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1、函数与导数期末复习题 一、选择题 (本大题 12 小题，每小题5 分，共 60 分) 1. 已知函数yf(x)的图象如图，则f(xA)与 f(xB)的大小关系是() Af(xA)f (xB) Bf(xA)0，函数 f(x) x 3ax 在1， )上是单调减函数，则 a 的最大值为 () A1 B2 C3 D4 8若函数f(x)asin x 1 3cos x 在 x 3处有最值，那么 a 等于 () A. 3 3 B 3 3 C. 3 6 D 3 6 9函数 yxsin x，x 2，的最大值是 ( ) A 1 B. 21 C D 1 10. 函数 f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数 f(
2、x)在(a，b)内的图象 如图所示，则函数f(x)在开区间 (a，b)内有极小值点() A1 个B2 个C3 个D4 个 11丹麦数学家琴生是19 世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特 别是在函数的凸凹性与不等式方向留下了很多宝贵的成果设函数( )f x在(),a b上的导 函数为( )f x，( )f x在(),a b上的导函数记为( )f x，若在(),a b上(0)f x恒成立， 则称函数( )f x在(),a b上为“凸函数”， 已知 4 323 432 ( ) xt f xxx在(1,4)上为“凸 函数”，则实数t的取值范围是 A3, ) B(3, ) C 51 ,) 8 D( 51
3、 , 8 ) 12已知点P为函数 21 2 2 ( )f xxax与 2 ( )ln32 (0)g xaxb a图象的公共点， 若以 P为切点可作直线l与两曲线都相切，则实数b的最大值为 A 3 4 2 e 3 B 3 4 3 e 2 C 2 3 4 e 3 D 2 3 3 e 4 二、填空题 (本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分) 13已知函数yf(x)的图象在点M(1，f(1)处的切线方程是y1 2x2，则 f(1)f (1) 14设函数f(x)ax 33x1 (xR)，若对于 x 1，1，都有 f(x) 0，则实数a 的值为 15. f（ x）=ax 3x2+x+2 ， ，?
4、x1（ 0，1，? x2（ 0， 1，使得 f（x1）g （x2）， 则实数 a 的取值范围是 16已知函数f(x)x 3ax2bxc，x2,2表示过原点的曲线，且在 x 1 处的切线的 倾斜角均为 3 4 ，有以下命题： f(x)的解析式为f(x)x34x，x2,2 f(x)的极值点有且只有一个 f(x)的最大值与最小值之和等于零其中正确命题的序号为_ 三、解答题 (本大题共6 小题，共70 分) 17若函数f(x)1 3x 31 2ax 2(a1)x1 在区间 (1,4)上为减函数，在区间 (6， )上为增函 数，试求实数a 的取值范围 18已知函数f(x)x 3ax2bxc 在 x2 3
5、与 x1 时都取得极值 (1)求 a，b 的值与函数f(x)的单调区间； (2)若对 x1,2，不等式 f(x)ln 2 1 且 x0 时， e xx22ax1. 22已知函数 21 ln1 2 ( ) a f xaxx （1）当 1 2 a时，求函数( )f x在区间 1 ,e e 上的最值； （2）讨论( )f x的单调性； （3）当10a时， 2 ()1ln( a f xa 恒成立，求实数 a的取值范围 参考答案 1Bf(xA)和 f( xB)分别表示函数图象在点A、B 处的切线斜率，故f(xA)0 的点才满足题意，这 样的点只有一个B 点 11Cf(x) x 1 x x 1x 1 x
6、21xx 1x 2 1 1x 20，又 x1， f(x)的单调增区间为(，1)，(1， ) 12 B由题意知，存款量g(x)kx(k0) ，银行应支付的利息h(x)xg(x)kx 2， x(0，0.048)设银行可获得收益为y，则 y0.048kxkx 2.于是 y 0.048k2kx，令 y 0，解得 x0.024 ，依题意知y 在 x0.024 处取得最大值故当存款利率为0.024 时， 银行可获得最大收益 13 3 14 4 解析若 x0，则不论a 取何值， f(x) 0，显然成立； 当 x(0,1时， f(x)ax 3 3x10 可转化为 a3 x 2 1 x 3， 设 g(x) 3
