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1、开 北京市十一学校2018 届高三年级适应性练习 高三数学（理） 第一部分（选择题共 40 分） 一、选择题 (共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题列出的四个选项中，选出符合 题目要求的一项 ) 1. 若集合 ,则“”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】 A 【解析】由题得 所以，所以“”是“”的 充分不必要条件，选A. 2. 已知数列为等差数列 ,且 ,那么 等于 A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 由题意可得：， 即：， 据此： . 本题选择 B 选项. 3. 若展开式中的所有二项式系数和为
2、 ,则该展开式中的常数项为 A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】展开式中所有二项式系数和为512，即 2 n=512，则 n=9， Tr+1=（ 1） rC 9 rx183r 令 183r=0，则 r=6，所以该展开式中的常数项为84 故答案为： B. 4. 已知平面向量满足,且,则向量与 的夹角为 开 A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】设向量与 的夹角为 ， 0， 由 ? （ + ）=3 代入数据可得2 2+2 1 cos =3 ， 解之可得cos=， 故可得 =. 故答案为： C. 5. 已知函数 ,那么在下列区间中含有函数零点的是 （） A. B. C. D. 【答
3、案】 B 【解析】,所以 函数 f(x)在区间 必有零点，选 B. 【点睛】 6. 秦九韶是我国南宋时期的数学家,普州（现四川省安岳县）人 ,他在所住的数书九章中提出的多项 式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法,如图所示的程序框图,给出了利用秦九韶算法求某多项 式值的一个实例,若输入的值为,则输出的值为 开 A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】由框图可知v=,所以当 x=2 时， v=,选 D. 【点睛】秦九韶算法求一般的多项式的值时，先将多项式变形为 然后由内向外逐层计算一次多项式的值。 把 n 次多项式的求值问题转化成求n 个一次多项式的值的问题，即求： 的值的过程，共做了
4、n 次乘法运算，n 次加法运算 . 计算时要用到的值，若令，我们可以得到下面的递推公式： 这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤，可以用循环结构来实现。 7. 右图是民航部门统计的年春运期间十二个城市售出的往返机票的平均价格以及相比去年同期变 化幅度的数据统计图表,根据图表 ,下面叙述不正确的是 开 A. 深圳的变化幅度最小,北京的平均价格最高 B. 深圳和厦门的春运期间往返机票价格同去年相比有所下降 C. 平均价格由高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州 D. 平均价格变化量从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门 【答案】 D 【解析】 由图可知 D错误 .故选 D. 8. 已知函数 ,
5、下列命题 :函数的图象关于原点对称 ;函数是周期函数 ;当 时,函 数取最大值 ;函数的图象与函数的图象没有公共点,其中正确命题的序号是 A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】试题分析：函数的图象关于原点对称，此命题正确，因为函数满足， ，故函数为奇函数，所以函数的图象关于原点对称；函数是周期 函数不正确，因为分母随着自变量的远离原点，趋向于正穷大，所以函数图象无限靠近于轴，故不是周期 函数； 当时,函数取最大值，由函数的图象可以看出，当时,函数不是最大值，另外可用 导数法，求出函数的导函数，当时，故当时,函数不是最大 值，此命题不正确； 函数的图象与函数的图象没有公共点，由图像可以看
6、出，函数的图象与函 数的图象没有公共点，此命题正确 开 考点：函数的周期性；函数单调性的判断与证明；利用导数研究函数的单调性 第二部分（非选择题共 110 分） 二、填空题 (共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分) 9. 已知双曲线的一条渐近线方程为,则该双曲线方程为_. 【答案】 10. 在极坐标系中 ,圆的圆心到直线上的动点的距离的最小值为_. 【答案】 【解析】圆=2 即 x2+y2=4，表示以（ 0， 0）为圆心，半径等于 2的圆 直线 cos+sin =2 即 x+y2=0， 圆心到直线cos+sin =2的距离为 ， 故答案为 11. 已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体
