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1、基于课程标准的数学表征考查研究,一、对学生在学习实践中出现错误或解题偏差即“会而不对，对而不全”现象进行案例分析。,例1 函数的 的零点个数（ ） A、0； B、1 ； C、2； D、3 某同学解答：选（B） 分析：函数有关问题必须先求定义域，通过作图可以知道图像不是连续不断的，所以在这里选（B），是错误地使用了零点存在定义。 正确解答：选（A）。因为()在定于域为 ， 当 时， ,当 时， ，所以函数没有零点。,（一）数学概念的错误表征分析,例2 函数 值为零时，自变量 的值是_。某同学解答是 。 分析：该问题解决时忽略考虑问题中函数本身定义域是 。说明学生在求该函数值为0时，忽略先考虑函数
2、定义域。函数概念关键的定义域没有给予表征，数学中函数的基本知识没有理解到位，也就没有掌握解题基本条件。,（一）数学概念的错误表征分析,（二）数学公式中、数字、字母理解错误表征分析。,例1 的，在初学完全平方时，很大一部分成绩中下学生会这么认识。 错误分析：这是对数学公式的表征出现障碍，难以将公式的符号与文中内容一一对应。数学符号高度的简洁性、抽象性、概括性，没有亲身实践体验，是很难正确理解，达到认识。所以初中数学八年级课本很详细地用图形讲授、拼图或将图形分割，利用面积法，将公式的抽象记忆转化为直观联系，建立在学生亲身体验的基础上牢固记忆。,例2 对初中完全平方公式错误运用。 （1） _ 是完全
3、平方公式， 答案：4 （2） _是完全平方公式，答案：4 （3） 是完全平方公式， 答案：2 这三题中，某生第（1）、（3）出现错误，属于“对而不全”现象，原因是对完全平方公式中的符号表征出现偏差，是信息储存加工过程出差错，缺乏分类思想，没有考虑两种答案可能。由此可见，正确的表征对解题产生重要影响。,（二）数学公式中、数字、字母理解错误表征分析。,（三）数学问题中，深层次的信息没能表征分析。,这种现象往往是考虑不周或条件隐含太深，没能挖掘、发现。 例，若函数 是定义在 上的偶函数， 求 、 的值。 错解： ， 为非零实数。 分析：这里隐含的条件是具有奇偶性函数，定义域必须关于原点对称，即 ，得
4、 ，然后根据偶函数可直接得 。命题编制时，故意隐去相关数学条件，大多学生不会用“偶函数”本身的性质去表征问题解答关键，从而不会进行模式识别和解题迁移。,（四）思路选取（即解题方法）出现差异思维量长短或错误的表征分析。,例 如图，在平面直角坐标系中， 为等腰直角三角形， 过A点作y轴的垂线交y轴于E，F为x轴负半轴上一点，G在EF的延长线上，以EG为直角边作等腰 ,过A作x轴垂线交EH于M点，连FM，等式 是否成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由。,分析：针对 这个式子进行变式AMFM=OF即AM= OF+FM，这样复杂的问题就简化多了，从线段的和差联想到“补短截长”的方法。 方法1：可以在
5、AM线段上截取AN=OF，先证明 ，再证 即可以解决。 方法2：可以在x轴负半轴上截取ON=AM。先证明 ，再证明 从而解决问题。,然而比较方法1和方法2，方法2相对图形表征线条更清晰。表征更明显，显然思维长度相差不多，但更优化。 但是受方法“补短截长”的影响，延长MF在射线MF上截取 的就已知条件不够而证明不出来。 由此可见，同一数学问题的表征方式不同，使得问题解决的难易程度及效果也不同，适宜的问题表征可以缩短思维过程，优化解题过程，甚至避免错误。所以对图形理解要有预测性。受原有知识记忆的干扰，作为知识迁移、重一般性、忽视特殊性，说明图形表征能力不准确，特殊性表征不到位。,总结一下,（五）建
6、构过程与原有认知链接出错的表征分析。,例1 某种笔记本每本5元，买x本， ，笔记本的钱数记为y元，试写出y关于x的函数解析式并画出函数的图像。 错解：曲题意得： 正确解：由题意得 ，,如图：,错图分析：解决此类问题要特别注意函数的定义域，本题解答忽略这一问题表征，从而改变问题的题意，易画成线段或直线。即受函数已有认知的干扰，对问题“定义域”这一“关键”内容不予以考虑；关键表征被隐掉，从而出现“会而不对”现象，思维不严谨，表征不够深度，与固有知识链接不当。 由此，学生对概念问题表征正确与否对解题时“对”与“错”至关重要。学生问题表征能力的强弱，对学习能力，特别是自主学习能力的形成也至关重要，是学
