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1、- 1 - 竞赛与自主招生专题第十五讲解析几何一 从 2015 年开始自主招生考试时间推后到高考后，政策刚出时，很多人认为， 是不是要在高考出分后再考自主招生，是否高考考完了，自主招生并不是失去其 意义。自主招生考察了这么多年，使用的题目的难度其实已经很稳定，这个题目 只有出到高考以上，竞赛以下，才能在这么多省份间拉开差距. 所以，笔试难度基本稳定，维持原自主招生难度，原来自主招生的真题竞赛 真题等，具有参考价值。 在近年自主招生试题中，解析几何是高中数学内容的一个重要组成部分，也 是高考与自主招生常见新颖题的板块，各种解题方法在解析几何这里得到了充分 的展示，尤其是平面向量与解析几何的融合，
2、提高了综合性，形成了题目多变、 解法灵活的特色。 一、知识精讲 1. 点到直线的距离： 00 22 |AxByC d AB ( 点 00 (,)P xy, 直线l：0AxByC). 2. 圆的四种方程 （1）圆的标准方程 222 ()()xaybr . （2）圆的一般方程 22 0xyDxEyF( 22 4DEF0). （3）圆的参数方程 cos sin xar ybr . （4）圆的直径式方程 1212 ()()()()0xxxxyyyy (圆的直径的端点是 11 (,)A x y、 22 (,)B xy). 3. 点与圆的位置关系 点 00 (,)P xy与 圆 222 )()(rbyax
3、的 位 置 关 系 有 三 种 若 22 00 ()()daxby，则 dr点 P 在圆外 ;dr点 P 在圆上 ;dr点 P在圆内 . 4. 直线与圆的位置关系 直线0CByAx与圆 222 )()(rbyax的位置关系有三种 : - 2 - 0相离rd; 0dr相切; 0相交rd. 其中 22 BA CBbAa d. 5. 椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的参数方程是 cos sin xa yb . 6. 双曲线的方程与渐近线方程的关系 (1）若双曲线方程为1 2 2 2 2 b y a x 渐近线方程： 22 22 0 xy ab x a b y. (2) 若渐近线方程为
4、x a b y 0 b y a x 双曲线可设为 2 2 2 2 b y a x . (3) 若双曲线与1 2 2 2 2 b y a x 有公共渐近线，可设为 2 2 2 2 b y a x （0， 焦点在 x轴上， 0， 焦点在 y 轴上） . 7. 直线与圆锥曲线相交的弦长公式 22 1212 ()()ABxxyy或 2222 211212 (1)()| 1tan|1tABkxxxxyyco （ 1122 (,),(,)A x yB xy 1. 三角形四心的坐标 设 ABC三边的长度分别为 a,b,c ，三个顶点 A、B、C的坐标分别记为(,) AA xy、 (,) BB xy、(,)
5、CC xy， 则重心 G 、 内心 I 、 垂心 H、 外心 O坐标分别为, 33 AA xy G、 , AA axay I aa 、 coscos , coscos AA axay AA H aa AA 、 sin 2sin 2 , sin 2sin 2 AA xAyA O AA 。 - 3 - 2. 直线系 若直线 1111 :0la xb yc与直线 2222 :0la xb yc相交于P，则它们的线 性组合 111222 ()()0a xb yca xb yc（,R，且不全为 0） （*）表示过 P 点的直线系。当参数,为一组确定的值时，（*）表示一条过P 点的直线。特别 的，当 0时
6、， （*） 式即 222 0a xb yc； 当0时， （*） 式即为 111 0a xb yc。 对于 12 ,ll以外的直线，我们往往只在（*）式中保留一个参数，而使另一个为1. 又若 1 l与 2 l平行，这时（ *）式表示所有与 1 l平行的直线。 3. 圆幂定理： 过一定点作两条直线与圆相交，则定点到每条直线与圆的交点的两 条线段的积相等，即它们的积为定值. ? 备注： 切线可以看作割线的特殊情形，切点看作是两个重合的交点. 若定点到圆 心的距离为d，圆半径为r，则这个定值为 22 dr. 当定点在圆内时， 22 0dr ， 22 dr等于过定点的最小弦的一半的平方； 当定点在圆上时
