且BAC就是二面角MlN的平面角。 在DBC与ABC中，利用余弦定理，可得等式 222 22 112 costantan2tantancos coscoscoscos BC， 所以， 22 22 112 2tantancostantancos coscoscoscos 2(coscoscos ) coscos 故 coscoscos cos sinsin 二射影面积公式： - 4 - 在二面角的一个半平面上的任意凸多边形的面积为S，此多边形的另一个半 平面上射影多边形的面积为S，又二面角的平面角度数为，则cosSS。 三欧拉公式： ? 欧拉

8、公式： 设 F 、 E 和V分别表示凸多边形体面、棱（或边） 、顶点的个数，则 2FEV。 利用欧拉公式可以导出正多面体只有以下五种：正四面体、正六面体（正方 体） 、正八面体、正十二面体、正二十面体。 事实上，设正多面体每个面是n边形，每个顶点引出 m条棱，则棱数 E 应是 F （面数）与 n的积的一半，即2nFE。 同时， E应是V（顶点数）与 m的积的一半，即 2mVE。 由、， 22 , EE FV nm ，代入欧拉公式中，有 221111 2 2 EE E nmmnE 。 由于 1 0, E 故 111 2mn 。 显然，,m n 不可能同时大于 3. 由 m和 n的意义知3,3mn

9、，故,m n 中至少有 一个等于 3. 当3m时，易得3,4,5n；同理，3n时，3,4,5m。 综上，3nm时，即正四面体；当4,3nm时，即正六面体；3,4nm 时，即正八面体；5,3nm时，即正十二面体；3,5nm时，即正二十面体。 四祖暅原理： 夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任 意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。 三、典例精讲 例 1 （2011“华约” ）两条异面直线互成 0 60，过空间中任一点A可以作出（） 平面与两异面直线都成 0 45角。 （A）一个（B）两个（C ）三个（D ）四个 - 5 - ? 答案 B ?

10、分析与解答： 如图，将异面直线平移到A点，记此时两条直线为,a b，,a b成 0 60， ,a b所确定的平面为，令,ll分别为,a b的两条角平分线。则与,a b所成角相等的 平面必经过l或 l。而过 l与,a b所成角的最大值为 0 30。这种情况不合要求。过 l的平面与,a b所成角的范围为 0 0,60，绕 l 适当转动平面，并由对称性知，符 合要求的平面有且仅有两个。 例 2 （2011“卓越联盟”）在正方体 1111 ABCDA BC D 中，E为棱 1 AA的中点， F是 棱 11 A B上的点，且 11 :1:3A F FB，则异面直线 EF与 1 BC所成角的正弦值为（）

11、。 （A） 15 3 （B） 15 5 （C ） 5 3 （D ） 5 5 ? 答案 B ? 分析与解答： 如图，取 11 AD 中点 G ，连结 FG ，则 EF与 1 BC 所成角即为GEF。 不妨设正方体棱长为1，则 22 115 244 GFEF， 2 2 EG。 52 315 1616 sin 555 4 GEF。 - 6 - F A B A1 B1 D1 C1 C D E G 例 3 （2010 复旦）设ABCA B C是正三棱柱，底面边长和高都是1，P是侧面 ABBA的中心点，则 P到侧面ACC A的对角线的距离是（） 。 （A） 1 2 （B） 3 4 （C） 14 8 （D

12、） 3 2 8 ? 答案 C ? 分析与解答： 在 A BC中，过 P作PHA C，垂足 H。 2,2,1A BA CBC，则由余弦定理知 3 cos 4 BA C，从而 7 sin 4 BA C，所以 2714 sin 248 PHA PBA C。 AC B A B C P H 学*科* 网 例4 （ 2012 “ 卓 越 联 盟 ”） 直 角 梯 形ABCD中 ， 0 90ABC， 1,2ABADAPBC，面ABP垂直于底面ABCD。 （1）求证：面PAB垂直于面PBC； （2）若 0 120PAB，求二面角BPDC的正切值。 ? 分析与解答： （1）由于平面 ABP平面ABCD，且面AB

13、P平面 ABCD=AB，而BC AB - 7 - BC平面 ABP，ABPBCPBCBCP平面平面平面。 （2）由 0 120PAB，13APABPB。由（1）知 ABPBCBCPB平面，且 27BCPC。 过 P作POBA于BA延长线交于O，连结OD，则 22 315 , 222 POOAODPDPOOD2 。 易见2,2CDBD。 设二面角 BPDC的平面角大小为 ，则由空间余弦定理（见知识拓展）知 coscoscos cos sinsin BDCPDBPDC PDBPDC 。 显然 222 ( 2)( 2)( 3)1 cos0,cos 4222 BDCPDB， 222 ( 2)( 2)(

14、 7)3 cos 4222 PDC 。 157 sin,sin 44 PDBPDC。 故 13 0 34 6444 cos,sin,tan6 3157105105 44 ，即所求二面角的正 切值为 4 6 3 。 ? 注：本题的第（ 2）问比较难，这里我们用的是空间余弦定理，其优点是不用添 加辅助线找出二面角，直接通过面角的三角关系求出二面角。 例 5（2010 同济） 如图 5-1， 四面体ABCD中，AB和CD为对棱。设,ABa CDb， 且异面直线 AB与CD间的距离为d，夹角为 。 （1）若 2 ，且棱AB垂直于平面BCD，求四面体ABCD的体积； 图 5-1 - 8 - （2）当 2

