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1、1 合肥市 2019 届高三第二次教学质量检测 数学试题 (文科) (考试时间：120 分钟满分：150 分) 第卷 一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.若集合 04Axx，42Bxx，则AB A. 0 4， B. 4 2， C.0 2， D.4 4， 2.若复数 z满足 1 i1 i z，则 z A.1 B.3 C.2 D.5 3.若双曲线 2 2 2 1 y x m (0m) 的焦点到渐近线的距离是 2 ，则 m的值是 A. 2 B.2 C.1 D.4 4.在ABC中， 1 3 B DB C ，若 ABaACb，则AD
2、 A. 21 33 ab B. 12 33 ab C. 12 33 ab D. 21 33 ab 5.下表是某电器销售公司 2018年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表： 空调类冰箱类小家电类其它类 营业收入占比90.10% 4.98% 3.82% 1.10% 净利润占比95.80% -0.48% 3.82% 0.86% 则下列判断中不正确 的是 A.该公司 2018年度冰箱类电器销售亏损 B.该公司 2018年度小家电类电器营业收入和净利润相同 C.该公司 2018年度净利润主要由空调类电器销售提供 D.剔除冰箱类销售数据后，该公司 2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低 6.若
3、在 22 1xy 所围区域内随机取一点，则该点落在1xy所围区域内的概率是 A. 1 B. 2 C. 1 2 D. 1 1 7.我国古代名著张丘建算经中记载： “今有方锥下广二丈，高三丈，欲斩末为方亭；令上方六尺； 问亭方几何？”大致意思是：有一个正四棱锥下底边长为二丈，高三丈；现从上面截去一段，使之成为正 四棱台状方亭，且正四棱台的上底边长为六尺，则该正四棱台的体积是 ( 注：1丈10尺) A.1946立方尺 B.3892立方尺 C.7784立方尺 D.11676立方尺 8. 若将函数2sin1 6 f xx 的图象上各点横坐标缩短到原来的 1 2 ( 纵坐标不变 ) 得到函数 g x 的图
4、象，则下列说法正确的是 A.函数 g x 的图象关于点 0 12 ，对称 B.函数 g x 的周期是 2 C.函数 g x 在 0 6 ，上单调递增 D.函数 g x 在 0 6 ，上最大值是 1 2 9.设函数 ln0 10 x xx fx exx ， ， ，若函数( )g xfxb有三个 零点，则实数b的取值范围是 A. 1, B. 2 1 ,0 e C.(1,)0 D. 0 1， 10. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的 三视图，其中俯视图由两个半圆和两条线段组成，则该几何体的表面积 为 A.17 12 B.12 12 C.20 12 D.16 12 11. 函
5、数 2 sinf xxxx 的图象大致为 12. 在平面直角坐标系xO y中， 圆 C 经过点(0， 1)， (0， 3)， 且与 x 轴正半轴相切， 若圆 C上存在点 M ， 使得直线 OM 与直线ykx(0k) 关于 y 轴对称，则k的最小值为 A. 23 3 B.3 C.23 D.43 第卷 本卷包括必考题和选考题两部分 .第 13题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答 .第 22 题、 第 23 题为选考题，考生根据要求作答 . 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5分.把答案填在答题卡上的相应位置 . 13. 若“2x”是“ xm ”的必要不充分条件，则 m的取值范围是.