7、， 22 =0dr； 当定点在圆外时， 22 0dr ， 22 dr等于从定点向圆所引切线长的平方. 特别地，我们把 22 dr称为定点对于圆的幂 . 4. 两圆的“根轴”：到两圆等幂的点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的一条直线； 如果此二圆相交，那么该轨迹是此二圆的公共弦所在直线这条直线称为两圆的 “根轴” ? 对于根轴我们有如下结论：三个圆两两的根轴如果不互相平行，那么它们交于 一点，这一点称为三圆的“根心” 三个圆的根心对于三个圆等幂当三个圆两两 相交时，三条公共弦 (就是两两的根轴 ) 所在直线交于一点 5. 各曲线的定义： PF PFPHPl PH =1，为定点，是 到定直线的距离，
8、（1）椭圆： 121212 222P PFPFaaF FFFa，、为定点，为正常数，； （2）双曲线： - 4 - 121212 -222P PFPFaaF FFFa，、为定点，为正常数，； （3）抛物线： PF PFPHPl PH =1，为定点，是 到定直线 的距离， 6. 圆锥曲线的统一定义： 平面上，到一个定点 F的距离与到一条定直线 l的距离之 比为一个常数 e的点的轨迹叫做圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线） 当01e 时，曲线是椭圆；当1e时，曲线是双曲线；当1e时，曲线是抛 物线这个定点 F 叫做曲线的焦点，定直线l叫做曲线的准线，定点 F 到定直线的 距离 P叫做焦参数 7. 圆锥
9、曲线的标准方程： （1）椭圆： 22 22 1(0) xy ab ab ， 22 22 1(0) yx ab ab ； （2）双曲线： 22 22 1 xy ab ， 22 22 1 xy ab （0ab0， ） ； （3）抛物线： 2 2ypx， 2 2ypx， 2 2xpy ， 2 2xpy（p0） ? 备注： 比值 e叫圆锥曲线的离心率，其中 c e a 。 三、典例精讲 例 1 （2011复旦）椭圆 22 1 2516 xy 上的点到圆 22 (6)1xy上的点的距离的最大 值是（） 。 （A）11 （B）74（C）5 5（D）9 ? 分析与解答： 由平面几何知识，椭圆 22 1 25
10、16 xy 上的点到圆 22 (6)1xy上的 点的距离最大值 =椭圆上的动点到圆心的最大距离+圆的半径。设圆 22 (6)1xy 圆心为O，(5cos,4sin)P是椭圆上的点，则 22222 |(5cos)(4sin6)25cos16sin48sin369sin48sin61PO 22 88 9 sin1259112510 33 （当sin 1时取等号）。故所求距 - 5 - 离最大值为 11. ? 注： 或者考虑 222 (6)xyk 与 22 1 2516 xy 的相交情况，用判别式法解决。 例 2 （2012“卓越联盟”）抛物线 2 2ypx(0)p， F 为抛物线的焦点，,A B是
11、 抛物线上两点，线段AB的中垂线交 x轴于( ,0)D a，0a，|mAFBF。 （1）证明： a是, p m的等差中项； （2）若3mp，l为平行于y轴的直线， 其被以 AD为直径的圆所截得的弦长为定 值，求直线l的方程。 ? 分析与解答： （1）设 112 (,),(,)AxyBxy，由抛物线定义知 1212 | 22 pp AFBFxxxxp。 又 AB 中垂线交 x 轴于(,D a，故 2222 112212122 ()()(2)()xayxayxxaxxy 2 121 2 ()yp xx， 因 为 21 xx， 所以 12 22xxap ， 12 22xxap ， 故 |mAFBF
