应用题练习---图形问题.pdf

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1、1 / 17 N M P Q B A 8km akm 应用题练习 图形问题 1如图，将矩形纸片的右下角折起，使得该角的顶点落在矩形的左边上，那么l 的长度取决于角 的大小探求l， 之间的关系式，并导出用 表示 l 的函数关系式 答案： l6(sin sin cos2 ) 1， 0 2，想一想怎样求出它的最值 ? 无锡市 2009 2010 质量调研 12如图，两座相距60m 的建筑物AB、CD 的高度分别为20m、50m，BD 为水平面，则从建筑物AB 的顶端 A 看建筑物 CD 的张角 CAD 的大小 是 【解】由图知直角三角形ABD 中，AB20m，BD60m，则 AD 20 10m， 同

2、理易得AC305m， 在ACD 中，cosA 2 2 得 A 4 2011 届高考仿真押题卷 江苏卷（ 5） 17如图，在一条笔直的高速公路MN 的同旁有两个城镇A，B， 它们与 MN 的距离分别是akm 与 8km(a 8)， A，B 在MN上的射 影 P，Q 之间距离为12km，现计划修普通公路把这两个城镇与高速公路相连接，若普通公路造价 为 50 万元 /km；而每个与高速公路连接的立交出入口修建费用为200 万元设计部门提交了以下三 种修路方案： 方案：两城镇各修一条普通公路到高速公路，并各修一个立交出入口； 方案： 两城镇各修一条普通公路到高速公路上某一点K，并在 K 点修一 个公共

3、立交出入口； 方案：从A 修一条普通公路到B，再从 B 修一条普通公路到高速公路， 也只修一个立交出入口 请你为这两个城镇选择一个省钱的修路方案 【解】方案：共修(8a)km 普通公路和两个立交出入口，所需资金为A1 50(8a)40050(a16)万元； 方案：取B 关于 MN 的对称点B，连 AB与 MN 交于 K，在 K 修一个出入口，则路程最短，共需 资金： 222 2 50 (8)1220050(8)1444Aaa万元； 方案：连接AB 沿 ABQ 修路，在Q 修一个出入口，共需资金： 222 3 50(8)12820050(8)14412Aaa万元，由于a8，比较大小有A1 A2A

4、3，故选择方案 1010 福建理 某港口 O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上在小艇出发时， 轮船位于港口O 北偏西 30 且与该港口相距20 海里的 A 处，并以30 海里 /小时的航行速度沿正东 方向匀速行驶 假设该小船沿直线方向以v 海里 /小时的航行速度匀速行驶，经过 t 小时与轮船相遇 若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？ 假设小艇的最高航行速度只能达到30 海里 /小时，试设计航行方案(即确定航行方向与航行 速度的大小 )，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由 6cm l 2 / 17 【解一】设相遇时小艇的航行距离为S海里，则 21

5、900()300 3 St，故 t1 3时， Smin 10 3，v303，即小艇以303海里 / 小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小 【解二】若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北方 向设小艇与轮船在C 处相遇 在 Rt OAC 中，OC10 3，AC10又 AC 30t，OCvt，此时， 轮船航行时间t 1 3，即小艇以 30 3海里 /小时的速度行驶，相遇时小艇的航行距离最小 由得， OC10 3，AC10，故 OCAC，且对于线段AC 上任意点P，有 OPOCAC， 而小艇的最高航行速度只能达到30 海里 /小时，故轮船与小艇不可能在A、C(包

6、含 C)的任意位置相 遇，设 COD (0 2)，则在 RtCOD 中， CD10 3tan ，OD103 1 cos ，由于从出发到相 遇，轮船与小艇所需要的时间分别为t 1 3(1 3tan )和 10 3 cos t v ，故1 3(1 3tan ) 10 3 cosv ，解 得， 15 3 sin( +30 ) v，又 v30，故 sin( 6) 3 2 ，从而 6 2，由于 6时，tan 取得最小值， 且最小值为 3 3 ，于是当 6时， t 1 3(1 3tan )取得最小值，且最小值为 2 3此时，在 OAB 中， OAOBAB20，故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东 6，航