7、生数学思维活动的一种能力体现；培养学生问题表征能力也成为培养学生创新能力的必要，是新课程教学要求的一项重要任务。,分析一下,数学问题表征是解决问题的关键，根据课标要求，中学教师应注重课堂教学，将“数学表征能力”的培养植根于课堂。,二、教师教学过程应努力的目标。,教师在课堂讲授知识的过程中，应注重自身对教材基本知识的表述，尤其是概念的内涵、外延的描述，正确地表征概念。,初中学生在对概念的描述还缺乏数学语言的组织。从小学升到初中，数学的内容，抽象性、概括性、逻辑性等发生了巨大变化，所以教师在课堂上应着力于培养学习数学规范书写，数学规范用语，注重数学语言的组织和阐述，首先让学生明白数学是来自生活的一
8、门无声的科学，是用无声的语言表达展现的。而高中生随着思维能力的发展和知识量的增加，应注重问题的外部表征能力的培养，即会用符号表达，文字语言表达，会用直观图表阐明等三种语言的转化。同一种概念可从不同方面表述。,（一）训练学生对数学概念的正确表达，提高问题表征的准确性。,例1 对函数概念的正确表达： （1）是描述变量之间的依赖关系是一种特殊的映射； （2）函数的定义域、值域； （3）函数的表示法有图像法、列表法、解析法，培养 学生“以形解数，以数示形”的思维能力。,例2 用图像展示函数的奇偶性； 阐述在整个定义域 上是偶函数，组织学生进行图形语言和符号表征训练，从提升问题表征能力。,想一想,对数学
9、概念表征的认识，引发教师对数学教学的进一步思考。学生作为学习的主体，教师要预测性地看到初学者将碰到的难点和疑点，然后以初学者最可以理解的方式来理解概念，要创设适当的情景使问题表征尽可能与数学概念原型相吻合，帮助学生加深对数学概念的理解。,（二）创设思维场的情景，促进基本知识的建构，深化问题表征。,例 进行“向量”概念表征 ：根据课标要求，教师让学生对“向量”正确的物理背景和几何背景入手，通过力的分析等实例，建立在学生熟悉的矢量等概念与向量练习，引出向量的概念。 （1）将向量与数量比较，使学生更深刻地把握向量的概念。 （2）通过向量的平移来说明向量相等与起点无关。 （3）通过与平面几何中的直线、
10、线段的平行概念比较，使学生知道两个共线向量不一定在同一直线上，但两个向量平行就是共线向量，零向量与任意向量平行。,总结提高,梳理提高,让学生正确了解向量实际背景，会用字母表示向量、理解零向量、单位向量、相等向量及向量的模，会用几何知识进行表征比较，由此可见高中数学学习不再是单纯的记忆、接受、模仿；发挥学生的主体作用、主动学习、不断探索，而创设问题情景可以激发学生思维，提高解决问题能力，从而拓展元认知的开发。,在初中教材中，这一点的训练优为重要。初中学生，不管是学习的内容或思考问题上，相比小学阶段大大跨越了一步，教师应循循善诱，注重章节之间知识点的区别联系，让学生简化内容的记忆、模仿、激发概括、
11、推理，转化的思维方式。,（三）把握基本知识之间的网状关系，提高问题表征迁移性。,例1 初中几何网状图： 性质判定的关系用这图形全部简化。,例2 小学数学“分数”延伸到初中“分式”的概念性质比较，有助于记忆。,例3 “非负数”联想到“绝对值”、“完全平分数（式）”、“二次根式”等等这种网状概述有利于培养学生归纳、总结能力，建立知识的结构系统。,动一动,在复杂、在陌生数学问题面前，学生有时会困惑，教师应鼓励学生增强学习信心，尝试将困难问题通俗化，帮助学生认真审题、理清思路、化复杂为简单，将陌生问题表征与原有知识相联系，深入浅出地把问题剖析。,（四）帮助理清问题的思路，提高问题表征的条理性、灵活性。
12、,例 2015年全国卷，文11，理11（文理同题） 圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图的正视图和俯视图如下图所示。若该几何体的表面积为 ，则r=（ ）,做一做,分析一下,分析：本题是考查学生的空间想象能力和推理论证能力，而三视图是考查空间想象能力的很好载体。全国卷加强三视图的考查，且达到一定的深度，难度大大增加，对这类复杂图形，将问题转化为平面几何，并运用原有几何的知识去表征，从而解决问题。,总之，学生解题的质量，与学生数学问题表征能力是紧密相关的，对问题进行合理、正确、适宜的表征，会减少解题思路偏差。通过严密的数学问题表征训练，培养学生严谨的数学语言表达能力，提高思考的条理性和灵活性，才能保证教与学的质量，这也是数学课程标准要求的重要任务。,探索提高,【1】福建省普通高中新课程教学要求（试行）数学2008年6月第一版 【2】中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验）M.北京：人民教育出版社，2003. 【3】文萍.高中生数学概念表征的研究J.玉溪师范学院学报，2008，（8）：61-65. 【4】郭秀玲，李忠海.学生数学问题表征能力分析J.中国数学教育，2008.9. 【5】李善良.现代认知观下的数学概念学习与数学M.南京：江苏教育出版社，2005：55”,谢谢大家！,