7、x 2 1 x 3， 则 g (x) 3 1 2x x 4 ， 所以 g(x)在区间 0， 1 2 上单调递增，在区间 1 2，1 上单调递减， 因此 g(x)maxg 1 2 4，从而 a4；当 x1,0)时， f(x) ax33x10 可转化为a 3 x 2 1 x 3， 设 g(x) 3 x 2 1 x 3，则 g(x) 3 12x x 4 ，所以 g(x)在区间 1,0)上单调递增 因此 g(x)ming(1)4，从而 a4，综上所述， a4. 15.4 3 9 解析设 CDx，则点 C 坐标为 x 2，0 .点 B 坐标为 x 2，1 x 2 2 ， 矩形 ABCD 的面积 Sf(x
8、)x1 x 2 2 x 3 4 x (x (0,2) 由 f(x) 3 4x 210，得 x 1 2 3(舍)，x 2 2 3 ， x 0， 2 3 时， f(x)0， f(x)是递增 的， x 2 3 ，2时， f(x)0， ax 2 1 x1 x1. 又 x1(7， )， a7， 同时成立，5 a7.经检验 a5 或 a 7都符合题意，所求a 的取值范围为 5a7. 18 解(1)f(x)x 3ax2bxc， f(x)3x22axb，由 f 2 3 12 9 4 3ab 0， f(1)32ab0 得 a 1 2，b 2.f(x)3x 2x2(3x2)(x1)， 令 f(x)0，得 x1，令
9、 f (x)f(2)2c，得 c2. 19 解设每次订购电脑的台数为x，则开始库存量为x 台，经过一个周期的正常均匀销售 后，库存量变为零，这样又开始下一次的订购，因此平均库存量为 1 2x 台，所以每年的保管 费用为 1 2x 4 000 10%元， 而每年的订货电脑的其它费用为 5 000 x 1 600 元， 这样每年的总费用为 5 000 x 1 600 1 2x 4 000 10%元 令 y 5 000 x 1 6001 2x 4 000 10%，y 1 x 2 5 000 1 6001 2 4 000 10%. 令 y0，解得 x200(台) 也就是当x200 台时，每年订购电脑的
10、其它费用及保管费用总费用达到最小值，最小 值为 80 000 元 20 解(1)对函数 f(x)求导数，得f(x)(x 22ax)ex(2x 2a)exx22(1a)x2aex. 令 f(x)0，得 x 22(1a)x 2aex0，从而 x2 2(1a)x2a0. 解得 x1a11a2，x2a11a2，其中 x10； 当 x0 时， f(x) 0，所以当xa11a2时， f(x)取得最小值 (2)当 a0 时， f(x)在1,1上为单调函数的充要条件是x21，即 a1 1 a 21， 解得 a 3 4. 综上， f(x)在1,1上为单调函数的充分必要条件为a 3 4.即 a 的取值范围是 3
11、4 ， . 21 (1)解由 f(x)e x2x 2a，xR 知 f (x)ex2，xR.令 f(x)0，得 xln 2. 于是当 x 变化时， f(x)， f(x)的变化情况如下表： x (，ln 2)ln 2(ln 2， ) f(x)0 f(x)2(1ln 2a) 故 f(x)的单调递减区间是(，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，)，f(x)在 xln 2 处取 得极小值，极小值为f(ln 2)e ln 2 2ln 22a2(1ln 2a) (2)证明设 g(x)e xx22ax1，xR，于是 g(x)ex2x2a，xR. 由(1)知当 aln 2 1 时， g (x)取最小值为g (
12、ln 2)2(1ln 2a)0. 于是对任意xR，都有 g (x)0，所以 g(x)在 R 内单调递增 于是当 aln 21 时，对任意x(0， )，都有 g(x)g(0) 而 g(0)0，从而对任意x(0， )，都有 g(x)0， 即 exx22ax10，故 exx22ax 1. 22 (1)解f(x)x 2ln x， f(x)2x1 x .x1 时， f(x)0， f(x)在1，e上是增函数，f(x)的最小值是f(1)1，最大值是f(e)1e2. (2)证明令 F(x)f(x)g(x) 1 2x 22 3x 3ln x， F (x)x 2x2 1 x x 22x31 x x 2x3x31 x 1x 2x 2x1 x . x1， F (x)0， F(x)在 (1， )上是减函数，F(x)F(1) 1 2 2 3 1 60. f(x)g(x)当 x(1， )时，函数f(x)的图象在g(x)2 3x 31 2x 2 的下方