7、行速度为 30 海里 /小时，小 艇能以最短时间与轮船相遇 镇江市 2011 年高三期末201101 17如图，我市市区有过市中心O 南北走向的解放路，为了解决南徐新城的交通问题，市政府决 定修建两条公路：延伸从市中心O 出发北偏西60 方向的健康路至B 点；在市中心正南方向解放路 上选取 A 点，在 A、B 间修建南徐新路 如果在A 点处看市中心O 和 B 点视角的正弦值为 3 5，求在 B 点处看市中心 O 和 A 点视角 的余弦值； 如果 AOB 区域作为保护区， 已知保护区的面积为 15 4 3km 2，A 点距市中心的距离为 3 km， 求南徐新路的长度； 如果设计要求市中心O 到南

8、徐新路AB 段的距离为4 km，且南徐新路AB 最短，请你确定 A、B 两点的位置 【解】由题得AOB 2 3 ，BAO 为锐角， sinBAO 3 5? cos BAO 4 5，cosOBAcos( 3 BAO) 1 2 4 5 3 2 3 5 433 10 OA3，S1 2OB OAsinAOB 1 2OB 3 sin 2 3 15 4 3，解得 OB 5由余弦定理得，AB2OA 2OB22OA OBcos2 3 92515 49，故 AB7(km) 因 1 2AB 4 1 2OA OB sin AOB，故 OA OB 8 3 3 AB，AB 2OA2OB22OA OBcos2 3 OA

9、2 OB 2 OA OB2 OA OBOA OB3OA OB 38 3 3 AB，故 AB 283AB，故 AB83(等号成立 OA 3 / 17 OB8) 答：当 AB 最短时， A、B 距离市中心O 为 8 公里 1某个公园有个池塘，其形状为直角 ABC， C 90 ，AB2 百米， BC1 百米 现在准备养一批供游客观赏的鱼，分别在AB、BC、CA 上取点 D，E，F，如图，使得 EFAB， EFED，在 DEF 喂食，求 DEF 面积 SDEF的最大值； 现在准备新建造一个荷塘，分别在AB，BC，CA 上取点D，E，F，如图 (2)，建造 DEF 连廊 (不考虑宽度 )供游客休憩，且使

10、 DEF 为正三角形，设求 DEF 边长的最小值 【解】设EFx，则 CE x 2，故 BE1 x 2，故 DE 3 2 (1 x 2)，S DEF 1 2BEDE 3 4 x(1 x 2)，其 中 x (0， 2)， 由于 3 4 x(1 x 2) 3 2 1 2( x 2 1 x 2) 1 8 3， 当且仅当 x1 时取等号，故 SDEF的最大值为 1 8 3百 平方米； 如图 2，因 ABC 为直角三角形，AB2，BC 1，故 A30 ，设 FEC ， (0， 2)， EFC 90 ，AFD 180 60 (90 )30 ，故 ADF 180 30 (30 )120 设 CFx，则 AF

11、3x，在 ADF 中， 3 sin30sin(120) DFx x ，由于 xEFsin DFsin ，故 3sin sin30sin(120) DFDF x ，则 3s in2 1 7 2s in3co s DF DF ，故DEF 边长最小值为 21 7 百米 1如图所示，某市政府决定在以政府大楼O 为中心，正北方向和正东方向的马路为边界的扇形地 域内建造一个图书馆为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，设计要求该图书馆底 面矩形的四个顶点都要在边界上，图书馆的正面要朝市政府大楼设扇形的半径OMR ， MOP 4，OB 与 OM 之间的夹角为 将图书馆底面矩形ABCD 的面积 S表示成

12、的函数 求当 为何值时，矩形ABCD 的面积 S有最大值 ?其最大值是多少?( 用含 R 的式子表示 ) 【解】 由题意知，点 M 为圆弧 PQ 的中点，故 OMAD 设 OM 于 BC 的交点为F，则 BC 2Rsin ，OFRcos AB OF 1 2ADRcos Rcos 故 SABBC2Rsin (Rcos Rcos ) 2R 2 sin(2 4)R 2， (0， 4)； 因 (0， 4)，则 2 4( 4 ，3 4 )故当 2 4 2，即 8时， S有最大值， S max( 21)R2故当 8时，矩形 ABCD 的面积 S有最大值 (21)R 2 2010 2011 第一学期常州市期

