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1、5.1 三视图与几何体的体积、表面积,-2-,高考命题规律 1.高考必考考题,多数年份考查2道小题. 2.选择题或填空题,5分,中高档难度. 3.全国高考有4种命题角度,分布如下表.,-3-,-4-,空间几何体三视图的识别与画法 高考真题体验对方向 1.(2018全国3)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来,构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( ),-5-,答案:A 解析:根据三视图原则,从上往下看,看不见的线画虚线,则A正确.,-6-,2.(2018全国9)某圆柱的高为2
2、,底面周长为16,其三视图如右图.圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长度为( ),-7-,答案:B,-8-,3.(2014全国8)如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的是一个几何体的三视图,则这个几何体是( ) A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱,-9-,答案:B 解析:由所给三视图可知该几何体是一个三棱柱(如图).,-10-,4.(2013全国9)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中
3、的正视图时,以zOx平面为投影面,则得到的正视图可以为( ),-11-,答案:A 解析:如图所示,该四面体在空间直角坐标系O-xyz的图象为下图:,-12-,典题演练提能刷高分 1. 某几何体的正视图与俯视图如图,则其侧视图可以为( ),-13-,答案:B 解析:由俯视图与正视图可知该几何体可以是一个三棱柱挖去一个圆柱,因此其侧视图为矩形内有一条虚线,虚线靠近矩形的左边部分,只有选项B符合题意,故选B.,-14-,2. 如图,O1,O2为棱长为a的正方体的上、下底面中心,若正方体以O1O2为轴顺时针旋转,则该正方体的所有正视图中最大面积是 ( ),答案:B,-15-,3.已知一几何体的正视图、
4、侧视图如图所示,则该几何体的俯视图不可能是( ),答案:D 解析:由图可知,选项D对应的几何体为长方体与三棱柱的组合,其侧视图中间的线不可视,应为虚线,故选D.,-16-,4.某几何体的三视图如图所示,则此几何体的各面中最大面的面积为( ),-17-,答案:B,-18-,5.(2019陕西第二次质检)某三棱锥的三视图如图所示,其俯视图是一个等腰直角三角形,在此三棱锥的六条棱中,最长棱的长度为( ),-19-,答案:B 解析:几何体的直观图如图所示,由题意,可知PA底面ABC,ABC是等腰直角三角形,ABBC,则PC是最长的棱, .故选B.,-20-,6. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,
5、E是棱A1B1的中点,用过点A,C,E的平面截正方体,则位于截面以下部分的几何体的侧(左)视图为( ),-21-,答案:A 解析:如图所示,取B1C1的中点F,则EFAC,即平面ACFE亦即平面ACE截正方体所得的截面,据此可得位于截面以下部分的几何体的侧(左)视图如选项A所示.,-22-,7.已知三棱柱HIG-EFD的底面为等边三角形,且侧棱垂直于底面,该三棱柱截去三个角(如图所示,A,B,C分别是GHI三边的中点)后得到的几何体如图,则该几何体的侧视图为( ),-23-,答案:A 解析:因为平面DEHG平面EFD,所以几何体的侧视图为直角梯形,且直角腰在侧视图的左侧,故选A.,-24-,空
6、间几何体的体积、表面积 高考真题体验对方向 1.(2018全国5)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为( ),答案:B 解析:过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面为圆柱的轴截面,设底面半径为r,母线长为l,因为轴截面是面积为8的正方形,所以,-25-,2.(2018全国10)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AC1与平面BB1C1C所成的角为30,则该长方体的体积为( ),答案:C,解析:在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB平面BCC1B1,连接BC1,则AC1B为AC1与平面BB1
