圆锥曲线的常用结论(练习).pdf

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1、第 1 页 共 9 页 圆锥曲线中的常用结论 一. 平面内到两个定点的距离之比为常数k（k1）的点的轨迹是圆, 这个圆就是阿波罗尼圆。 例 1、已知点M （x，y）与两定点M1M2距离的比是一个正数m ，求点 M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图 形。（考虑m=1和 m 1） （课本： 144 页 B组第 2 题） 【练习】 （1） 已知两个定点01,02，BA. 如果动点P满足PBPA2， 则点的轨迹所包围的面积等于（） A. B. 4 C. 8 D. 9 （2） 满足条件AB 2 ，AC BC的ABC的面积的最大值是 二、 弦长公式：(1) 斜率为 k 的直线 y=kx+m交圆锥曲线于两点 1

2、1 y,xA， 22 y,xB时， 则AB= 2 k1 21 xx= 2 k1 2 2 1212 41xxx xk a = 2 1 1 k 21 yy= 2 1 1 k 2 12122 1 41 yyy y ka (2) 直线 x=ky+m交圆锥曲线于两点 11 y,xA， 22 y,xB时，AB= 2 t1 21 yy 三、关于焦点三角形与焦点弦 1. 椭圆上一点P与两个焦点 12 ,FF 所构成的 12 PFF称为焦点三角形。 设 12 F PF，则有：4c2=|PF1| 2+|PF2| 2-2|PF 1| |PF2| cos （关键公式） 2 1 2 cos1 b rr ，当 12 rr

3、（即P为短轴顶点）时，最大，此时 22 2 cos bc a 12 PFF的面积 2 2 1 20 1sin sintan 21cos2 b Srrbc y 当 0 yb（即P为短轴顶点）时，S最大，且 max Sbc 222 12 bcPFPFb 2. 椭圆的焦半径公式：MF1= a+ex0，MF2= a-ex0 , caMFca 3. 过焦点 1 F或 2 F的椭圆的弦AB，称为焦点弦。 （1）设 1122 (,),(,)A xyB xy ，AB的中点为 00 (,)M xy ， 第 2 页 共 9 页 则弦长 120 2()22ABae xxaex（左焦点取“ +”，右焦点取“- ”）

4、（2）若 AB是过焦点F 的弦 , 设,AFm BFn, 则 2 112a mnb 当ABx轴时，AB最短，且 a b AB 2 2 ( 通径 ) 双曲线中，若AB 是过焦点F 的弦 , 设,AFm BFn, ,AB交在同支时 , 2 112a mnb ,AB 交在两支时 , 2 112a mnb ( 设m n) (3) 过焦点的直线l的倾斜角为, 椭圆过焦点弦长公式： 2 2 2 cos 2 sin ab x ac AB ab y ac 焦点在 轴上 焦点在 轴上 设双曲线 22 22 1 xy ab ，其中两焦点坐标为 12 ,0 ,0FcFc，过 1 F的直线l的倾斜角为，交双曲线于 A

5、、B两点，焦点在x 轴的焦点弦长为 2 2 2 cos 2 cos ab ac AB ab ca A,B在同一支曲线上 A,B在两支曲线上 其中 a 为实半轴， b 为虚半轴， c 为半焦距，为 AB的倾斜角 （4） 焦点三角形的面积公式 (1) 在椭圆中 ,F1,F2分别为左、右焦点,P为椭圆上一点, 则 PF1F2的面积 12 2 | =tan 2 PF FP Sc yb其中 =F1PF2. (2) 在双曲线(a0,b0) 中 ,F1,F2分别为左、右焦点,P 为双曲线上一点, 则 PF1F2的面积 2 tan 2 21 b S PFF , 其中 = F1PF2. 三. 椭圆的参数方程是