13、中( 201011) A B C D M O P Q F 4 / 17 17如图，在半径为3、圆心角为 3的扇形的弧上任取 一点 P，作扇 形的内接矩形PNMQ ，使点 Q 在 OA 上，点 N，M 在 OB 上，设矩形PNMQ 的面积为y 按下列要求写出函数的关系式： PNx，将 y 表示成 x 的函数关系式； 设 POB ，将 y 表 示成 的函数关系式； 请你选用中的一个函数关系式，求出y 的最大值 【解】因 ON 2 3x，OM 3 3 x，故 MN 2 3x 3 3 x， 故 yx( 2 3x 3 3 x)， x(0， 3 2)， 因 PN 3sin ， ON3cos ，OM 3 3

14、 3sin sin ，故 MNONOM3cos sin ，故 y3sin (3cos sin )，即 y3sin cos 3sin 2 ， (0， 3 )； 选择 y3sin cos 3sin 2 3sin(2 6) 3 2 ，因 (0， 3)，故 2 6( 6， 5 6 )，故 ymax 3 2 南通市 2011 届高三第一次调研2011 1 17如图，某市准备在道路EF 的一侧修建一条运动比赛道，赛道的前一部分为曲线段FBC，该曲 线段是函数yAsin(x 2 3 )(A0， 0)，x4，0时的图象， 且图象的最高点为B(1，2)赛 道的中间部分为长 3千米的直线跑道CD，且 CD/ EF

15、赛道的后一部分是以O 为圆心的一段圆弧 ? DE 求 的值和 DOE 的大小； 若要在圆弧赛道所对应的扇形ODE 区域内建一个“矩形草 坪”，矩形的一边在道路EF 上，一个顶点在半径OD 上，另外一 个顶点 P 在圆弧 ? DE上，且 POE ，求当“矩形草坪”的面积取 最大值时 的值 【解】由条件得，A2， T 43故 6故曲线段 FBC 的解析式为y2sin( 6x 2 3 )当 x 0 时， yOC3又 CD3，故 COD 4，即 DOE 4； 由知， OD6又易知当“矩形草坪”的面积最大时，点P 在弧 DE 上，故 OP6设 POE ，0 4，“矩形草坪”的面积为 S 6sin (6c

16、os 6sin ) 3 2sin(2 4) 3因 P O A B Q M N 5 / 17 0 4，故 2 4 2，即 8时， S取得最大值 2为了保护环境，实现城市绿化，某房地产公司要在拆迁地长方形ABCD 上规划出一块长方形地 面建造公园，公园一边落在CD 上，但不得越过文物保护区AEF 的 EF问如何设计才能使公园 占地面积最大，并求这最大面积(其中 AB200m，BC 160m，AE60m，AF 40m) 【解】设 CGx，矩形 CGPH 面积为 y，如图， 140 4060 ENx ， EN 1 3(2x280)，故 HC160 1 3(2x280) 1 3(7602x)，故 y 1

17、 3x (7602x) 1 6(7602x)2x 1 3(72200)， 当 7602x2x， 即 x190(m)， 即 CG 长为 190m 时，最大面积为 1 3(72200)(m 2) 3淮安、宿迁市2014 届高三 11 月诊断 如图，海上有A，B 两个小岛相距10km，船 O 将保持观 望 A 岛和 B 岛所成的视角为 3，现从船 O 上派下一只小艇沿BO 方向驶至C 处进行作业，且OC BO设 ACxkm 用 x 分别表示OA 2OB2 和 OAOB，并求出x 的取值范围； 晚上小艇在C 处发出一道强烈的光线照射A 岛， B 岛至光线CA 的距离为BD，求 BD 的 最大值 【解】

18、在 OAC 中， AOC2 3 ，ACx， 由余弦定理得， OA 2OC22OAOCcos2 3 x2， 又 OCBO，故 OA2OB22OAOB cos 2 3 x2 ，在 OAB 中， AB10， AOB 3，由余弦 定理得，OA2OB22OA OB cos 3100 ， 得，OA 2OB21 2(x 2100)， 得，4OA OB cos 3x 2100，即 OAOB1 2(x 2100)，又 OA2OB22OAOB，故1 2(x 2100)21 2(x 2100)， 即 x2300，又 OAOB1 2(x 2100)0，即 x2100，故 10x10 3； 易知 SOABSOAC，故

