《八个无敌模型——全搞定空间几何的外接球和内切球问题(1).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《八个无敌模型——全搞定空间几何的外接球和内切球问题(1).pdf（10页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、1 类型一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径） c a b 图1 C P A B a b c 图2 P C B A a b c 图3 C B P A a b c 图4 P C O2 B A 方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式 2222 )2(cbaR，即 222 2cbaR，求出R 例 1 （1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ C ） A16 B20 C24 D32 （2）若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是9 解：（ 1）16 2h aV，2a，2416444 2222 haaR，24S，选 C
2、； （2）93334 2 R，94 2 RS （3）在正三棱锥SABC中，MN、分别是棱SCBC、的中点，且MNAM, 若侧棱2 3SA, 则 正三棱锥ABCS外接球的表面积是。36 解：引理： 正三棱锥的对棱互垂直。证明如下： 如图（ 3）-1，取BCAB,的中点ED,，连接CDAE,，CDAE,交于H，连接SH，则H是底面正三角 形ABC的中心，SH平面ABC，ABSH， BCAC，BDAD，ABCD，AB平面SCD， SCAB，同理：SABC，SBAC，即正三棱锥的对棱互垂直， 本题图如图（3）-2，MNAM，MNSB/， SBAM，SBAC，SB平面SAC， SASB，SCSB，SAS
3、B，SABC， SA平面SBC，SCSA， 故三棱锥ABCS的三棱条侧棱两两互相垂直， 36)32()32()32()2( 2222 R，即364 2 R， 正三棱锥ABCS外接球的表面积是36 (3)题-1 H E D B AC S (3)题-2 M N A B C S 2 （ 4） 在四面体SABC中，ABCSA平面， , 1, 2,120ABACSABAC则该四面体的外接 球的表面积为（ D ）11.A7.B 3 10 .C 3 40 .D （5） 如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6、4、3，那么它的外接球的表面积是 （6） 已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的
4、等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几 何体外接球的体积为 解析： （4）在ABC中，7120cos2 222 BCABABACBC， 7BC，ABC的外接球直径为 3 72 2 3 7 sin 2 BAC BC r， 3 40 4) 3 72 ()2()2( 2222 SArR， 3 40 S，选D （5）三条侧棱两两生直，设三条侧棱长分别为cba,（ Rcba,），则 6 8 12 ac bc ab ，24abc，3a，4b，2c，29)2( 2222 cbaR，294 2 RS， （6） 3)2( 2222 cbaR， 4 3 2 R， 2 3 R 2 3 8 33 3 4 3 4 3
5、 RV， 类型二、垂面模型（一条直线垂直于一个平面） 1题设：如图5，PA平面ABC 解题步骤： 第一步：将ABC画在小圆面上，A为小圆直径的一个端点，作小圆的直 径AD，连接PD，则PD必过球心O； 第二步： 1 O为ABC的外心，所以 1 OO平面ABC，算出小圆 1 O的半 径rDO1（三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得 r C c B b A a 2 sinsinsin ），PAOO 2 1 1 ； 第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径： 222 )2()2(rPAR 22 )2(2rPAR ； 2 1 22 OOrR 2 1 2 OOrR 图5 AD P O1 O C B
6、C A P B 3 2题设：如图 6，7，8，P的射影是ABC的外心三棱锥ABCP的三条侧棱相等 三棱锥ABCP的底面ABC在圆锥的底上，顶点P点也是圆锥的顶点 图6 P AD O1 O C B 图7-1 P A O1 O C B 图7-2 P A O1 O C B 图8 P A O1 O C B 图8-1 D P O O2 A B C 图8-2 P O O2 A B C 图8-3 D P O O2 A B 解题步骤： 第一步：确定球心O的位置，取ABC的外心 1 O，则 1 ,OOP三点共线； 第二步：先算出小圆 1 O的半径rAO1 ，再算出棱锥的高hPO1（也是圆锥的高）； 第三步：勾股
