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1、导数证明不等式的问题 一、教学目标 1.知识与技能：掌握利用导数证明不等式的基本方法，以及会灵活处理几种“困境”. 2.过程与方法：利用几个不等式的具体证明，巩固导数证明不等式的基本方法；同时结合几 个辅助函数及其导函数的结构特点，能用不同的方法解决不同的情况. 3.情感态度与价值观：理解从外在结构入手，分析内在特点的过程，激发学生对数学的探究 潜能 . 二、 教学过程 师：大家好，本节课我们一起来学习导数的不等式证明问题. 导数常作为高考的压轴 题，对考生的能力要求非常高，它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技能，还要求考生 具有较强的分析能力. 用导数证明不等式问题是各地高考常见题型之一.
2、本节课，我们一起 结合以下几个例题来研究导数证明形如：的问题 . 1.作差构造辅助函数 ( )( )( )( )g xf xg xf x“”或“” 2.设而不求 ( )( ) (1)( )( )( ); (2)( )( ) (3)( ) (4). f xg x h xf xg x h xh x h x ， ”的基本步骤是： 作差构造辅助函数 利用辅助函数的导函数判断的单调性； 由单调性求出的最值； 解后归纳：利用导数证明 得出结论 “ 解后归纳： 在利用导数证明不等式问题时，如果构造的辅助函数的导函数 零点无法求出，但可根据其导函数单调且零点唯一存在的情况下， 一般可采取设而不求的思想求出辅助
3、函数最值的范围，从而解决问题. 3.等价变形 4.函数放缩 含有复杂的整式或分式结构，得到的导函数 解后归纳： 在利用导数证明不等式问题中，如果构造的辅助函数 较复杂的时候， 可利用不等式性质，先将不等式进行等价变形，简化问题. 2 22 2222 1 (1),1. 1+ ( )1,( )1. 0,1( )0,( )0,1( )(0)=0. 11 ( ),0,1.1( )0,1. 11+ xx xx x eex x h xexhxe xhxh xhxh f xxxf xx xx ， ， 另外要证即证明 记则 当时，在单调递增， 综上， ( )( )( )( ) ( )( )( ),( )( )
4、. ln ,ln ln , xx x f xg xf xg x f xh xg xf xg x x exe x e 从而证明 或者 解后归纳： 在利用 与相乘相 导数证明时，如果 除结构时 构造的辅助函数较复杂， 还可以利用 一般，如果函数中含有， 必要时可利用切线进行放缩，将问的题转化 . 2 2323 23 232323 21(1)(212 (2)1( )ln( )1. 32 ( )( )( )=ln. 1ln101,2ln1. 312312312 ( )ln1(1)1( ) xxx af xxxfx xxxxx g xf xfxxx xxx yxyxxxx g xxxxxh x xxxx
5、xxxxx )2 当时， 1 记1 是在（ ，）处的切线，当时，有 = 2 2344 2 min h ( ) 3 -326( )min(1), (2)(2). 2 33 ( )( )=( ). 22 3 ( )( )1,2 2 xx x xxxx xxh xhhh g xh xg x f xfxx 326326 ， 在1,2上取值先负后正， , 又两个 “ ”成立的条件不同， 综上，对于任意的成立 . 三、课时总结 ( )( )f xg x利用导数证明形如 “的不等式的基本方法是： 作差构造辅助函数，利用导数求其单调性或最值从而证明. 若辅助函数较复杂，具体函数具体分析，主要思路有： （1）设而不求 （2）等价变形 （ ” 3）函数放缩