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1、2 数学证明,1.理解演绎推理的概念. 2.掌握演绎推理的基本模式,并能运用它们进行一些简单的推理. 3.了解合情推理与演绎推理的联系与区别.,1.合情推理的结论有时是不正确的,对于数学命题,需要通过演绎推理严格证明. 2.演绎推理 从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,叫作演绎推理. 3.三段论是最常见的一种演绎推理形式. 第一段讲的是一般性道理,称为大前提;第二段讲的是研究对象的特殊情况,称为小前提;第三段是由大前提和小前提作出的判断,称为结论. 先表述大前提、小前提,由此给出结论,即为三段论推理的形式. 在应用三段论进行证明的过程中,因为有些大前提是人们熟知的,所以在书写时这类大
2、前提往往被省略.,4.三段论的一般模式 M是P(大前提) S是M(小前提) S是P(结论),A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.结论错误 解析:原题推理过程中三段论的大前提“对数函数y=logax(a0,且a1)是增函数”是错误的,因为只有当a1时,对数函数y=logax(a0,且a1)才是增函数,故选A. 答案:A,【做一做2】 三段论“只有船准时起航,才能准时到达目的地,这艘船是准时到达目的地的,这艘船是准时起航的”中的小前提是 .(填序号) 答案:,5.在数学中,证明一个命题,就是根据命题的条件和已知的定义、公理、定理,利用演绎推理的法则将命题推导出来. 6.合情推理是
3、认识世界、发现问题的基础;演绎推理是证明命题、建立理论体系的基础.,题型一,题型二,题型三,题型四,用三段论的形式证明 【例1】 在如图所示的梯形ABCD中,ADBC,AD=DC=AB,AC和BD是它的对角线. 求证:CA平分BCD,BD平分CBA. (提示:用三段论证明,并指出每一步推理的大前提和小前提.),题型一,题型二,题型三,题型四,证明:等腰三角形两底角相等,大前提 DAC是等腰三角形,DA,DC为两腰,小前提 所以1=2.结论 两条平行线被第三条直线截出的内错角相等,大前提 1和3是平行线AD,BC被AC截出的内错角,小前提 所以1=3.结论 等于同一个量的两个量相等,大前提 2和
4、3都等于1,小前提 所以2=3,结论 即CA平分BCD. 同理BD平分CBA.,题型一,题型二,题型三,题型四,反思命题的推理证明为多个三段论,称为复合三段论.事实上,每一次三段论的大前提可以不写,某一次三段论的小前提如果是它前面某次三段论的结论,也可不写,即过程可简写.,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练1】 求证:以an=2n+3为通项公式的数列an为等差数列.(提示:用三段论证明,并指出每一步推理的大前提和小前提.) 证明:对于数列an,如果当n2时,an-an-1为同一常数,那么an为等差数列.大前提 对于通项公式an=2n+3,若n2, 则an-an-1=2n+3-2(n-1
5、)+3=2(常数),小前提 故以an=2n+3为通项公式的数列an为等差数列.结论,题型一,题型二,题型三,题型四,用三段论证明几何问题 【例2】如图,在空间四边形ABCD中,点E,F分别是AB,AD的中点,求证:EF平面BCD. 证明:三角形的中位线平行于第三边(大前提),点E,F分别是AB,AD的中点(小前提),所以EFBD(结论).若平面外一条直线平行于平面内一条直线,则这条直线与此平面平行(大前提),EF平面BCD,BD平面BCD,EFBD(小前提),所以EF平面BCD(结论).,题型一,题型二,题型三,题型四,反思1.三段论推理的根据,从集合的观点来讲,就是:若集合M的所有元素都具有
6、性质P,S是M的子集,则S中所有元素都具有性质P. 2.在几何证明题中,每一步实际上都暗含着一般性原理,都可以分析出大前提和小前提,把一般性原理用于特殊情况,从而得到结论.,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练2】 在如图所示的几何体中,D是AC的中点,EFDB. (1)若AB=BC,AE=EC.求证:ACFB; (2)若G,H分别是EC和FB的中点.求证:GH平面ABC.,题型一,题型二,题型三,题型四,证明:(1)因为EFDB, 所以EF与DB确定平面BDEF.连接DE.因为AE=EC,D为AC的中点,所以DEAC.同理可得BDAC.又BDDE=D,BD平面BDEF,DE平面BDEF