7、的体积为 _. 开 【答案】 【解析】试题分析：由已知中的三视图，我们可以判断出几何体的形状，进而求出几何体的底面面积 和高后，代入棱锥体积公式，可得答案 解：由已知中的三视图可得几何体是一个三棱锥 且棱锥的底面是一个以（2+1）=3 为底，以1 为高的三角形 棱锥的高为3 故棱锥的体积V= （2+1） 1 3= 故答案为： 考点：由三视图求面积、体积 12. 已知 ,那么 的值为 _. 【答案】 【解析】 即 8tan= 6， tan = ， cos= sin = 则 sin +cos= 开 故答案为：. 点睛：本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和差的三角公式、二倍角的正弦公式的应用，
8、属于基 础题一般，这三者我们成为三姐妹，结合，可以知一求 三. 13. 若实数满足不等式组 ,则 的最小值为 _; 的最大值为 _. 【答案】(1). (2). 【解析】由约束条件画出可行域如下图，目标函数是到（ 0，0）距离的平方，所以点C（1， 0.5）代入时为最小值，。目标函数变形为令，而几何意义是可行域的 点与（ 0，0）连线的斜率，所以，最大值为。所以填 (1). (2). 【点睛】 线性规划中常见目标函数的转化公式： （1）截距型：，与直线的截距相关联，若，当的最值情况和z 的一致；若， 当 的最值情况和的相反； 开 （2）斜率型：与的斜率， 常见的变形：， . （3）点点距离型：
9、表示到两点距离的平方； 14. 设函数 ,若在区间 上不单调 ,实数 的取值范围是 _; 若 ,且 对任意恒成立 ,则实数的取值范围是 _. 【答案】(1). (2). 【解析】 由题意得，在区间上不单调，=0 在区间上有奇次根， 所以。 对任意恒成立， 即，因为无穷时需要小于 零，所以m0,解集为，即解得 m-1. 【点睛】 (1) 若可导函数f(x) 在( a， b) 上单调递增，则0 在区间 ( a，b) 上恒成立；要检验=0。 (2) 若可导函数f(x) 在( a， b) 上单调递减，则0 在区间 ( a，b) 上恒成立；要检验=0。 (3) 可导函数f(x) 在区间 ( a，b) 上
10、为增函数是0 的必要不充分条件. （4）可导函数f(x) 在区间 ( a，b)上不单调，则=0在区间(a， b)上有奇次根。 三、解答题 ( 共 6 小题，共 80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程) 15. 在中 ,角的对边分别为,且满足. （）求角的大小 ; （）若 ,求 面积的最大值. 【答案】 （ ）.（）. 【解析】试题分析： （I）把条件中所给的既有角又有边的等式利用正弦定理变化成只有角的形式，整 开 理逆用两角和的正弦公式，根据三角形内角的关系，得到结果 （II）利用余弦定理写成关于角 A的表示式，整理出两个边的积的范围，表示出三角形的面积，得到 面积的最大值 试题解析：
11、 （I） 所以 由正弦定理 ,得. 整理得. . 在 中, . . （）由余弦定理 , 当且仅当时 取“ “. 三角形的面积. 三角形面积的最大值为. 点睛：本题考查正弦定理和余弦定理，本题解题的关键是角和边的灵活互化，两个定理的灵活应用和两角 和的公式的正用和逆用，属于中档题 16. 某校为了解甲、乙两班学生的学业水平,从两班中各随机抽取人参加学业水平等级考试 ,得到学生 的学业成绩茎叶图如图: 开 （）通过茎叶图比较甲、乙两班学生的学业成绩平均值与及方差与的大小 ;（只需写出 结论） （）根据学生的学业成绩,将学业水平分为三个等级: 根据所给数据,频率可以视为相应的概率. （i）从甲、乙两
12、班中各随机抽取人,记事件 : “ 抽到的甲班学生的学业水平高于乙班学生的学业水平 等级 ”,求发生的概率 ; （ii）从甲班中随机抽取人,记为学业水平优秀的人数,求的分布列和数学期望. 【答案】（）;（） （i ）;（ii ）见解析 . 【解析】试题分析： （）由茎叶图能得到，； （） （i ）记 A1 、A 2 、 A 3分别表示事 件：甲班学生学业水平等级为一般、良好、优秀；记B1 、 B 2 、B 3分别表示事件：乙班学生学业水平 等级为一般、良好、优秀，由P （ C）=P（A2B1）+P（A3B1）+P（A3B2） ，能求出 C发生的概率；（ii ） 从甲班随机抽取1 人，其学业水平优
13、秀的概率为，则 X=0 ，1，2，X B（2， ） ，由此能求出X的 分布列和数学期望 解析： （ ）; （ ） （i ）记分别表示事件 :甲班学生学业水平成绩为一般,良好 ,优秀 ; 记分别表示事件 :乙班学生学业水平成绩为一般,良好 ,优秀 ; 则 开 （ii ）从甲班随机抽取人 ,其学业水平优秀的概率为, 所以 ,随机变量的所有可能取值为 ,且 . , 随机变量的分布列是 : 数学期望. 17. 四棱锥中,底面 是边长为的菱形 ,侧面底面, , 是 中点 ,点在侧棱上. （）求证 :; （）若是中点 ,求二面角的余弦值 ; （）是否存在 ,使 平面?若存在 ,求出的值 ;若不存在 ,说明理由 . 【答案】 （ ）见解析 ;（）.（）. 【解析】试题分析： （）证明 AD 平面 POB ，即可证明AD PB； （ ）证明 PO 底面 ABCD ，建立 空间直角坐标系，求出平面DEQ 的法向量，平面DQC 的法向量，利用向量的夹角公式，即可求得结 论； （ ）求出平面DEQ 法向量，利用PA 平面 DEQ ，即，从而可得结论 解析： （）取中点,连接. 因为,所以.