19、SABC2SOAB21 2OAOBsin 3 3 4 (x 2100)，又 S ABC 1 2ACBD， 设 BD f(x)，故 f(x) 1 2x(x 2100) 3，x(10，103，又 f(x) 3 2 (1100 1 x 2)，则 f(x)在(10，10 3 上是增函数，故f(x)的最大值为f(10 3)10，即 BD 的最大值为10 例 3如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC 的半圆形空地，ABC 外的地方种草，ABC 的 内接正方形PQRS 为一水池，其余的地方种花若BCa， ABC ，设 ABC 的面积为S1，正 方形的面积为S2 用 a， 表示 S1和 S2； (第 18 题

20、图 ) 60 O D B C A 6 / 17 当 a 固定， 变化时，求 S1 S2取最小值时的角 【解】因ACasin ，ABacos ，故 S1 1 4a 2sin2 ，设正方形边长为 x则 BQx 1 tan ，RC xtan ，故 xxtan x 1 tan a， sin2 cottan12sin 2 aa x ，故 22 2 2 2 sin 2sin 2 () 2sin 24sin 24sin 2 aa S ； 当 a 固定， 变化时， S1 S2 1 4(4sin2 2 1 sin cos )，令 tsin2 ，则 S1 S2 1 4(4t 4 t )，因 0 2，故 0 t1，

21、令 f(t)t 4 t ，易知 f(t)t 4 t 在(0，1上是减函数故t1 时， S1 S2取最小值，此 时 4 常州市 2013 届高三教学期末调研 17第八届中国花博会将于2013 年 9 月在常州举办， 展览园指挥中心所用地块的形状是大小一定 的矩形 ABCD，BCa，CDba，b 为常数且满足ba组委会决定从该矩形地块中划出一个直 角三角形地块AEF 建游客休息区(点 E，F 分别在线段AB，AD 上)，且该直角三角形AEF 的周长为 l(l2b)，如图设AEx， AEF 的面积为S 求 S关于 x 的函数关系式； 试确定点E 的位置，使得直角三角形地 块 AEF 的面积 S最大，

22、并求出S的最大值 【解】设AFy，则 xyx2y2l，整 理得，y1 2(l 22lx)(lx)1S1 2xy 1 4x(l 22lx)(l x) 1 ，x(0，b S 1 2l(x l) 2x(12 2 )l x(1 2 2 )l，x(0，b，当 b(1 2 2 )l 时， S 0，S在(0， b递增，故当xb 时， Smax 1 4bl(2bl)(bl) 1；当 b(12 2 )l 时，在 x (0，l 2 2 l)上 S 0， S递增，在x(l 2 2 l，b)上， S0，S递减，故当x(1 2 2 )l 时， Smax 1 4(32 2)l 2 2如图，一条直角走廊宽15m，现有一平板

23、车，平板车面为一长22m，宽为1m 的矩形，试 问平板车能否通过直角走廊？并说明理由 【解】CD 1 2 1 sin cos 3(sin cos )2， 0 2，令 tsin cos (1，2，则 f(t)(3t2)(t 21)1，1t 2，f(t) (3t 24t 3) (t 21)20，故 f(x) minf( 2)3 22 22，故平板车可通过 直角走廊 F E b a B D C A 7 / 17 17、如图，海岸线MAN，现用拦网BC 围成一养殖场，其中B MA，CNA 若 A 2 3 ，BCl(l 为定值 )，求养殖场ABC 面积的最大值； 为扩大养殖， 在折线 MBCN 内选一点

24、D，再增加两道拦网BD，CD，使 BDCD 3(单位： 千米 )，且 BC3，已知拦网的安全程度与拦网长度的平方成反比(比例系数为k，k 为正常数 )，且 D 处的安全程度为拦网BD 与 CD 的安全程度之和， 问：拦网 BD 的长度为多少时， D 点最不安全 (安 全程度最小 )？ 【解】设ABx，ACy，x0， y0，l2x2y2 2xycosAx 2y2xy；l23xy，故 S1 2xysin 2 3 1 12 3l 2， 故当 xy 3 3 l 时，养殖场面积的最大值为 1 12 3l 2； 设 D 处的安全程度为y，BD 长为 x，则 CD 长为 3 x ； 由 题 意 有 ： 22