7、定理： 2 1 2 1 2 OOAOOA 222 )(rRhR，解出R 方法二： 小圆直径参与构造大圆。 例 2 一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为( )C A3B2C 3 16 D以上都不对 解：选 C， 22 1)3(RR, 22 1323RRR, 0324R, 3 2 R, 3 16 4 2 RS 4 类型三、切瓜模型（两个平面互相垂直） 图9-1 A C B P 图9-2 AO1 O C B P 图9-3 P AO1 O C B 图9-4 A O1 O C B P 1题设：如图9-1 ，平面PAC平面ABC，且BCAB（即AC为小圆的直径） 第一步：易知球心O必是
8、PAC的外心，即PAC的外接圆是大圆，先求出小圆的直径rAC2； 第二步：在PAC中，可根据正弦定理R C c B b A a 2 sinsinsin ，求出R 2如图 9-2 ，平面PAC平面ABC，且BCAB（即AC为小圆的直径） 2 1 2 1 2 OOCOOC 2 1 22 OOrR 2 1 2 2OORAC 3如图9-3 ，平面PAC平面ABC，且BCAB（即AC为小圆的直径），且P的射影是ABC的 外心三棱锥ABCP的三条侧棱相等三棱ABCP的底面ABC在圆锥的底上，顶点P点也是 圆锥的顶点 解题步骤： 第一步：确定球心O的位置，取ABC的外心 1 O，则 1 ,OOP三点共线；
9、第二步：先算出小圆 1 O的半径rAO1，再算出棱锥的高hPO1（也是圆锥的高）； 第三步：勾股定理： 2 1 2 1 2 OOAOOA 222 )(rRhR，解出R 4如图 9-3 ，平面PAC平面ABC，且BCAB（即AC为小圆的直径），且ACPA，则 利用勾股定理求三棱锥的外接球半径： 222 )2()2(rPAR 22 )2(2rPAR； 2 1 22 OOrR 2 1 2 OOrR 例 3 （1） 正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为1， 底面边长为32， 则该球的表面积为。 （2）正四棱锥ABCDS的底面边长和各侧棱长都为2，各顶点都在同一个球面上，则此球的体积为 解：（
10、1）由正弦定理或找球心都可得72R，494 2 RS， （2） 方法一：找球心的位置， 易知1r，1h，rh， 故球心在正方形的中心ABCD处，1R， 3 4 V 方法二：大圆是轴截面所的外接圆，即大圆是SAC的外接圆，此处特殊，SACRt的斜边是球半径， 22R，1R， 3 4 V 5 （3）在三棱锥ABCP中，3PCPBPA, 侧棱PA与底面ABC所成的角为 60，则该三棱锥外 接球的体积为（） A B. 3 C. 4 D. 4 3 解：选 D，圆锥CBA,在以 2 3 r的圆上，1R （4）已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的求面上 ,ABC是边长为1的正三角形 ,SC为球O的直 径,
11、 且2SC，则此棱锥的体积为（） A A 2 6 B 3 6 C 2 3 D 2 2 解： 3 6 ) 3 3 (1 222 1 rROO， 3 62 h， 6 2 3 62 4 3 3 1 3 1 ShV 类型四、汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球） 图10-1 C1 B1 A A1 O1 O O2 B C 图10-2 C1 B1 A A1 O1 O O2 B C 图10-3 C1 B1 A A1 O1 O O2 B C 题设：如图10-1 ，图 10-2 ，图 10-3, 直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以 是任意三角形） 第一步：确定球心O的位置， 1 O是
12、ABC的外心，则 1 OO平面ABC； 第二步：算出小圆 1 O的半径rAO1 ，hAAOO 2 1 2 1 11 （hAA1 也是圆柱的高）； 第三步：勾股定理： 2 1 2 1 2 OOAOOA 222 ) 2 (r h R 22 ) 2 ( h rR，解出R 例 4 （1）一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上， 且该六棱柱的体积为 8 9 ，底面周长为3，则这个球的体积为 解：设正六边形边长为a，正六棱柱的高为h，底面外接圆的关径为r，则 2 1 a， 底面积为 8 33 ) 2 1 ( 4 3 6 2 S， 8 9 8 33 hShV柱 ，