7、C1C所成的角,AC1B=30,-26-,3.(2015全国6)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有( ) A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛,-27-,答案:B 解析:设圆锥的底面半径为R,高为h. 米堆底部的弧长为8尺,-28-,4. (2019全国16)学生到工厂劳动实践,利用3D打印技术制作模
8、型.如图,该模型为长方体ABCD-A1B1C1D1挖去四棱锥O-EFGH后所得的几何体,其中O为长方体的中心,E,F,G,H分别为所在棱的中点,AB=BC=6 cm,AA1=4 cm.3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3.不考虑打印损耗,制作该模型所需原料的质量为 g. 答案:118.8,-29-,答案:118.8 又长方体ABCD-A1B1C1D1的体积为V2=466=144(cm3),则该模型的体积为V=V2-V1=144-12=132(cm3).故其质量为0.9132=118.8(g).,-30-,5.(2018全国16)已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB互相垂直,SA与圆锥底面所成
9、角为30.若SAB的面积为8.则该圆锥的体积为 . 答案:8 解析:SASB,-31-,典题演练提能刷高分 1.我国古代数学名著增删算法统宗中有如下问题:“有个金球里面空,球高尺二厚三分,一寸自方十六两,试问金球几许金?”意思是:有一个空心金球,它的直径12寸,球壁厚0.3寸,1立方寸金重1斤,试问金球重是多少斤?(注3)( ) A.125.77 B.864 C.123.23 D.369.69 答案:C 解析:由题意知,大球半径R=6,空心金球的半径r=6-0.3=5.7, 则其体积V= (63-5.73)123.23(立方寸). 因为1立方寸金重1斤,所以金球重123.23斤,故选C.,-3
10、2-,2.我国古代数学名著孙子算经中有如下问题:“今有筑城,上广二丈,下广五丈四尺,高三丈八尺,长五千五百五十尺,秋程人功三百尺.问:须工几何?”意思是:“现要筑造底面为等腰梯形的直棱柱的城墙,其中底面等腰梯形的上底为2丈、下底为5.4丈、高为3.8丈,直棱柱的侧棱长为5 550尺.如果一个秋天工期的单个人可以筑出300立方尺,问:一个秋天工期需要多少个人才能筑起这个城墙?”(注:一丈等于十尺)( ) A.24 642 B.26 011 C.52 022 D.78 033,答案:B,-33-,3. 三棱锥D-ABC中,CD底面ABC,ABC为正三角形,若AECD,AB=CD=AE=2,则三棱锥
11、D-ABC与三棱锥E-ABC的公共部分构成的几何体的体积为( ),答案:B 解析:根据题意画出如图所示的几何体: 三棱锥D-ABC与三棱锥E-ABC的公共部分构成的几何体为三棱锥F-ABC. ABC为正三角形,AB=2,CD底面ABC,AECD,CD=AE=2, 四边形AEDC为矩形,-34-,-35-,4. 九章算术是我国古代的数学名著,书中提到一种名为“刍甍”的五面体,如图所示,四边形ABCD是矩形,棱EFAB,AB=4,EF=2,ADE和BCF都是边长为2的等边三角形,则这个几何体的体积是( ),-36-,答案:C 解析:过点E作EG平面ABCD,垂足为点G,过点F作FH平面ABCD,垂
12、足为点H, 过点G作PQAD,交AB于点Q,交CD于点P,过点H作MNBC,交AB于点N,交CD于点M,如图所示: 四边形ABCD是矩形,棱EFAB,AB=4,EF=2,ADE和BCF都是边长为2的等边三角形,四边形PMNQ是边长为2的正方,-37-,5.已知M,N是三棱锥P-ABC的棱AB,PC的中点,记三棱锥P-ABC的体积为V1,三棱锥N-MBC的体积,-38-,6.在四棱锥S-ABCD中,SD底面ABCD,底面ABCD是正方形,SD=AD=2,三棱柱MNP-M1N1P1的顶点都位于四棱锥S-ABCD的棱上,已知M,N,P分别是棱AB,AD,AS的中点,则三棱柱MNP-M1N1P1的体积
13、为 . 答案:1,-39-,三视图还原与几何体的体积、表面积 高考真题体验对方向,1.(2019浙江4)祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家,他提出的“幂势既同,则积不容异”称为祖暅原理,利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体=Sh,其中S是柱体的底面积,h是柱体的高.若某柱体的三视图如图所示(单位:cm),则该柱体的体积(单位:cm3)是( ) A.158 B.162 C.182 D.324,-40-,答案:B,-41-,2.(2017全国6)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为( ) A.90 B.63