6、椭圆上的动点可设 sin,cosba 22 22 1(0) xy ab ab 1 2 2 2 2 b y a x 22 22 1(0) xy ab ab cos sin xa yb 第 3 页 共 9 页 对于y 2=2px( p0)抛物线上的动点的坐标可设为，以简化计算. 四. 双曲线的方程与渐近线方程的关系 (1 ）若双曲线方程为渐近线方程：. (2) 若渐近线方程为双曲线可设为. (3) 若双曲线与有公共渐近线，可设为（，焦点在 x 轴上，焦点 在 y 轴上） (4). 双曲线焦点到渐近线的距离总是 b. 顶点到渐近线的距离为 ab c (5). 双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为，离

7、心率. 五. 抛物线 设AB为过抛物线 2 2(0)ypxp焦点的弦， 1122 (,)(,)A x yB xy、，直线AB的倾斜角为，则 1. 2 2 1212 ,; 4 p x xy yp 2. 12 , 21cos21cos pppp AFxBFx 3. 122 2 ; sin p ABxxp4. 112 |FAFBP ； 例 2. 已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，、为焦点，点P在椭圆上，直线与倾斜 角的差为，的面积是20，离心率为，求椭圆的标准方程. 【练习】 1. 已知 P是椭圆1 925 22 yx 上的点， 1 F、 2 F分别是椭圆的左、 右焦点，若 2 1 | 21 2

8、1 PFPF PFPF ， 则 21PF F 的面积为（） A. 33 B. 32 C. 3 D. 3 3 2. 双曲线1 169 22 yx 两焦点为F1，F2，点 P在双曲线上，直线PF1，PF2倾斜角之差为, 3 则 F1PF2面积 为( ) 2 0 0 (,) 2 y y p 1 2 2 2 2 b y a x 22 22 0 xy ab x a b y x a b y 0 b y a x 2 2 2 2 b y a x 1 2 2 2 2 b y a x 2 2 2 2 b y a x 00 222 ayxxy2e 1 F 2 F 1 PF 2 PF 90 21PF F 3 5 第

9、4 页 共 9 页 A163 B323 C32 D42 六、圆锥曲线的切线问题 1. 过圆 C:(x-a) 2+(y-b)2=R2 上一点 P(x0,y0) 的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y 0-b)(y-b)=R 2. 2. 若 000 (,)P xy在椭圆 22 22 1 xy ab 上，则以 0 P为切点的切线的椭圆的切线方程是 00 22 1 x xy y ab . 3. 若 000 (,)P xy在双曲 22 22 1 xy ab （a0，b0）上，则过 0 P的双曲线的切线方程是 00 22 1 x xy y ab . 4. 已知点 M(x0,y0) 在抛物线 C:y 2=

10、2px(p 0) 上时， M为切点的切线 l:y0y=p(x+x0). 例 3. 已知抛物线C:x 2=4y, 直线 l:x-y-2=0, 设 P为直线 l 上的点 , 过点 P作抛物线 C的两条切线PA,PB,其中 A,B 为切点 , 当点 P(x0,y0) 为直线 l 上的定点时 , 求直线 AB的方程 . 【练习】 1. 过点 (3,1) 作圆 (x-1) 2+y2=1 的两条切线 , 切点分别为 A,B, 则直线 AB的方程为 ( ) A.2x+y-3=0 B.2x-y-3=0 C.4x-y-3=0 D.4x+y-3=0 2. 设椭圆 C:1 34 22 yx , 点 P 2 3 ,

11、1, 则椭圆 C在点 P处的切线方程为. 七、圆锥曲线的中点弦问题( 点差法 ) AB 是椭圆 22 22 1 xy ab 的不平行于对称轴的弦，M),( 00 yx为 AB 的中点，则 2 2 OMAB b kk a =e 2-1 ，即 0 2 0 2 ya xb K AB 。 AB 是双曲线 22 22 1 xy ab 的不平行于对称轴的弦，M),( 00 yx为 AB 的中点，则 2 2OMAB b kk a =e 2-1 ， 即 2 0 2 0 AB b x K a y 。 【练习】 (1) 已知椭圆E: 22 22 1 xy ab (ab0) 的右焦点为F(3,0),过点 F 的直线