13、3h，1) 2 1 () 2 3 ( 222 R， 1R，球的体积为 3 4 V 6 （ 2）直三棱柱 111 ABCAB C的各顶点都在同一球面上，若 1 2ABACAA,120BAC，则此 球的表面积等于。 解：32BC，4 120sin 32 2r，2r，5R，20S （3）已知EAB所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直， 60,2, 3AEBADEBEA，则多面体ABCDE的外接 球的表面积为。16 解析：折叠型，法一：EAB的外接圆半径为3 1 r，1 1 OO， 231R；法二： 2 3 1M O， 2 13 22 DOr，4 4 13 4 3 2 R，2R，16S （4）在
14、直三棱柱 111 CBAABC中，4, 3 ,6,4 1 AAAACAB 则直三棱柱 111 CBAABC的外接球 的表面积为。 3 160 解析：28 2 1 6423616 2 BC，72BC， 3 74 2 3 72 2r， 3 72 r， 3 40 4 3 28 ) 2 ( 2122 AA rR， 3 160 S 类型五、折叠模型 题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠( 如图 11) 第一步：先画出如图所示的图形，将BCD画在小圆上，找出BCD和BDA的外心 1 H和 2 H； 第二步：过 1 H和 2 H分别作平面BCD和平面BDA 的垂线，两垂线的交点即为球心O，连
15、接OCOE,； 第三步：解 1 OEH，算出 1 OH，在 1 OCHRt中，勾股定理： 22 1 2 1 OCCHOH 例 5 三棱锥ABCP中，平面PAC平面ABC，PAC和ABC均为边长为2的正三角形，则三棱 锥ABCP外接球的半径为. 图11 H1 E A C O B D A H2 O O2 M D B A C E O1 7 解析： 3 4 60sin 2 22 21 rr， 3 2 21 rr， 3 1 2H O， 3 5 3 4 3 1 2 1 2 2 2 rHOR， 3 15 R； 法二： 3 1 2H O， 3 1 1H O，1AH， 3 52 1 2 1 222 OOHOAH
16、AOR， 3 15 R 类型六、对棱相等模型（补形为长方体） 题设：三棱锥（即四面体） 中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径 （CDAB，BCAD，BDAC） 第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱； 第二步： 设出长方体的长宽高分别为cba,，xBCAD，yCDAB，zBDAC，列方程组， 222 222 222 zac ycb xba 2 )2( 222 2222 zyx cbaR， 补充：abcabcabcV BCDA 3 1 4 6 1 第三步：根据墙角模型， 2 2 222 222zyx cbaR， 8 222 2zyx R， 8 222 zyx R，求出R， 例如，正
17、四面体的外接球半径可用此法。 例 6（1）棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一 个截面如图，则图中三角形( 正四面体的截面) 的面积是 . （2）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点 在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（） A 4 33 B 3 3 C 4 3 D 12 3 解：（ 1）截面为 1 PCO，面积是2； （2）高1Rh，底面外接圆的半径为1R，直径为22R， 设底面边长为a，则2 60sin 2 a R，3a， 4 33 4 3 2 aS， 三棱锥的体积为 4 3 3 1 ShV y x a b c zz y x 图12
18、D C A B (1)题 O H B A C P O2 O1 (1)题解答图 C P B P O1 O O2 A B 8 （3）在三棱锥BCDA中，, 4,3,2BDACBCADCDAB则三棱锥BCDA外接球的表 面积为。 2 29 解析： 如图 12，设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为cba,，则9 22 ba， 4 22 cb，16 22 ac291649)(2 222 cba，291649)(2 222 cba， 2 29 222 cba， 2 29 4 2 R， 2 29 S （4）如图所示三棱锥ABCD，其中5,6,7,ABCDACBDADBC则该三棱锥外接球
