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1、5.4 立体几何大题,-2-,-3-,-4-,-5-,-6-,1.证明线线平行和线线垂直的常用方法 (1)证明线线平行常用的方法:利用平行公理,即证两直线同时和第三条直线平行;利用平行四边形进行平行转换;利用三角形的中位线定理证线线平行;利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换. (2)证明线线垂直常用的方法:利用等腰三角形底边上的中线即高线的性质;勾股定理;线面垂直的性质,即要证两直线垂直,只需证明一直线垂直于另一直线所在的平面即可,即l,ala. 2.垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型 (1)证明线面、面面平行,需转化为证明线线平行. (2)证明线面垂直,需转化为证明线线
2、垂直. (3)证明线线垂直,需转化为证明线面垂直. (4)证明面面垂直,需转化为证明线面垂直,进而转化为证明线线垂直.,-7-,3.求几何体的表面积或体积 (1)对于规则几何体,可直接利用公式计算.对于某些三棱锥,有时可采用等体积转换法求解. (2)对于不规则几何体,可采用割补法求解. (3)求解旋转体的表面积和体积时,注意圆柱的轴截面是矩形,圆锥的轴截面是等腰三角形,圆台的轴截面是等腰梯形的应用. 4.解决平面图形的翻折问题,关键是抓住平面图形翻折前后的不变性,即两条直线的平行与垂直关系以及相关线段的长度、角度等的不变性.,5.4.1 空间中的平行与几何体的体积,-9-,考向一,考向二,证平
3、行关系求几何体的体积(多维探究) 类型一 证明线面平行及求几何体的体积 例1 如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC= AD,BAD=ABC=90. (1)证明:直线BC平面PAD; (2)若PCD的面积为2 ,求四棱锥P-ABCD的体积.,-10-,考向一,考向二,(1)证明 在平面ABCD内,因为BAD=ABC=90,所以BCAD. 又BC平面PAD,AD平面PAD,故BC平面PAD. (2)解 取AD的中点M,连接PM,CM,如图. 由AB=BC= AD及BCAD,ABC=90得,四边形ABCM为正方形,则CMAD. 因为侧面PAD为等边三角形
4、且垂直于底面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD, 所以PMAD,PM底面ABCD. 因为CM底面ABCD,所以PMCM.,-11-,考向一,考向二,-12-,考向一,考向二,解题心得1.证线面平行,一般利用线面平行的判定定理,难点是找直线在平面内的平行线: (1)利用三角形的中位线找平行线证线面平行; (2)构造平行四边形,找平行线; (3)利用平行线分线段成比例定理的逆定理证线线平行. 2.求几何体的体积,一般思路是围绕已知条件和要求的几何体的底和高,通过几何体的几何性质,建立已知和未知的关系,依据题意可借助方程的思想求出未知数,从而求出体积.,-13-,考向一,考向二,对点训练1 (2
5、019四川成都一模,文18)如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形,ABC=60,PA平面ABCD,点M是棱PC的中点. (1)证明:PA平面BMD; (2)当PA= 时,求三棱锥M-PAD的体积.,-14-,考向一,考向二,(1)证明 如图,连接AC交BD于点O,连接MO. M,O分别为PC,AC的中点, PAMO. PA平面BMD,MO平面BMD,PA平面BMD.,-15-,考向一,考向二,(2)解 如图,取线段BC的中点H,连接AH. 四边形ABCD是菱形,ABC=60, AHAD. PA平面ABCD,AHPA. 又PAAD=A,所以AH平面PAD, 点H到平面PAD的距
6、离即为AH的长度. 又BCAD,点C到平面PAD的距离即为AH的长度.,-16-,考向一,考向二,类型二 证明面面平行及求几何体的体积 例2 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,PA底面ABCD,PA=AB,E,F,G分别是PA,PB,BC的中点. (1)证明:平面EFG平面PCD; (2)若平面EFG截四棱锥P-ABCD所得截面的面积为 ,求四棱锥P-ABCD的体积.,-17-,考向一,考向二,(1)证明 因为E,F分别为PA,PB的中点,所以EFAB.又ABCD,所以EFCD. F,G分别为PB,BC的中点, FGPC. PCCD=C,EFFG=F, 平面EFG平面PCD.
