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1、增分点圆锥曲线中的证明问题、探究性问题 证明 问题 (1)圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位 置关系，如：某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等；二是证明 直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等 ) (2)解决证明问题时， 主要根据直线、 圆锥曲线的性质、 直线与圆锥曲线的位置关系等， 通过相关的性质应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明 典例 如图，圆C 与 y 轴相切于点T(0， 2)，与 x 轴正半轴相交于两点M，N(点 M 在点 N 的 左侧 )，且 MN 3. (1)求圆 C 的方程； (2)过点 M 任作一条直
2、线与椭圆T：x 2 4 y 2 8 1 相交于两点A，B，连结 AN，BN，求证： ANM BNM . 思路演示 解： (1)设圆 C 的半径为r，依题意得，圆心坐标为(r,2) MN 3， r 3 2 222， r5 2， 圆 C 的方程为x 5 2 2(y2)225 4 . (2)证明： 把 y0 代入方程x 5 2 2(y2)225 4 ， 解得 x1或 x 4， 即点 M(1,0)， N(4,0) 当 ABx 轴时，由椭圆对称性可知ANM BNM . 当 AB 与 x 轴不垂直时，可设直线AB 的方程为y k(x1)， 联立方程 y k x1 ， x 2 4 y 2 8 1 消去 y，
3、 得(k 22)x22k2x k280. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 x1x2 2k 2 k 22，x1x2 k 28 k 22. y1k(x11)，y2k(x21)， kANkBN y1 x14 y2 x24 k x11 x14 k x21 x2 4 k x11 x24 k x21 x14 x14 x24 . (x11)(x24)(x21)(x14)2x1x25(x1 x2)8 2 k 28 k 2 2 10k 2 k 228 0， kANkBN0， ANM BNM . 综上所述，ANM BNM . 解题师说 证明 ANM BNM ，若 AB 的斜率不存在，显然成立， 若斜
4、率存在， 只需证直线AN 与 BN 的斜率互为相反数即可 应用体验 1. 如图， 在平面直角坐标系xOy中， 椭圆 x 2 a 2 y 2 b 21(ab0)的右顶点和上顶点分别为 A， B，M 为线段 AB 的中点，且 OM AB 3 2b 2. (1)求椭圆的离心率； (2)若 a2， 四边形 ABCD 内接于椭圆， ABDC.记直线 AD， BC 的斜率分别为k1， k2， 求证： k1k2为定值 解： (1)由题意， A(a,0)，B(0，b)，由 M 为线段 AB 的中点得M a 2， b 2 . 所以 OM a 2， b 2 ， AB (a，b) 因为 OM AB3 2b 2， 所
5、以 a 2， b 2 (a，b) a 2 2 b 2 2 3 2b 2， 整理得 a 24b2，即 a2b. 因为 a2b2c2，所以 3a24c2，即3a 2c. 所以椭圆的离心率e c a 3 2 . (2)证明： 由 a 2得 b 1，故椭圆方程为 x 2 4 y21. 从而 A(2,0)，B(0,1)，直线 AB 的斜率为 1 2. 设 C(x0，y0)，则 x 2 0 4 y2 01. 因为 ABCD， 故 CD 的方程为y 1 2(xx0)y 0. 联立方程 y 1 2 xx0y0， x 2 4 y 21， 消去 y，得 x2(x02y0)x2x0y00， 解得 xx0或 x2y0