19、的 表面积为 . 解析：同上，设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为cba,， 110493625)(2 222 cba，55 222 cba，554 2 R，55S 【55；对称几何体；放到长方体中】 （5）正四面体的各条棱长都为2，则该正面体外接球的体积为 解析：这是特殊情况，但也是对棱相等的模式，放入长方体中，32R， 2 3 R， 2 3 8 33 3 4 V， 类型七、两直角三角形拼接在一起( 斜边相同 , 也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥) 模型 图 13 O A C B P 题设： 90ACBAPB，求三棱锥ABCP外接球半径（分析：取公共的斜边的中点O，连
20、接 OCOP,，则ABOPOCOBOA 2 1 ，O为三棱锥ABCP外接球球心，然后在OCP中求出 半径），当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时与折起成的二面角大小无关，只要不是平角球半径都为定 值。 例 7（1）在矩形ABCD中，4AB，3BC，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角DACB， 则四面体ABCD的外接球的体积为（） A 12 125 B 9 125 C 6 125 D 3 125 解：（ 1）52ACR， 2 5 R， 6 125 8 125 3 4 3 43 RV，选 C （2）在矩形ABCD中，2AB，3BC，沿BD将矩形ABCD折叠， 连接AC，所得三棱锥BCDA 的外接球
21、的表面积为 解析：（ 2）BD的中点是球心 O，132BDR，134 2 RS； 9 类型八、锥体的内切球问题 1题设：如图14，三棱锥ABCP上正三棱锥，求其外接球的半径。 第一步：先现出内切球的截面图，HE,分别是两个三角形的外心； 第二步：求BDDH 3 1 ，rPHPO，PD是侧面ABP的高； 第三步：由POE相似于PDH，建立等式： PD PO DH OE ，解出r 2题设：如图15，四棱锥ABCP上正四棱锥，求其外接球的半径 第一步：先现出内切球的截面图，HOP,三点共线； 第二步：求BCFH 2 1 ， rPHPO ，PF是侧面 PCD的高； 第三步：由POG相似于PFH，建立等
22、式： PF PO HF OG ，解出 3题设：三棱锥ABCP是任意三棱锥，求其的内切球半径 方法：等体积法， 即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等 第一步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积； 第二步：设内切球的半径为r，建立等式： PBCOPACOPABOABCOABCP VVVVV rSSSSrSrSrSrSV PBCPACPABABCPBCPACPABABCABCP )( 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 第三步：解出 PBCOPACOPABOABCO ABCP SSSS V r 3 习题： 1 若三棱锥ABCS的三条侧棱两两垂直，且2SA，4SCSB， 则该三棱锥的
23、外接球半径为（） A.3 B.6 C.36D.9 解：【 A】616164)2( 2 R，3R 【三棱锥有一侧棱垂直于底面，且底面是直角三角形】【共两种】 2 三棱锥ABCS中，侧棱SA平面ABC，底面ABC是边长为3的正三角形，32SA，则该三 棱锥的外接球体积等于 . 3 32 解析：2 60sin 3 2r，16124)2( 2 R，4 2 R，2R，外接球体积 3 32 8 3 4 【外心法（加中垂线）找球心；正弦定理求球小圆半径】 3正三棱锥ABCS中，底面ABC是边长为3的正三角形，侧棱长为2，则该三棱锥的外接球体积等 于 . 解析：ABC外接圆的半径为，三棱锥ABCS的直径为 3
24、 4 60sin 2 2R，外接球半径 3 2 R， 图14 H D A B C P O E 图15 F E H D B A C P O G 10 或1)3( 22 RR， 3 2 R，外接球体积 27 332 33 8 3 4 3 4 3 RV， 4三棱锥ABCP中，平面PAC平面ABC，PAC边长为2的正三角形，BCAB，则三棱锥 ABCP外接球的半径为 . 解析：PAC的外接圆是大圆， 3 4 60sin 2 2R， 3 2 R， 5 三棱锥ABCP中，平面PAC平面ABC，2AC，3PCPA，BCAB，则三棱锥 ABCP外接球的半径为 . 解析： 9 7 332 499 2 cos 222 PCPA ACPCPA P， 81 216 ) 9 7 (1sin 22 P， 9 24 sinP， 4 29 22 9 9 24 2 2R， 8 29 R 6 三棱锥ABCP中，平面PAC平面ABC，2AC，PCPA，BCAB，则三棱锥ABCP 外接球的半径为 . 解：AC是公共的斜边，AC的中点是球心O，球半径为1R