7、,所以AC平面BDEF.因为FB平面BDEF,所以ACFB.,题型一,题型二,题型三,题型四,(2)设FC的中点为I,连接GI,HI. 在CEF中,因为G是CE的中点, 所以GIEF. 又EFDB,所以GIDB. 在CFB中,因为H是FB的中点, 所以HIBC. 又HIGI=I,HI平面GHI,GI平面GHI,所以平面GHI平面ABC.因为GH平面GHI,所以GH平面ABC.,题型一,题型二,题型三,题型四,用三段论证明代数问题 【例3】 已知an是各项均为正数的等差数列,lg a1,lg a2,lg a4成,证明:因为lg a1,lg a2,lg a4成等差数列,设数列an的公差为D,即(a
8、1+D)2=a1(a1+3D),a1D=D2, 从而D(D-a1)=0. 若D=0,则数列an为常数列,相应的数列bn也是常数列,此时bn是首项为正数,公比为1的等比数列. 若D=a10,题型一,题型二,题型三,题型四,综上可知,数列bn为等比数列.,题型一,题型二,题型三,题型四,反思1.在证明或推理过程中,对于大前提,有一些是我们早已熟悉的公理、定理、定义、性质、公式,这些内容很多时候在证明或推理的过程中可以直接利用,不需要重新指出.因此,就会出现隐性三段论. 2.本题在推理过程中,看似未用到演绎推理的三段论,其实不然.只是大前提“等比数列的判定方法”在证明过程中省略了,但并不影响结论的正
9、确性.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,易错辨析 易错点 因大前提、小前提或推理形式错误导致结论错误 【例4】 如图,在ABC中,|AC|BC|,CD是AB边上的高,求证:ACDBCD. 错解:证明:在ABC中,因为CDAB,|AC|BC|,所以|AD|BD|,于是ACDBCD. 错因分析:上面的证明过程中由|AD|BD|得出ACDBCD是错误的.因为只有在同一个三角形中才有大边所对的角较大这一结论.,题型一,题型二,题型三,题型四,正解:证明:在ABC中,因为CDAB, 所以ACD+A=BCD+B=90. 又|AC|BC|,所以BA, 所以ACDBCD.,题型
10、一,题型二,题型三,题型四,【变式训练4】 如图,已知S为ABC所在平面外一点,SA平面ABC,平面SAB平面SBC.求证:ABBC.,解:如图,过点A作AESB于点E. 因为平面SAB平面SBC,且交线为SB, 所以AE平面SBC,所以BCAE. 又因为SA平面ABC,BC平面ABC, 所以SABC. 又AESA=A,AE,SA平面SAB, 所以BC平面SAB.又因为AB平面SAB, 所以BCAB.,1,2,3,4,5,6,1.下列三句话按“三段论”模式排列正确的是( ) y=sin x(xR)是三角函数; 三角函数是周期函数; y=sin x(xR)是周期函数. A. B. C. D. 答
11、案:B,1,2,3,4,5,6,2.“所有9的倍数都是3的倍数,某奇数是9的倍数,故该奇数是3的倍数.”上述推理是( ) A.小前提错误 B.结论错误 C.正确的 D.大前提错误 答案:C,1,2,3,4,5,6,3.一个三段论的三个步骤,分别为:正方形的对边相等;平行四边形的对边相等;正方形是平行四边形.根据这个三段论推理得出一个结论,则这个结论是( ) A. B. C. D.其他 答案:A,1,2,3,4,5,6,4.如图,=l,P,POl交l于点O,则可以得到的结论是 . 解析:由面面垂直的性质定理知PO. 答案:PO,1,2,3,4,5,6,5.函数y=2x+5的图像是一条直线,用三段
12、论表示为: 大前提: ; 小前提: ; 结论: . 答案:一次函数的图像是一条直线 函数y=2x+5是一次函数 函数y=2x+5的图像是一条直线,1,2,3,4,5,6,6.如图,D,E,F分别是BC,CA,AB边上的点,BFD=A,DEBA.求证:ED=AF.(提示:用三段论证明,并指出每一步推理的大前提和小前提),1,2,3,4,5,6,证明:同位角相等,两条直线平行,大前提 BFD与A是同位角,且BFD=A,小前提 所以DFEA.结论 两组对边分别平行的四边形是平行四边形,大前提 DEBA,且DFEA,小前提 所以四边形AEDF为平行四边形.结论 平行四边形的对边相等,大前提 ED和AF为平行四边形的对边,小前提 所以ED=AF.结论,