25、 (3) kk y xx (0 x 3) ， 33 22 0 (3) kk y xx ，解得， x3 2，当 0x 3 2时， y 0；当 3 2x3时， y 0，故 x 3 2时 y取 得极小值，也是最小值 【答】养殖场面积的最大值为 1 12 3l 2；拦网 BD 长为 3 2千米时， D 点最不安全 苏、锡、常、镇2010 届高三调研 ( 一) 18如图， ABCD 是正方形空地，边长为30m，电源在点P 处，点 P 到边 AD，AB 距离分别为9m， 3m 某广告公司计划在此空地上竖一块长方形液晶广告 屏幕 MNEF ，MN： NE16：9线段 MN 必须过点P， 端点 M，N 分别在

26、边AD，AB 上，设 ANx(m)，液晶广 告屏幕 MNEF 的面积为S(m 2) 用 x 的代数式表示AM； 求 S关于 x 的函数关系式及该函数的定义域； 当 x 取何值时，液晶广告屏幕MNEF 的面积 S最小？ 【解】 AM3x(x9) 1，10 x30 MN 2AN2AM2x23x(x9)12因 MN：NE16：9，故 NE9 16MN故 SMNNE 9 16 MN 29 16x 23x(x9)12定义域为 10，30 S 9 8x(x9) 381(x9)3，令 S 0 得， x0(舍)，x93 3 3当 10x93 3 3时， S 0，S关于 x 为减函数；当9 3 3 3x30 时

27、， S 0，S关于 x 为增函数；故当x93 3 3时， S取得最小值 【答】当 AN 长为 93 3 3m 时，液晶广告屏幕MNEF 的面积 S最小 N M P F E DC BA （第 18 题图） 8 / 17 B A1 A2 C O A3 2009-2010 海安中学第二次学情分析 17 如图： 在一个汶川灾后建设现场工地上有一个吊臂长DF 24m 的吊车，吊车底座 FG 高 1 5m 现 准备把一个底半径为3m 高 2m 的圆柱形工件吊起平放到15m 高的桥墩上 (当物件与吊臂接触后， 钢索 CD 长可通过顶点D 处的滑轮自动调节并保持物件始终与吊臂接触，且与工件的中心在一条垂 直线

28、上 ) 记工件能被吊起的最大高度为y(m)，请你选取适当的变量并将其表示成函数； 判断工件能否安全被吊到桥墩上(参考数据： 31732) 【解】 吊车能把工件吊起的最大高度y 取决于吊臂的张角AFD ，由图知， y AB15ADBCCD 15DF sin 2 CEtan 1524sin 3tan 05； y 3(8cos 3 1)(1 cos ) 2，由 y 0 得，cos 1 2，sin 3 2 时，即 3，当 (0， 3)时， y 0，当 ( 3， 2)时，y 0，故当 3时， y 有最大值， y9 30515，故吊车能把圆柱形工件吊起平放 到 15m 高的桥墩上 2012 届南通市学科基

29、地密卷(一) 无锡市 2011 年高考模拟 (三) 18如图所示：一吊灯的下圆环直径为4m，圆心为O，通过细绳悬挂在天花板上，圆环呈水平状 态，并且与天花板的距离(即 OB)为 2m，在圆环上设置三个等分点A1，A2，A3点 C 为OB上 一点 (不包含端点O、B)，同时点 C 与点 A1，A2，A3，B 均用细绳相连接，且细绳CA1， CA2， CA3的长度相等设细绳的总长为 y 设 CA1O (rad)，将 y 表示成 的函数关系式； 请你设计 ，当角正弦值的大小是多少时，细绳总长y 最小，并指明此时BC 应为多长 【解】在Rt COA1中， CA12 1 cos ，CO2tan ，y3C

30、A1 CB22( 3sin cos )，0 4； y 2(3sin 1)cos 2 ，令 y 0，则 sin 1 3，当 sin 1 3时， y 0；sin 1 3时， y 0，因 ysin 在0， 4上是增函数，故当角 满足 sin 1 3时， y 最小，最小 为 242；此时 BC2 2 2 m 盐城中学 2013 届高三第五次学情调研201301 06 2 启东中学2013 届高三综合训练 如图， AB 是沿太湖南北方向道路，P 为太湖中观光岛屿，Q 为停车场， PQ52km某旅游团游览完岛屿后，乘游船回 停车场 Q， 已知游船以13km/h 的速度沿方位角 的方向行驶， sin 5 1