6、. 所以点 D 的坐标为2y0， 1 2x 0. 所以 k1k2 1 2x0 2y02 y01 x0 1 4， 即 k1k2为定值 1 4. 探究性 问题 探究性问题求解的思路及策略 (1)思路：先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确，则存在；若结论不正确， 则不存在 (2)策略：当条件和结论不唯一时要分类讨论； 当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件 典例 (2018 湘中名校联考) 如图， 曲线 C 由上半椭圆C1： y 2 a 2 x 2 b 21(ab0， y0)和部分抛物线 C2： y x 21(y0) 连接而成， C1与 C2的公共点为A，B，其中 C1的离心
7、率为 3 2 . (1)求 a，b 的值； (2)过点 B 的直线 l 与 C1，C2分别交于点 P，Q(均异于点A，B)，是否存在直线l，使得 以 PQ 为直径的圆恰好过点A，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由 思路演示 解： (1)在 C1，C2的方程中，令y0，可得 b1， 且 A(1,0)，B(1,0)是上半椭圆C1的左、右顶点 设 C1的半焦距为c，由 c a 3 2 及 a2c 2b21 可得 a2， a2，b1. (2)由(1)知，上半椭圆C1的方程为 y 2 4 x21(y0) 由题易知，直线l 与 x 轴不重合也不垂直，设其方程为yk(x 1)(k0) 代入 C
8、1的方程，整理得(k24)x22k2xk2 40.(*) 设点 P 的坐标为 (xP，yP)， 直线 l 过点 B， x1 是方程 (*) 的一个根 由根与系数的关系得xP k 2 4 k 2 4，从而 yP 8k k 24， 点 P 的坐标为 k 24 k 24， 8k k 24. 同理，由 yk x1 k0 ， y x 2 1 y0 ， 得点 Q 的坐标为 (k1， k22k) AP 2k k 24(k， 4)， AQ k(1，k2) 依题意可知APAQ， AP AQ 0， 即 2k2 k 24k 4(k2)0， k0， k4(k2)0，解得 k 8 3. 经检验， k 8 3符合题意，
9、故直线 l 的方程为y 8 3(x1)，即 8x3y80. 解题师说 第(1)问在 C2的方程中，令y0 可得 b，再由 c a 3 2 ，a2c 2b2 可得 a； 第(2)问设出过点B 的直线 l 的方程，分别与曲线C1，C2联立用直线l 的斜率 k 表示 出点 P，Q 的坐标后，要使以PQ 为直径的圆过点A，则有 AP AQ 0，从而解得k，求出 直线 l 的方程 应用体验 2已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为 2 2 ，它的一个焦点F 恰好与 抛物线 y24x 的焦点重合 (1)求椭圆 C 的方程； (2)设椭圆的上顶点为A，过点 A 作椭圆 C 的两条动弦AB， AC
10、，若直线AB， AC 斜率 之积为 1 4，直线 BC 是否恒过一定点？若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由 解： (1)由题意知椭圆的焦点F(1,0)，即 c1. 由 e 2 2 得 a2，b211， 椭圆 C 的方程为 x 2 2 y 21. (2)由(1)知 A(0,1)， 当直线 BC 的斜率不存在时， 设 BC：xx0，设 B(x0，y0)，则 C(x0， y0)， kAB kAC y01 x0 y0 1 x0 1y 2 0 x 2 0 1 2x 2 0 x 2 0 1 2 1 4， 不合题意故直线BC 的斜率存在 设直线 BC 的方程为： ykxm(m1)， 代入椭圆方程，
11、得： (12k 2)x24kmx2(m21)0， 由 (4km)28(12k2)(m2 1)0， 得 2k2m210. 设 B(x1，y1)，C(x2，y2)， 则 x1x2 4km 12k 2，x1x2 2 m 21 12k 2. 由 kAB kAC y11 x1 y21 x2 1 4， 得 4y1y2 4(y1 y2)4x1x2， 即(4k21)x1x24k(m1)(x1x2)4(m1)20， 将代入上式，整理得(m 1)(m3)0. 又因为 m1，所以 m3， 此时直线BC 的方程为ykx3. 所以直线BC 恒过一定点 (0,3). 1已知抛物线C：x 22py(p0)及点 D 0，p
