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1、历年自主招生试题分类汇编平面向量 4 （2010 年北约） 向量 OA 与 OB 已知夹角，1OA，2OB，(1)OPt OA ，OQtOB ， 01t PQ 在 0 t 时取得最小值，问当 0 1 0 5 t时，夹角的取值范围 （25 分） 【解析】 不妨设 OA， OB 夹角为，则1,2OPtOQt ，令 2 22 ( )(1)42 (1) 2 cosg tPQtttt 2 (54cos)( 24cos)1tt 其对称轴为 12cos 54cos t 而 12 ( ) 54 x f x x 在 5 (,) 4 上单调增， 故 12cos1 1 54cos3 当 12cos1 0 54cos
2、3 时， 0 12cos1 (0,) 54cos5 t ，解得 2 23 当 12cos 10 54cos 时，( )g t 在 0, 1上单调增，于是 0 0t不合题意 于是夹角的范围为 2 , 23 （4） （2012 年华约） 向量ae，| | 1 e 。若 ,| |tR ateae ，则（） (A) ae(B) ()aae(C) ()eae(D) ()()aeae 解析：由于,| |tR ateae，那么 22 |ateae，即 22 ()()ateae，从 而有 2222 2 22e ta etaea ea 即tR ， 2 2120ta eta e， 因此 2 4()4(1 2)0a
3、 ea e， 得到 2 (1)0a e ， 即 1a e 。因此有 2 ()| |1 10eaee ae ，从而 ()eae 。选 C 7、（2011 年华约）已知向量 3131 (0,1),(,),(,),(1,1) 2222 abcxaybzc则 222 xyz的最小值为 ( ) 43 A1BCD 2 32 解：由(1,1)xaybzc得 333 1()1 222 11 222 yzyz yzyz xx ， 由于 22 2222()() 2 yzyz xyzx，可以用换元法的思想，看成关于x，y + z，y - z 三个变量，变形 2 3 2(1) yz yzx ，代入 22 2222()
4、() 2 yzyz xyzx 22222824 2(1)343() 3333 xxxxx，答案 B 2 （ 2010 年华约） 设向量,a b，满足| | 1,aba bm，则|atb ()tR的最小值为 （ D ） （ A）2 （B） 2 1m（C）1 （D） 2 1m 4.(填空 ) 12 ,n n是两个夹角为的单位矢量.以 12 ,n n为基底的坐标系中 1222 (,),(,)A x yB xy,求 |AB. 【解】以 1 n方向为x轴建立直角坐标系, 于是,A B 的直角坐标为 111222 (cos ,sin ),(cos ,sin )xyyxyy,则 222 121212 |(c
5、oscos )(sinsin)ABxxyyyy 22 12121212 ()()2()()cosxxyyxxyy, 于是 22 12121212 |()()2()()cosABxxyyxxyy. 1、（2013 年卓越联盟）设点 O 在ABC的内部，点D、E分别为边 AC 、 BC 的中 点，且21ODOE，则23OAOBOC 答案 :（理科）2 2、（2013 年卓越联盟） 设点 O 在ABC内部，点D、E分别为边AC 、 BC 的中点， 且232OAOBOC，则2ODOE 答案 :（文科）1 （4）（2012 年卓越联盟） 已知ABC中， o 90A，4BC， 点A是线段EF的中点，2EF， 若 EF 与 BC 的夹角为 o 60 ，则 BE CF = 。 【解答】 根据条件知 BE CFBAEACAFABA CABA FAEA CAEA FA 01111 4 cos6011EA CABA EAEABACAEA BC。 (1) （2011 年卓越联盟） 向量 a， b 均为非零向量， (a-2b)a， (b-2a)b， 则 a， b 的夹角为 ( B ) (A) 6 (B) 3 (C) 2 3 (D) 5 6