31、3游船离开观光岛屿 3 分钟后， 因事耽搁没有来得及 登上游船的游客甲为了及时赶到停车地点Q 与旅游团会合， 立即决定租用小船先到达湖滨大道M 处，然后乘出租汽车到 点 Q(设游客甲到达湖滨大道后能立即乘到出租车) 假设游客 C D B A E F G H 9 / 17 甲乘小船行驶的方位角是 ，出租汽车的速度为66km/h 设 sin 4 5，问小船的速度为多少 km/h 时，游客甲才能和游船同时到达点Q； 设小船速度为10km/h，请你替该游客设计小船行驶的方位角 ，当角 余弦值的大小是多 少时，游客甲能按计划以最短时间到达Q 【解】如图，作 PNAB，N 为垂足 sin 5 13，sin

32、 4 5，在 Rt PNQ中，PNPQsin 2(km)， QNPQcos 48(km)在 RtPNM 中， MNPN 1 tan 15(km)，设游船从P 到 Q 所用时间为 t1h，游客甲从P 经 M 到 Q 所用时间为t2h，小船的速度为v1km/h，则 t1 1 13PQ 2 5(h)，t2 1 PM v 1 5 662 MQ v 1 20(h)，由已知得： t2 1 20t1， 1 5 2v 1 20 1 20 2 5，故 v1 25 3 ，故小船的速度为 25 3 km/h 时，游客甲才能和游船同时到达Q 在 RtPMN中， PM 2 sinsin PN aa (km) ， 2co

33、s tansin PN MN a aa (km)故 QMQNMN48 2cos sin (km)，故 1066 PMQM t 1335cos4 165sin55 a a ，因 2 533cos 165sin t a a ，令 t 0 得： cos 5/ 33当 cos 5/ 33 时， t0；当 cos 5/ 33 时， t0因 cos在(0， 2)上是减函数，故当方位 角 满足 cos 5/ 33 时， t 最小，即游客甲能按计划以最短时间到达Q 变式： 常州中学2011 届高三第二学期调研 17某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点 A、B 及 CD 的中点 P 处，已知 AB20k

34、m，BC 10km，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上 (含边界 )，且 A、B 与等距离的一 点 O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO、BO、OP，设排污管道的总长为ykm 按下列要求写出函数关系式： 设 BAO (rad)，将 y 表示成 的函数关系式； 设 OPx(km) ，将 y 表示成 x 的函数关系式； 请你选用中的一个函数关系式，确定污水处理厂的 位置，使三条排污管道总长度最短 【解】 由条件知， PQ 垂直平分 AB， 若 BAO (rad)， 则 10 coscos AQ OA， 故 10 cos OB， 又 OP 10 10tan ，故y OA O

35、B OP 1010 coscos 10 10tan ，所求函数关系式为 2010sin 10(0) cos4 y 若 OPx(km) ，则 OQ10 x，故 OA OB 2 20200xx，故所求函数关系式为yx 2 2 20200xx，0x 10； B C D A O P 10 / 17 选择函数模型 2 10(2sin1) cos y，令 y0 得， sin 1 2，因 0 4，故 6，当 (0， 6)时， y 0，y 是 的减函数；当 ( 6， 4)时， y 0，y 是 的增函数，故当 6时， ymin10 10 3这时点P 位于线段AB 的中垂线上，在矩形区域内且距离AB 边 10 3

36、 3km 处 考点 1：导数求解类模型 考点 6：含字母分类讨论 镇江市 2011 届高三统考2010 年 12 月 某园林公司计划在一块O 为圆心， R(R 为常数 )为半径的半圆形(如图 )地上种植花草树木，其中弓形 CMD 区域用于观赏样板地，CDO 区域用于种植花木出售，其余区域用于种植草皮出售已知观 赏样板地的成本是每平方米2 元，花木的利润是每平方米8 元，草皮的利润是每平方米3 元 设 COD ， ? CMDl，分别用 ，l 表示弓形CMDC 的面积 S 弓f( )，S弓 g(l)； 园林公司应该怎样规划这块土地，才能使总利润最大? 【解】 S扇1 2R 2 ，S OCD 1 2