6、 14. 设等差数列 na的前 n 项和为n S，若 51 310aa，则 13 S . 15. 若 3 sin 63 x，则 sin2 6 x . 16. 已知椭圆 22 22 :1 xy C ab ( 0ab ) 的左、右焦点分别为 12 FF， ， P 为椭圆 C 上一点，且 12 3 F PF，若 1 F关于 12 F PF 平分线的对称点在椭圆 C 上，则该椭圆的离心率为 . 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.( 本小题满分 12 分) 在ABC中，角 A BC， ，的对边分别是abc， ，. 已知s insin0 3 bCcB . ( )求角 C 的值； (
7、 )若427ac，求ABC的面积. 18.( 本小题满分 12 分) 如图，三棱台ABCEFG 的底面是正三角形，平面ABC平面 BCGF ，2CBGF ， BFCF . ( )求证： AB CG ； ( )若ABC和梯形 BCGF 的面积都等于3，求三棱锥 GABE 的 3 体积. 19.( 本小题满分 12 分) 为了了解 A 地区足球特色学校的发展状况，某调查机构得到如下统计数据： 年份 x 2014 2015 2016 2017 2018 足球特色学校 y( 百个) 0.30 0.60 1.00 1.40 1.70 ( )根据上表数据，计算 y与x的相关系数r，并说明yx与 的线性相关
8、性强弱(已知：0.7 5 1r ， 则认为yx与线性相关性很强； 0.30.75r，则认为yx与线性相关性一般；0.25r，则认为yx与线 性相关性较弱) ； ( )求 y 关于 x的线性回归方程，并预测 A地区 2019年足球特色学校的个数 ( 精确到个). 参考公式： 1 22 11 n ii i nn ii ii xxyy r xxyy ， 2 1 10 n i i xx， 2 1 1.3 n i i yy， 133.6056， 1 2 1 ? ?. n ii i n i i xxyy baybx xx ， 20.( 本小题满分 12 分) 已知直线:10lxy与焦点为 F 的抛物线 2
9、 :2Cypx(0p)相切. ( )求抛物线 C 的方程； ( )过点 F 的直线 m与抛物线 C 交于 A， B 两点，求 A ， B 两点到直线l的距离之和的最小值 . 21.( 本小题满分 12 分) 已知函数 22 3lnfxxaxax( a R ). ( )求 fx 的单调区间； ( )若对于任意的 2 xe( e为自然对数的底数) ，0fx恒成立，求 a的取值范围. 请考生在第 22、23题中任选一题作答. 注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题 目计分，作答时，请用 2B铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑 . 22.( 本小题满分 10 分)选修 4-4：坐
10、标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 2cos sin x y (为参数). 在以原点 O 为极点，x 轴正半轴 为极轴建立极坐标系，曲线 2 C 极坐标方程为 2 4 sin3 . ( )写出曲线 1 C和 2 C的直角坐标方程； ( )若PQ，分别为曲线 1 C和 2 C上的动点，求 PQ 的最大值. 23.( 本小题满分 10 分)选修 4-5：不等式选讲 已知32fxx. 4 ( )求1fx的解集； ( )若 2 fxa x 恒成立，求实数 a的最大值. 合肥市 2019 届高三第二次教学质量检测数学试题(文科) 参考答案及评分标准 一、选择题：本大题共 12
11、小题，每小题 5分，共 60分. 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5分，共 20 分. 13.2m 14.65 15. 1 3 16. 3 3 三、解答题： 17.( 本小题满分 12 分) 解: ( )sinsin0 3 bCcB ， 13 sinsincossinsin0 22 BCCCB ， 13 sincos0 22 CC， s in0 3 C . 0C， 2 3 C. 5 分 ( ) 222 2coscababC， 2 4120bb， 0b，2b， 113 sin242 3 222 SabC. 12分 18.( 本小题满分 12 分) ( )证明： 取 BC 的中点为 D ，
12、连结 DF . 由 ABCEFG 是三棱台得，平面 /ABC平面 EFG ，/BCFG. 2CBGF ， / CDGF， 四边形CDFG为平行四边形，/CGDF. BF CF ， D 为 BC 的中点， DF BC，CGBC. 平面 ABC平面 BCGF ，且交线为 BC ， CG平面 B CGF ， CG平面ABC，而AB平面ABC， CG AB . 5分 ( )三棱台A BC EFG 的底面是正三角形，且 2CBGF， 2ACEG ，2 ACGAEG SS， 11 22 GABEBAEGBACGGABC VVVV. 由( )知， CG平面 ABC . 题号1 2 3 4 5 6 7 8 9