12、2 ，动直线l： ykx 1 与抛物线C 交 于 A，B 两点，若直线AD 与 BD 的倾斜角分别为 ， ，且 . (1)求抛物线C 的方程； (2)若 H 为抛物线C 上不与原点O 重合的一点，点N 是线段 OH 上与点O，H 不重合 的任意一点，过点N 作 x 轴的垂线依次交抛物线C 和 x轴于点 P，M，求证： |MN | |ON| |MP| |OH |. 解： (1)把 ykx1 代入 x 22py，得 x2 2pkx2p0， 设 A x1， x 2 1 2p ，B x2， x 2 2 2p ，则 x1x22pk，x1x2 2p. 由 可知，直线AD 的斜率与直线BD 的斜率之和为0，
13、 所以 x 2 1 2p p 2 x1 x 2 2 2p p 2 x2 0，整理得 (x1 x2)(x1x2p 2)0， 即 2pk(p 22p)0， 由该式对任意实数k 恒成立，可得p2， 所以抛物线C 的方程为x24y. (2)证明：设过点N 的垂线方程为xt(t0)， 由 xt， x 24y 得 xt， y t 2 4， 即点 P t，t 2 4 . 令 |MN | |MP| ，则 N t， t 2 4 ， 所以直线ON 的方程为y t 4 x. 由 y t 4 x， x 2 4y 且 x0 得 xt， y 2t2 4 ， 即点 H t， 2t2 4 ， 所以 |OH | |ON| xH
14、 xN t t ，所以 |MN | |MP | |OH | |ON|， 即|MN | |ON|MP| |OH|. 2(理) (2018 长沙模拟 )如图， P 是直线 x 4 上一动点，以P 为圆心的圆过定点 B(1,0)，直 线 l 是圆 在点 B 处的切线，过A(1,0)作圆 的两条切线分别与l 交于 E，F 两点 (1)求证： |EA| |EB|为定值； (2)设直线 l 交直线 x4 于点 Q， 证明： |EB| |FQ|FB | |EQ|. 证明： (1)设 AE 切圆 于点 M，直线 x4 与 x 轴的交点为N，故 |EM |EB|. 从而 |EA|EB|AM|AP|2|PM|2|
15、AP|2|PB|2|AN| 2|BN|2 2594. 所以 |EA|EB|为定值 4. (2)证明：由 (1)同理可知 |FA| |FB|4， 故 E，F 均在椭圆 x 2 4 y 2 3 1 上 设直线 EF 的方程为xmy1(m0) 令 x4，得 y 3 m ，即 Q 点纵坐标yQ 3 m. 由 xmy1， x 2 4 y 2 3 1 消去 x，得 (3m24)y26my 90. 设 E(x1，y1)，F(x2，y2)， 则有 y1y2 6m 3m 24，y1y2 9 3m 24. 因为 E，B，F，Q 在同一条直线上， 所以 |EB| |FQ| |FB| |EQ|等价于 (yBy1)(y
16、Q y2)(y2yB)(yQy1)， 即 y1 3 my 1y2y2 3 my 1y2， 等价于 2y1y2(y1y2) 3 m. 将 y1y2 6m 3m 24，y1y2 9 3m 24代入，知上式成立 所以 |EB| |FQ| |FB| |EQ|. (文)(2018 长沙模拟 )已知过 A(0,2)的动圆恒与x 轴相切，设切点为B，AC 是该圆的直 径 (1)求 C 点轨迹 E 的方程； (2)当 AC 不在 y 轴上时， 设直线 AC 与曲线 E 交于另一点P，该曲线在P 处的切线与直 线 BC 交于 Q 点求证：PQC 恒为直角三角形 解： (1)设 C 点坐标为 (x，y)，则 B
17、点坐标为 x 2，0 . 因为 AC 是直径，所以BABC，或 C，B 均在坐标原点， 因此 BA BC0，而 BA x 2，2 ， BC x 2，y ， 故有 x 2 4 2y0，即 x28y. 另一方面，设C x0， x 2 0 8 是曲线 x28y 上一点， 则有 |AC|x2 0 x 2 0 8 2 2x 2 0 16 8 ， AC 中点的纵坐标为 2 x 2 0 8 2 x 2 016 16 ， 故以 AC 为直径的圆与x 轴相切 综上可知C 点轨迹 E 的方程为x28y. (2)证明：设直线AC 的方程为ykx2， C(x1，y1)，P(x2，y2)， 由 ykx2， x 28y