12、交椭圆E于 A,B 两点 . 若 AB的中点 坐标为 (1,-1),则椭圆 E的方程为 ( ) A.1 3645 22 yx B.1 2736 22 yx C.1 1827 22 yx D.1 918 22 yx 第 5 页 共 9 页 2. 椭圆 C:1 34 22 yx 的左、 右顶点分别为A1,A2, 点 P在椭圆 C上且直线 PA2的斜率的取值范围是-2,-1, 那么直线PA1的斜率的取值范围是. 3. 如图所示 , 在平面直角坐标系xOy中, 过坐标原点的直线交椭圆1 24 22 yx 于 P,A 两点 ,其中 P在第一象 限, 过 P作 x 轴的垂线 , 垂足为 C,连接 AC,并

13、延长交椭圆于点B,设直线 PA的斜率为k. 对任意 k0, 求证 :PA PB. 结论十四圆锥曲线中的一类定值问题 在圆锥曲线 ( 椭圆、双曲线、抛物线) 中, 曲线上的一定点P(非顶点 ) 与曲线上的两动点A,B 满足直线 PA与 PB的斜率互为相反数( 倾斜角互补 ), 则直线 AB的斜率为定值 . 图示条件结论 已知椭圆 22 22 1 xy ab (ab0), 定点 P(x0,y 0)(x0y0 0) 在椭圆上 , 设 A,B 是椭圆上的两个动点, 直线 PA,PB 的斜率分 别为 kPA,kPB, 且满足 kPA+kPB=0. 直线 AB的斜率kAB为 定值 0 2 0 2 ya x

14、b . 已知双曲线 22 22 1 xy ab (a,b0),定点 P(x0,y 0)(x0y00) 在双 曲线上 , 设 A,B 是双曲线上的两个动点, 直线 PA,PB 的斜率分 别为 kPA,kPB, 且满足 kPA+kPB=0. 直线 AB的斜率kAB为 定值 - 0 2 0 2 ya xb . 第 6 页 共 9 页 已知抛物线y 2=2px(p0), 定点 P(x0,y0)(x0y00)在抛物线上 , 设 A,B 是抛物线上的两个动点, 直线PA,PB 的斜率分别为 kPA,kPB, 且满足 kPA+kPB=0. 直线 AB的斜率kAB为 定值 - 0 y p 例 14 已知抛物线

15、C:y 2=2x, 定点 P(8,4) 在抛物线上 , 设 A,B 是抛物线上的两个动点 , 直线 PA,PB的斜 率分别为kPA,kPB, 且满足 kPA+kPB=0. 证明 : 直线 AB的斜率 kAB为定值 , 并求出该定值 . 解析设 A(x1,y1),B(x2,y2),kPA=k, 则 kPB=-k(k 0), 又 P(8,4), 所以直线PA的方程为y-4=k(x-8), 【变式训练】已知椭圆C:1 34 22 yx ,A 为椭圆上的定点, 若其坐标为A 2 3 , 1,E,F 是椭圆 C上的两个动 点, 如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数. 证明 : 直线 EF的斜率为定值

16、 , 并求出这个定值. 圆锥曲线中的一类定点问题 若圆锥曲线中内接直角三角形的直角顶点与圆锥曲线的顶点重合, 则斜边所在直线过定点. (1) 对于椭圆 22 22 1 xy ab (ab0) 上异于右顶点的两动点A,B, 以 AB为直径的圆经过右顶点(a,0),则直 线lAB过 定 点. 同 理 , 当 以AB 为 直 径 的 圆 过 左 顶 点 (-a,0)时 , 直 线lAB过 定 点 . (2) 对于双曲线 22 22 1 xy ab (a0,b0) 上异于右顶点的两动点A,B, 以 AB为直径的圆经过右顶点(a,0), 则直线 lAB过定点. 同理 , 对于左顶点 (-a,0),则定点