14、C.42 D.36,-42-,答案:B 解析:由题意,可知该几何体由两部分组成,这两部分分别是高为6的圆柱截去一半后的图形和高为4的圆柱,且这两个圆柱的底面圆半径都为3,故其体积为V= 326+324=63,故选B.,-43-,3.(2016全国7)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是 ,则它的表面积是( ) A.17 B.18 C.20 D.28,答案:A,-44-,4.(2019北京12)某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得,其三视图如图所示.如果网格纸上小正方形的边长为1,那么该几何体的体积为 .,-45-,答案:40 解析:在正方
15、体中还原该几何体,如图所示. 该几何体的体积V=43- (2+4)24=40.,-46-,5.(2017山东13)由一个长方体和两个 圆柱体构成的几何体的三视图如下图,则该几何体的体积为 .,-47-,-48-,典题演练提能刷高分 1.(2019四川内江高三三模)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有刍甍,下广三丈,袤四丈,上袤二丈,无广,高二丈,问:积几何?”其意思为:“今有底面为矩形的屋脊状的锲体,下底面宽3丈,长4丈,上棱长2丈,高2丈,问:它的体积是多少?”(已知1丈为10尺)该锲体的三视图如图所示,则该锲体的体积为( ) A.12 000立方尺 B.11 0
16、00立方尺 C.10 000立方尺 D.9 000立方尺,-49-,答案:C 解析:由题意,将锲体分割为三棱柱与两个四棱锥的组合体,作出几何体的直观图如图所示.,-50-,2.(2019山东日照三校一月联考)一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是边长为2的正三角形,则该几何体的体积为( ),-51-,答案:B 解析:由三视图可得几何体的直观图如下图所示.,-52-,3.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的表面积为( ),A.8+3 B.8+4 C.8+5 D.8+6,答案:D 解析:由题图可知,几何体为半圆柱挖去半球体,几何体的表面积为,-53-,4.
17、(2019山东潍坊三模)某几何体的三视图(如图),则该几何体的体积是( ),-54-,答案:B 解析:由三视图知几何体是左边为圆锥的一半,右边为圆柱的一半的组合体,且圆锥与圆柱的底面圆的直径为2,圆柱的高为3,圆锥的高为2,故几何体的体积,-55-,5.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积为( ),答案:C,-56-,6.(2019山西晋城二模)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( ) A.240 B.264 C.274 D.282 答案:B,-57-,-58-,(法二)由题意可知,几何体是五棱柱,底面可看作是边长为6的正方形与一个直角
18、三角形组成,如图,则该几何体的表面积为(10+6+6+3+5)6+266+34=264.故选B.,-59-,7.(2019甘肃兰州一中高三冲刺模拟)榫卯是我国古代工匠极为精巧的发明,它是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式。榫卯结构中凸出部分叫榫(或叫榫头),已知某“榫头”的三视图如图所示,则该“榫头”的体积是( ) A.36 B.45 C.54 D.63,-60-,答案:C 解析:由三视图还原该几何体如下. 可得,该几何体可看作由两个相同的四棱柱拼接而成,且四棱柱底面为直角梯形,由题中数据可得,底面的上底为3,下底为6,高为3,四棱柱的高为3.因此,该几何体的体积为,-61-,8.某
19、几何体的三视图如图所示,其中正视图由矩形和等腰直角三角形组成,侧视图由半圆和等腰直角三角形组成,俯视图的实线部分为正方形,则该几何体的表面积为( ),-62-,答案:A,-63-,9.某几何体的三视图如图所示,其中正视图的轮廓是底边为2 ,高为1的等腰三角形,俯视图的轮廓为菱形,侧视图是个半圆.则该几何体的体积为 .,-64-,-65-,球与几何体的切、接问题 高考真题体验对方向,1.(2019全国12)已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上,PA=PB=PC,ABC是边长为2的正三角形,E,F分别是PA,AB的中点,CEF=90,则球O的体积为( ),答案:D,-66-,-67-,-6