12、12 2, 2 mp xxpap a，a是,p m的等差中项。 （2）因为3mp，所以2ap。设 2 (2,2)Aptpt ，(2,0)Dp。圆心 2 (,)O pptpt 。 - 6 - 设直线 l 的方程为 xn。由于弦长为定值，故 22 Rd为定值，这里 R为圆的半径， d 为圆心O到l的距离。 22222222222222 2 1 (22 )(2) ()(1)()3 4 Rdptpptpptnpttpptnp t 22222 22(23)(2)npnptnnpptnpn。 令 2 230npp，即 3 2 np时， 22 Rd为定值 222 93 3 44 ppp，故这样的直 线l 的
13、方程为 3 2 xp。 例 3 （2006 复旦）已知抛物线 2 yax，直线 12 ,ll都过点(1, 2)且互相垂直。若抛 物线与直线 12 ,ll中至少有一条相交，求实数a的取值范围。 ? 分析与解答： 先看 0a 的情形，如图 13-8，显然，无论(1, 2)在抛物线 2 yax形内，还是在形 外。 2 yax与 12 ,l l始终至少有一条相交，故0a符合题意。 若0a，过(1, 2)作抛物线 2 yax的切线，设这两条切线的张角为。若 0 90，则我们总可以找出两条互相垂直的直线，使这两条直线与 2 yax不相交， （如图 13-9） ；若 0 90，则过(1, 2)的两条直线中，
14、必有一条与 2 yax相交（如 图 13-10） 。 - 7 - 图13-8 图13-9 图 13-10 于是，原问题转化为如下一个问题：过(1, 2)作抛物线 2 yax的切线，这两 条切线对抛物线的张角 0 90。 设 过( 1 ,2的 切 线 方 程 为(1 )2ykx， 由 2, (1 )2 ya x ykx ， 知 2 20axkxk。 令 2 480kaka。设方程两根为 12 ,k k，则 0 12 901k k。由韦达 定理，81a，故 1 8 a。 综上， a的取值范围是 1 (,0)0, 8 a。 例 4 设 12 xxR、， 常数0a， 定义运算“” ： 2 1212 (
15、)xxxx，定义运算“” ： - 8 - 2 1212 ()xxxx；对于两点 11 (,)A xy、 22 (,)B xy，定义 12 ()d AByy. (1) 若0x，求动点,()()P xxaxa的轨迹C； (2) 已 知 直 线 1 1 :1 2 lyx与 (1) 中 轨 迹C交 于 11 (,)A xy、 22 (,)B xy两 点 ， 若 1212 ()()8 15xxyy，试求 a的值； (3) 在(2) 中条件下，若直线 2 l不过原点且与y轴交于点 S，与 x轴交于点 T，并且 与(1) 中轨迹C交于不同两点 P、Q , 试求 |() |() | |()|() | d ST
16、d ST d SPd SQ 的取值范围。 ? 分析与解答： (1) 设()()yxaxa 则 2 ()()yxaxa 22 ()()4xaxaax 又由()()yxaxa 0 可得 P( x,()()xaxa )的轨迹方程为 2 4(0)yax y，轨迹 C 为顶点在原 点，焦点为( ,0)a的抛物线在x轴上及第一象限的内的部分 (2) 由已知可得 2 4 1 1 2 yax yx , 整理得 2 (416 )40xa x, 由 2 (416 )160a , 得 1 0 2 aa或0a， 1 2 a 2222 12 1212121212 ()()()()()() 2 xx xxyyxxyyxx
17、 22 1212 55 ()4(416 )168 15 22 xxx xa , 解得2a或 3 2 a(舍) ；2a (3) 1212 ()|d AByyyy |()|() | |()|() | d STd STSTST d SPd SQSPSQ 设直线 2 :lxmyc, 依题意0m,0c，则( ,0)T c, 分别过 P、Q作 PP1y 轴， O x y P S T Q Q1 P1 - 9 - QQ 1y 轴，垂足分别为 P1、Q1，则 | | | | SQ ST SP ST 11 | | | | PQ OTOTcc PPQQxx 由 2 8yx xmyc 消去 y 得 222 (28)0