15、 时，证明：四面体ABCD的体积为一定值； （3）求四面体 ABCD的体积。 ? 分析与解答： （1）如图 5-2，由于棱ABBCD面，过 B作CD边上的 高 BE ， 则,A BB EC DB E， 故 BE即为异面直线 AB与CD间的距离，所以BEd。 所以 1111 3326 ABCDBCD VAB Sab dabd。 图 5-2 图 5-3 （2）如图 5-3，过 A作底面 BCD的垂线，垂足为O，连结BO与CD相交于 E 。 连结AE，再过 E作AB的垂线，垂足为 F 。因为AB CD，所以BOCD（三垂 线定理的逆定理），所以CDABE平面， ,EFABECDEF平面又EFAB。

16、所以 EF即为异面直线,AB CD的公垂线。 所以EF。注意到CD 平面。所以 1111 3326 ABCDABE VSCDABEFCDabd为定值。 （3）如图5-4：将四面体ABCD补成一个平行六面体ABBDA CC D。由于 ,AB CD所成角为，所以,DCA又异面直线AB与CD间的距离即上、下两 底面,ABA C的距离，所以 1 sin2sin 2 ABB DA CC D Vabdabd。显然 11 sin 66 ABCDABB DA CC D VVabd。 - 9 - 图 5-4 例 6 （2008 复旦）在如图 14-9 所示的三棱锥中， 点 A、 1 BB的中点 M 以及 11

17、B C的 中点N所决定的平面把三棱柱切割成不相同的两部分，则小部分的体积和大部分 的体积之比为（） （A） 1 3 （B） 4 7 （C） 11 17 （D ） 13 23 ? 分析与解答： 连结NM与CB的延长线交于 D，连AD。连结 MN与 1 CC延长线交于 E，依题意 知 E点也在 ,A MN D所确定的平面内。设平面AMN交 11 AC于 F。令原三棱柱底面积为S，高 为h。 平面将原三棱柱分成上、 下两部分体积分别记为,VV下 上 。由于 M 是 1 BB中点， 1 B NMBDM ，故 1 2 DB BC ，从而 3 2 ADC SS，同理， 1 1 1 2 EC C C 。 1

18、 EADCENC FMADB VVVV 下 13313111123 322329232236 S ShShhSh， 2313 3636 VShShSh 上 。 故 13 23 V V 上 下 ，应选 D。 注：本题的难点是添加辅助线。 例 7 （2009 清华）四面体 ABCD中，,ABCD ACBD ADBC。 （1）求证：这个四面体的四个角都是锐角三角形； （2）设底面为BCD，另外三个面与面BCD所形成的二面角为,。求证： - 10 - coscoscos1。 ? 分析与解答： （1）由对棱相等想到长方体。可构造一个如图7-1 所示的长方体。设 ,ABCDx ACBDy，ADBCz，长方

19、体长、宽、高分别为, ,a b c，则有 222222222 222222222222 , 222 xyzxzyyzx abxacybczabc 。 由 222 ,0ab c，可得 222222222 ,xyz xzyyzx 。于是，四面体的四 个面都是锐角三角形。 （2）如图 7-2，设O是 A在底面BCD上的射影，由（ 1）知O在BCD内。由射 影面积公式知 cos BOC ABC S S 等。显然三个侧面,ABCACDABD及底面 BCD面积均相等，且 BOCCODBODBCD SSSS，故coscoscos1。 注：对于对棱相等的四面体经常考虑构造一个长方体。 B D A C A B

20、C O 图 7-1 图 7-2 例 8 （2010 五校联考）如图 8-1，正四棱锥 PABCD中， 1 B为 PB中点， 1 D为 PD 中点，求两个棱锥 11, ABCD PABCD的体积之比 11 A BCD PABCD V V 。 ? 分析与解答： 对于三棱锥 11 ABCD ，无论将哪个三角形作为底面都不方便计算体积，故考虑间 接法，即考虑其余四个小三棱锥 111111 ,DACD BABC PBCD PAB D 与原四棱 锥P ABCD的体积比。 - 11 - 11 1 11 2 24 DACD ACD PABCDABCD V SDD VSPD ， 同理， 1 1 11 2 24

21、BABC PABCD V V 11111111111 22228 PB CDPBCD PBCD PABCDPBCDPABCD VV VPDPB VVVPDPB ，同理， 111 8 PAB D PABCD V V 。 所以， 11 11111 1 44884 A B CD PABCD V V 。 注：本题用到了这样一个结论，如图8-2， 111 ,A B C 是,OA OB OC（或延长线上） 的点，则 11 1 111 OABC OA B C VOAOBOC VOAOBOC 。 D A BC P B1 D1 A B C O A1 C1 B1 图 8-1 图 8-2 例 9 （2001 复旦）已知棱柱 111 ABCABC 的底面是等腰三角形，ABAC，上底 面的顶点 1 A在下底面的射影是ABC的外接圆圆心，设BC， 1 3 A AB，棱 柱的侧面积为 2 2 3a 。 （1）证明：侧面 11 A ABB 和 11 A ACC 都是菱形， 11 B BCC 是矩形； （2）求棱柱的侧面所成的三个二面角的大小； （3）求棱锥的体积。 ? 分析与解答： （1）如图，设 1 A 在底面ABC上的射影为O，则O是ABC的外心 11 A AAB 。 又由