20、8-,2.(2018全国12)设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,ABC为等边三角形且其面积为9 ,则三棱锥D-ABC体积的最大值为( ),答案:B,-69-,-70-,3.(2017全国9)已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为( ),答案:B 解析:由题意可知球心即为圆柱体的中心,画出圆柱的轴截面如图所示,-71-,4.(2016全国4)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为( ),答案:A 解析:设正方体的棱长为a,由a3=8,得a=2. 由题意可知,正方体的体对角线为球的直径,-72-,5.(2016全国11)在
21、封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球.若ABBC,AB=6,BC=8,AA1=3,则V的最大值是( ),答案:B,-73-,6.(2017全国15)长方体的长、宽、高分别为3,2,1,其顶点都在球O的球面上,则球O的表面积为 . 答案:14 解析:由题意可知长方体的体对角线长等于其外接球O的直径2R,-74-,7.(2017全国16)已知三棱锥S -ABC的所有顶点都在球O的球面上,SC是球O的直径,若平面SCA平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱锥S -ABC的体积为9,则球O的表面积为 . 答案:36 解析:取SC的中点O,连接OA,OB. 因为SA=AC,SB=BC
22、,所以OASC,OBSC. 因为平面SAC平面SBC,且OA平面SAC,-75-,典题演练提能刷高分 1. 在三棱锥S-ABC中,SBBC,SA,锥的外接球半径是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案:C 解析:取SC中点O,连接OA,OB,则OA=OB=OC=OS,即O为三棱锥,-76-,2. 如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,则该几何体外接球的表面积是( ),-77-,答案:A 解析:由三视图画出如图所示的直观图:该几何体是直三棱柱ABC-,-78-,3.有一个圆锥与一个圆柱的底面半径相等,此圆锥的母线与底面所成角为60,若此圆柱的外接球的表面积是圆
23、锥的侧面积的4倍,则此圆柱的高是其底面半径的( ),答案:B,-79-,4.九章算术中将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”.一块“堑堵”形石材表示的三视图如图所示.将该石材切削、打磨,加工成若干个相同的球,并尽量使每个球的体积最大,则所剩余料体积为( ),A.288-48 B.288-16 C.288-32 D.288-4,-80-,答案:C 解析:由三视图知,该直三棱柱的底面直角三角形,直角边为6与8,要使每个球的体积最大,则球与三个侧面相切,求得三角形内切圆半径为2,则球的直径为4,由于棱柱高为12,所以最多可加工成3个半径,-81-,5.(2019天津高三二模)已知四面体ABCD的
24、四个面都为直角三角形,且AB平面BCD,AB=BD=CD=2.若该四面体的四个顶点都在球O的表面上,则球O的表面积为( ) 答案:D,-82-,解析:BD=CD=2且BCD为直角三角形,BDCD.又AB平面BCD,CD平面BCD,CDAB.CD平面ABD.由此可将四面体ABCD放入边长为2的正方体中,如图所示.,-83-,6.已知P,A,B,C是半径为2的球面上的,PA=PB=PC=2,ABC=90,点B在AC上的射影为D,则三棱锥P-ABD体积的最大值是 ( ),答案:B,解析:如图,由题意,PA=PB=PC=2,ABC=90, 可知P在平面ABC上的射影G为ABC的外心,即AC中点,则球的
25、球心在PG的延长线上,设PG=h,则OG=2-h,-84-,-85-,7.(2019山师附中考前模拟)在三棱锥P-ABC中,AB=5,BC=3,CA=4,三个侧面与底面所成的角均为60,三棱锥的内切球的表面积为 .,-86-,8.边长为2的等边ABC的三个顶点A,B,C都在以,-87-,9.在三棱锥A-BCD中,球的表面积为 . 答案:6,-88-,10.已知半径为3 cm的球内有一个内接四棱锥S-ABCD,四棱锥S-ABCD的侧棱长都相等,底面是正方形,当四棱锥S-ABCD的体积最大时,它的底面边长等于 cm. 答案:4,-89-,解析:如图,设四棱锥S-ABCD的侧棱长为x,底面正方形的边长为a,棱锥的高为h. 由题意可得顶点S在底面上的射影为底面正方形的中心O1,则球心,-90-,设f(x)=-x6+6x4, 则f(x)=-6x5+24x3=-6x3(x2-24),