13、 10 11 12 答案C D A A B B B C D C A D 5 正ABC的面积等于3，2BC，1GF. 直角梯形 BCGF 的面积等于3， 12 3 2 CG ， 2 3 3 CG， 11 11 22 33 GABEGABCABC VVSCG. 12分 19.( 本小题满分 12 分) 解：( )20161xy， 1 22 11 3.63.6 0.75 3.6056 10 1.3 n ii i nn ii ii xxyy r xxyy ， yx与线性相关性很强. 5 分 ( ) 5 1 5 2 1 20.710.410.420.7 ? 0.36 41014 ii i i i xxy
14、y b xx ， ? ?1 2016 0.36724.76aybx， y关于 x的线性回归方程是?0.36724.76yx. 当2019x时，?0.36724.762.08yx， 即 A地区 2019年足球特色学校有 208个. 12分 20.( 本小题满分 12 分) 解：( )直线:10lxy与抛物线 C 相切. 由 2 10 2 xy ypx 消去 x得， 2 220ypyp，从而 2 480pp，解得2p. 抛物线 C 的方程为 2 4yx. 5分 ( )由于直线 m的斜率不为 0，所以可设直线 m的方程为1tyx， A( 11 xy，) ， B ( 22 xy，). 由 2 1 4
15、tyx yx 消去 x 得， 2 440yty， 12 4yyt，从而 2 12 42xxt， 线段 AB的中点 M 的坐标为( 2 212tt，). 设点A到直线l的距离为 A d，点 B 到直线l的距离为 B d，点 M 到直线l的距离为d，则 2 22 222 13 2222122 24 2 AB tt dddttt， 当 1 2 t时，可使 A、 B 两点到直线l的距离之和最小，距离的最小值为 3 2 2 . 12分 21.( 本小题满分 12 分) 解：( ) fx 的定义域为( 0， ). 2222 232 23 a xxa axaxa fxxa xxx . 当 0a 时， 0fx
16、 恒成立， fx 的单调递增区间为(0，)，无单调递减区间； 6 当0a时，由0fx解得0 2 a x， a，由0fx解得 2 a xa， . f x 的单调递增区间为0 2 a ，和 a，单调递减区间是 2 a a， . 5 分 ( ) 当0a时，0fx恒成立， fx 在( 0，) 上单调递增， 2422 ( )320f xf eeaea恒成立，符合题意. 当0a时，由( )知， fx 在0 2 a ，和 a，上单调递增，在 2 a a， 上单调递减. ( )若 2 0 2 a e， 即 2 2ae时， fx 在 2 2 a e ， 上单调递增，在 2 a a， 上单调递减，在 a， 上 单
17、调递增. 对任意的实数 2 xe ，0fx恒成立，只需 2 0f e，且0fa. 而当 2 2ae时， 222422 23(2)()0f eaaeeaeae且 2222 3ln(ln2)0faaaaaaa成立. 2 2ae 符合题意. ( )若 2 2 a ea时， fx 在 2 ea， 上单调递减，在 a，上单调递增. 对任意的实数 2 xe，0fx恒成立，只需0fa即可， 此时 2222 3ln(ln2)0f aaaaaaa成立， 22 2eae符合题意. ( )若 2 ea ， f x 在 2 e， 上单调递增. 对任意的实数 2 xe，0fx恒成立，只需 2422 320f eeaea
18、， 即 242222 3220f eeaeaaeae， 2 0 2 e a符合题意. 综上所述，实数a的取值范围是 2 2 2 e e ，. 12 分 22.( 本小题满分 10 分) 解：( )曲线 1 C的直角坐标方程为 2 2 1 4 x y， 曲线 2 C 的直角坐标方程为 22 43xyy ，即 2 2 21xy. 5分 ( )设 P点的坐标为 (2cossin，). 2 1PQPC 2 22 4cossin213sin4sin81 当 2 sin 3 时， ma x PQ= 2 21 1 3 . 10分 23.( 本小题满分 10 分) 解：( )由1fx得，|32| 1x， 所以，132 1x，解得 1 1 3 x， 所以，1fx的解集为 1 1 3 ，. 5分 7 ( ) 2 fxa x 恒成立，即 2 32xa x 恒成立. 当0x时， aR ； 当0x时， 2 322 3 x ax xx . 因为 2 32 6x x ( 当且仅当 2 3 x x ，即 6 3 x 时等号成立)， 所以26a，即 a的最大值是26. 10分