18、得 x 28kx160， 则 x1x2 16. 由 y x 2 8 ，对 x 求导知 y x 4， 从而曲线E 在 P 处的切线斜率k2 x2 4 ， 直线 BC 的斜率 k1 x 2 1 8 x1 x1 2 x1 4 ， 于是 k1k2 x1x2 16 16 16 1. 因此 QCPQ， 所以 PQC 恒为直角三角形 3(2018 西安八校联考)设 F1， F2分别为椭圆 C： x 2 a 2 y 2 b 21(ab0)的左、右焦点，若 椭圆上的点T(2，2)到点 F1，F2的距离之和等于4 2. (1)求椭圆 C 的方程； (2)若直线 ykx(k 0)与椭圆 C 交于 E，F 两点， A
19、 为椭圆 C 的左顶点，直线AE，AF 分别与 y 轴交于点M，N.问：以 MN 为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标； 若不经过，请说明理由 解：(1)由椭圆上的点T(2，2)到点 F1，F2的距离之和是4 2，可得 2a4 2，a22. 又 T(2，2)在椭圆上，因此 4 a 2 2 b 21，所以 b2， 所以椭圆C 的方程为 x 2 8 y 2 4 1. (2)因为椭圆C 的左顶点为A， 所以点 A 的坐标为 ( 2 2，0) 因为直线ykx(k0)与椭圆 x 2 8 y 2 4 1 交于 E，F 两点， 设点 E(x0，y0)(不妨设 x00)，则点 F(x0， y0) 由
20、 ykx， x 2 8 y 2 4 1 消去 y，得 x2 8 12k 2， 所以 x0 22 12k 2，则 y0 2 2k 12k 2， 所以直线AE 的方程为y k 112k 2(x2 2) 因为直线AE，AF 分别与 y 轴交于点 M， N， 令 x0，得 y 22k 112k 2，即点 M0， 2 2k 112k 2. 同理可得点N 0， 22k 112k 2. 所以 |MN | 2 2k 112k 2 22k 112k 2 22 12k 2 |k| . 设 MN 的中点为P，则点 P的坐标为P 0， 2 k . 则以 MN 为直径的圆的方程为x2 y 2 k 22 12k 2 |k
21、| 2，即 x2y22 2 k y4. 令 y0，得 x24，即 x2 或 x 2. 故以 MN 为直径的圆经过两定点P1(2,0)， P2(2,0) 4(2018 湖南东部五校联考)已知椭圆E： x 2 a 2 y 2 b 21(ab 0)的右焦点为F(c,0)，且 b c.设短轴的一个端点为D，原点 O 到直线DF 的距离为 3 2 ，过原点和x 轴不重合的直线 与椭圆 E 相交于 C，G 两点，且 |GF |GF |4. (1)求椭圆 E 的方程； (2)是否存在过点P(2,1) 的直线l 与椭圆E 相交于不同的两点A， B 且使得OP 2 4 PA PB 成立？若存在，试求出直线l 的
22、方程；若不存在，请说明理由 解： (1)由椭圆的对称性知|GF |GF |2a4， a2.又原点 O 到直线 DF 的距离为 3 2 ， bc a 3 2 ， bc3. 又 a2b2c24，bc， b3，c1. 故椭圆 E 的方程为 x 2 4 y 2 3 1. (2)当直线 l 与 x 轴垂直时不满足条件 故可设 A(x1，y1)， B(x2，y2)，直线 l 的方程为 yk(x2)1，代入椭圆方程得(34k 2)x2 8k(2k1)x16k216k80， x1x2 8k 2k1 34k 2，x1x2 16k 216k8 34k 2， 32(6k3)0， k 1 2. OP 24 PA PB ， 即 4(x12)(x22)(y11)(y21)5， 4(x12)(x2 2)(1k2)5， 即 4x1x22(x1x2) 4(1k2)5， 4 16k 216k8 34k 22 8k 2k1 34k 24 (1 k 2) 4 44k 2 34k 25，解得 k 1 2， 又 k 1 2不符合题意，舍去 存在满足条件的直线l，其方程为y 1 2x.