7、,(2)解 设H为AD的中点,连接GH,EH,则GHEF,则平面EFG截四棱锥P-ABCD的截面为梯形EFGH, PA平面ABCD,DC平面ABCD, PADC,又DCAD, DC平面PAD.,-18-,考向一,考向二,又EH平面PAD,CDEH. GHCD,GHEH, 梯形EFGH为直角梯形.,-19-,考向一,考向二,解题心得1.证明面面平行的方法有: (1)利用定义证明; (2)利用判定定理:一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,则这两个平面平行; (3)垂直于同一直线的两个平面平行; (4)平行于同一个平面的两个平面平行. 2.求几何体的体积首先要考虑的是几何体的底面面积和几何体
8、的高,如果都易求,那么直接代入体积公式即可.,-20-,考向一,考向二,对点训练2 如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD是正方形,CD=PD,ADP=90,CDP=120,E,F,G分别为PB,BC,AP的中点. (1)求证:平面EFG平面PCD; (2)若CD=PD=2,求三棱锥E-CDF的体积.,-21-,考向一,考向二,(1)证明 因为E,G分别为BP,AP的中点,所以EGAB, 又因为四边形ABCD是正方形,所以EGCD,所以EG平面PCD. 因为E,F分别为BP,BC的中点,所以EFPC,所以EF平面PCD. 所以平面EFG平面PCD.,-22-,考向一,考向二,-23-,考
9、向一,考向二,证平行关系求点到面的距离(多维探究) 类型一 定义法求点到面的距离 例3(2019全国卷1,文19)如图,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2,BAD=60,E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点. (1)证明:MN平面C1DE; (2)求点C到平面C1DE的距离.,-24-,考向一,考向二,(1)证明 连接B1C,ME. 由题设知A1B1DC,可得B1CA1D,故MEND,因此四边形MNDE为平行四边形,MNED. 又MN平面C1DE,所以MN平面C1DE.,-25-,考向一,考向二,(2)解 过C作C1E的垂线,垂足为H. 由已知可得DEB
10、C,DEC1C,所以DE平面C1CE,故DECH. 从而CH平面C1DE,故CH的长即为C到平面C1DE的距离.,-26-,考向一,考向二,解题心得在空间中,求点A到平面的距离,可利用点到面的距离的定义来求,一般在过点A且与平面垂直的平面内作两平面交线的垂线,由面面垂直的性质定理可知,该垂线垂直平面,点A与垂足的距离即为点到平面的距离.,-27-,考向一,考向二,对点训练3 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA平面ABCD,E为PD的中点. (1)证明:PB平面AEC;,-28-,考向一,考向二,(1)证明 设BD与AC的交点为O,连接EO.因为四边形ABCD为矩形,所以O为
11、BD的中点.又E为PD的中点,所以EOPB.又EO平面AEC,PB平面AEC,所以PB平面AEC.,-29-,考向一,考向二,类型二 体积法求点到面的距离 例4(2019河北唐山三模,文18)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,C1C底面ABC,ACB=90,AC=BC=4,M,N分别为AB,CC1的中点. (1)求证:CM平面AB1N; (2)若AB1与平面B1C1CB所成的角为30,求点M到平面AB1N的距离.,-30-,考向一,考向二,(1)证明 取AB1的中点O,连接OM,ON(图略),在ABB1中,O,M分别是AB1,AB的中点,则OMBB1,且OM= BB1. 又N为CC1的中点
12、,CC1BB1, 所以NCBB1,NC= BB1, 从而有OMNC且OM=NC, 所以四边形OMCN为平行四边形, 所以CMNO. 又因为CM平面AB1N,NO平面AB1N,所以CM平面AB1N.,-31-,考向一,考向二,(2)解 由CC1平面ABC,得CC1AC. 又因为ACBC,CC1BC=C, 所以AC平面B1C1CB. 连接CB1(图略),所以AB1C即为AB1与平面B1C1CB所成的角,-32-,考向一,考向二,解题心得体积法求点到面的距离就是在点到面的距离不容易作出的情况下,转化为求三棱锥的高.因为三棱锥哪一个侧面都可当作底面,对应的三棱锥的高是该侧面与相对应顶点的距离,所以同一
13、个三棱锥,其体积可用不同的底与对应的高表示出来,从而构成一个方程,解方程得点到面的距离.,-33-,考向一,考向二,对点训练4(2019山西运城二模,文18)如图,ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形,BCD是等边三角形,AB=1,如图,将BCD沿BC折起,使平面BCD平面ABC,E,M分别为BC,BD的中点,点F在棱AC上,且AF=3FC,点N在棱AC上,且CN= CA. (1)在棱BC上是否存在一点G,使平面MNG平面DEF?若存在,求 的值;若不存在,请说明理由. (2)求点F到平面ABD的距离.,-34-,考向一,考向二,又EF平面DEF,GN平面DEF,所以GN平面DEF. 因为MGGN=G,所以平面MNG平面DEF.,-35-,考向一,考向二,(2)如图,连接BF,因为平面BCD平面ABC,ABBC, 平面ABC平面BCD=BC, 所以AB平面BCD. 又BD平面BCD,所以ABBD.,