37、R 2sin ，S 弓f( ) 1 2R 2 ( sin )又 S 扇 1 2Rl，S OCD 1 2R 2sinl R，S 弓g(l) 1 2R(lRsin l R) 设总利润为y 元，草皮利润为y1元，花木地利润为y2，观赏样板地成本为y3，y13 2( R 2lR)， y2 4R 2sin ，y 3R(lRsin )，故 yy1y2y3 1 2R 2 3 (5 10sin )，设 g( ) 5 10sin ， (0， )，g ( )510cos ，g( )0，cos 1 2，g( )在(0， 3)上为减函数； g( )0，cos 1 2，g( ) 在( 3， )上为增函数当 3时， g(

38、 )取到最小值，此时总利润最大故当园林公司把扇形的圆心 角设计成 3时，总利润最大 考点二：基本不等式类模型 4、09苏、锡、常、镇四市调研 如图，一个铝合金窗分为上、 下两栏， 四周框架和中间隔栏的材料为铝合金，宽均为 6cm，上栏 和下栏的框内高度(不含铝合金部分)的比为 1：2，此铝合金窗占用 的墙面面积为28800cm2， 设该铝合金窗的宽和高分别为acm， bcm， 铝合金的透光部分的面积为Scm2 试用a，b 表示 S； 若要使S最大，则铝合金窗的宽和高分别为多少？ 【解】 S(a16)(b18)； a160，b180 709 扬州中学2 月月考 某建筑的金属支架如图所示，根据要求

39、 AB 至少长 28m，C 为 AB 的中点， B 到 D 的距离比 CD 的长小 05m， B A C D 地面 b a 6 观赏样板地 草皮地草皮地 M O D C B A 花木地 11 / 17 BCD60 ，已知建筑支架的材料每米的价格一定，问怎样设计AB，CD 的长，可使建造这个支 架的成本最低？ 【解】设 BCam(a 14)，CDbm，连结 BD则在 BCD 中， (b 1 2) 2b2a22abcos 3，故 b 1 a1 (a 21 4)，故 b2a 2a 1 a1(a 21 4)，设 t a1，t04，则 b2a 1 t (t1) 1 42(t 1)3t 3 4t 47，等

40、号成立时t 0504，a15， b4 【答】当 AB3m， CD4m 时，建造这个支架的成本最低 例 2：苏锡常镇四市2012 届高三教学调研测试（二）2012 5 17如图，已知矩形油画的长为a，宽为 b在该矩形油画的四边镶金箔，四个角（图中斜线区域） 装饰矩形木雕，制成一幅矩形壁画设壁画的左右两边金箔的宽为x，上下两边金箔的宽为y，壁 画的总面积为S 用 x，y，a， b 表示 S； 若 S为定值，为节约金箔用量，应使四个矩形木雕的总面积最大求四个矩形木雕总面积 的最大值及对应的x， y 的值 【解】由题意可得S2bx2ay4xyab，其中 x0，y0 依题意，要求四个矩形木雕总面积的最大

41、值即求4xy 的最大值因 a， b， x， y 均大于 0， 故 2bx2ay222bx ay， 从而S4abxy4xy ab，当且仅当bxay 时等号成 立令 txy，则 t0，上述不等式可化为4t24 ab?tab S0，解得， 22 SabSab t因 t0， 故 0t 2 Sab ，从而 xy 2 4 abSabS 由 bx ay， S2bx 2ay 4xy ab 得， 2 abSab x b ， 2 abSab y a 故当 2 abSab x b ， 2 abSab y a 时，四个矩形木雕的总面积最大，最大值为abS2abS 扬州市 2010 届高三上学期期末 1某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边成角为 3(如图 )，考虑到防洪堤坚固 性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为9 3平方米，且高度不低于3米记防洪堤横断 面的腰长为x(米 )，外周长 (梯形的上底线段 BC 与两腰长的和 )为 y(米) 求 y 关于 x 的函数关系式，并指出其定义域； 要使防洪堤横断面的外周长不超过105 米，则其腰长x 应在什么范围内？