18、xcmxc |11 | |() | PQ STST c SPSQxx 1 2| | PQ c x x 2 1 2| |2c c P x、 Q x取不相等的正数，取等的条件不成立 |() |() | |() |() | d STd ST d SPd SQ 的取值范围是（ 2，+） 例 5 （2011 “华约” ）抛物线 2 4yx的焦点为 F ，弦 AB 过 F ，原点为O，抛物线 准线与 x轴交于点C， 0 135OFA，求tanACB。 ? 分析与解答： 解法一：设 1122 (,),(,)A x yB xy，分别过 A、B作 x 轴的垂 线，垂足分别为,A B，依抛物线定义知 1 |1AF
19、x， 所以 0 11 |(1)sin 45 ,|1AAxCAx，所以 | tan | AA ACA CA 2 sin 45 2 o 。 同理， 2 tan 2 BCB ，所以 tan2 2ACB。 解法二：AB ：1yx代入抛物线中， 2 1610,32 2xxx ， 2 32 2x， 所以 (32 2,22 2),(32 2,22 2)BA。所以(1,0),CCACB，又 - 10 - | | 12CACB 1 cos 3 ACB，所以 tan2 2ACB。 例 6 （2012“北约” ）已知点( 2,0),(0,2)AB，若点 C 是圆 22 20xxy上的动 点，求 ABC面积的最小值。
20、 ? 分析与解答： 圆的方程 22 (1)1xy。设(1cos ,sin)C到 AB ：20xy的距离为 d，则 |1cossin2|cossin3| 22 d。 因为cossin2 cos2,2 4 。所以 min 32 2 d，所以 min 132 ()2 232 22 ABC S。 当 C点的坐 标取 22 1, 22 时， ABC的面积有最小值 32 。 例 7.（2010 五校联考）如图，ABCD、 、在 2 4xy 上， AD、关于抛物线对称轴对称。过点D 作切线，/ /BC切线， 点 D到ABAC、距离分别为 12 ,d d， 12 2 |ddAD 。 （1）试问： ABC是锐角
21、、钝角还是直角三角形？ （2）若 ABC的面积是 240，求 A的坐标和BC的方程。 ? 分析与解答： （1）对 2 4xy求导， 1 2 yx 。设 2 00 1 , 4 Dxx，由导数的几何意义知BC的斜率 0 1 2 BC kx。 由 题 意 知 2 00 1 , 4 Axx， 设 2 11 1 , 4 Cxx， 2 22 1 , 4 Bxx， 则 - 11 - 22 12 120 12 11 11 44 () 42 BC xx kxxx xx 120201 22xxxxxx 。从而 2 0101 1 2,(2) 4 Bxxxx。 22 10 10 10 1 () 1 4 () 4 AC
22、 xx kxx xx ， 22 0100101 01 01001 11 (2)(3)() 1 44 () 234 AB xxxxxxx kxx xxxxx ， 12ACAB kkDACDABdd，再结合 12 2 |ddAD知 0 45DACDAB，故ABC是直角三角形。 （2）由 （ 1） ，不妨 设 C 在 AD 上方， AB 的 方程为 2 00 1 () 4 yxxx。 由 2 00 2 1 (), 4 4 yxxx xy 得到另一个交点 2 00 1 4,(4) 4 Bxx 。 AC 方 程 为 2 00 1 4 yxxx， 由 2 2 00 4, 1 4 yx yxxx 得 到 另 一 个 交 点 2 00 1 4,(4) 4 Cxx。 000 |2|(4)() |2 |24|ABxxx， 000 |2 |4()|2 |24|ACxxx， 所以 00 1 2 |24 | |24 | 240 2 Sxx，解得 0 8x，故(8,16)A或( 8,16)。 0 8x时，(4,4),(12,36)BC，BC的方程为412yx。 0 8x时，( 12,36),( 4,4)BC，BC的方程为412yx。 注：此题的关键是证明 12 dd 。