17、为. 第 7 页 共 9 页 (3) 对于抛物线y 2=2px(p0) 上异于顶点的两动点 A,B, 若=0, 则弦 AB所在直线过点(2p,0).同理 , 抛物线 x 2=2py(p0) 上异于顶点的两动点 A,B, 若, 则直线 AB过定点 (0,2p). 例 15 已知抛物线y 2=2px(p0) 上异于顶点的两动点 A,B 满足以 AB为直径的圆过顶点. 求证 :AB 所在的直线过定点, 并求出该定点的坐标. 解析由题意知lAB的斜率不为0( 否则只有一个交点), 故可设lAB:x=ty+m,A(x 1,y1),B(x2,y2), 由 消去 x得 y 2-2pty-2pm=0, 从而

18、=(-2pt) 2-4(-2pm)=4p2t2+8pm0,即 pt2+2m0, 因为以 AB直径的圆过顶点O(0,0),所以=0, 即 x1x2+y1y2=0, 也即 (ty 1+m)(ty2+m)+y1y2=0, 把式 代入化简得m(m-2p)=0, 得 m=0或 m=2p. (1) 当 m=0时,x=ty,lAB过顶点 O(0,0),与题意不符 , 故舍去 ; (2) 当 m=2p时,x=ty+2p,令 y=0, 得 x=2p, 所以 lAB过定点 (2p,0),此时 m=2p满足 pt 2+2m0. 综上 ,l AB过定点 (2p,0). 【变式训练】已知椭圆1 34 22 yx , 直

19、线 l:y=kx+m 与椭圆交于A,B 两点 (A,B 不是左、 右顶点 ), 且以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点. 求证 : 直线 l 过定点 ,并求该定点的坐标. 结论十六抛物线中的三类直线与圆相切问题 AB是过抛物线y 2=2px(p0) 焦点 F的弦 ( 焦点弦 ), 过 A,B 分别作准线 l:x=-的垂线 , 垂足分别为A1,B1,E 为 A1B1的中点 . (1) 如图所示 , 以 AB为直径的圆与准线l 相切于点E. (2) 如图所示 , 以 A1B1为直径的圆与弦AB相切于点F, 且 EF 2=A 1ABB1. (3) 如图所示 , 以 AF为直径的圆与y 轴相切 . 例

20、16 过抛物线y 2=2px(p0) 的对称轴上一点 A(a,0)(a0)的直线与抛物线相交于M,N两点 , 自 M,N向直 线 l:x=-a作垂线 , 垂足分别为M1,N1. 当 a= 2 p 时, 求证 :AM1AN1. 证明证法一 : 如图所示 , 当 a= 时, 点 A为抛物线的焦点,l为其准线x=- 2 p , 由抛物线定义得 |MA|=|MM1|,|NA|=|NN 1|, 所以 MAM1=MM1A, NAN1=NN1A. 因为MM 1 NN1, 故 M1MA+ N1NA=180 , 所以 MM1A+ MAM1+ NN1A+ NAN1=180 , 所以 MAM1+ NAN1=90 ,

21、 即 M1AN1=90, 故 AM1AN1. 第 8 页 共 9 页 由可得y1y2=-p 2 . 因为=(-p,y 1),=(-p,y2), 故=0, 即 AM1AN1. 证法三 : 同证法二得y1y2=-p 2. 因为=-,=-, 故=-1, 即 AM1AN1. 【变式训练】 1. 设抛物线 2 4Cyx：的焦点为F， 直线 3 = 2 lx：， 若过焦点F的直线与抛物线C相交于,A B两点， 则以线段 AB为直径的圆与直线l的位置关系为（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 以上三个答案均有可能 2. 已知抛物线C:y 2=8x 与点 M(-2,2), 过 C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于 A,B 两点 , 若=0, 则 k= . 过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其长度为 a b 2 2 第 9 页 共 9 页 12. 若 P为椭圆上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点 , 12 PF F, 21 PF F， 则 sin sinsin c e a .