指数式、对数式的运算.pdf

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1、指数式、对数式的运算 一、基础知识 1.指数与指数运算 (1)根式的性质 ( n a) na(a使n a有意义 ) 当 n 是奇数时， n a na； 当 n 是偶数时， n a n|a| a，a0， a，a0，m，nN*，且 n1) a m n 1 a m n 1 n a m (a0，m， nN *， 且 n1) 0 的正分数指数幂等于0,0 的负分数指数幂没有意义 (3)有理数指数幂的运算性质 ar asar s(a0，r，sQ)； a r a sa rs(a0，r，sQ)； (ar)sars(a0，r，s Q)； (ab)rarbr(a0，b0，rQ) (1)有理数指数幂的运算性质中，要

2、求指数的底数都大于0，否则不能用性质来运算 (2)有理数指数幂的运算性质也适用于无理数指数幂 2对数的概念及运算性质 一般地，如果a(a0，且 a1)的 b 次幂等于N，就是 ab N，那么，数b 就叫做以a 为底 N 的对数，记作：logaNb. 指数、对数之间的关系 (1)对数的性质 负数和零没有对数； 1 的对数是 零； 底数的对数等于 1. (2)对数的运算性质 如果 a0，且 a1，M 0，N0，那么 loga(MN)logaMlogaN； logaM N logaMlogaN； loga(N n)nlog aN(nR) 二、常用结论 1换底公式的变形 (1)logab logba1

3、，即 logab 1 logba(a， b均大于 0 且不等于 1)； (2)logamb nn mlog ab(a，b 均大于 0 且不等于1，m0， nR)； (3)logNMlog aM logaN logbM logbN (a，b， N 均大于 0 且不等于1，M 0) 2换底公式的推广 logab logbc logcdlogad(a，b，c 均大于 0 且不等于1，d0) 3对数恒等式 a logaN N(a0 且 a1，N0) 考点一指数幂的化简与求值 典例 化简下列各式： (1) 2 3 5 022 2 1 4 1 2 (0.01) 0.5； (2)5 6a 1 3 b 2 3

4、a 1 2 b 1 (4a 2 3 b 3 ) 1 2 . 解(1)原式 11 4 4 9 1 2 1 100 1 2 11 4 2 3 1 101 1 6 1 10 16 15. (2)原式 5 2a 1 6 b 3 (4a 2 3 b 3) 1 2 5 4a 1 6 b 3 (a 1 3 b 3 2 ) 5 4a 1 2 b 3 2 5 4 1 ab 3 5 ab 4ab 2. 解题技法 指数幂运算的一般原则 (1)有括号的先算括号里面的，没有括号的先做指数运算 (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数 (3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假

5、分数 (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来 解答 (5)运算结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数 题组训练 1若实数a0，则下列等式成立的是() A(2) 24 B2a 31 2a 3 C(2) 0 1 D(a 1 4 ) 41 a 解析： 选 D对于 A，(2) 21 4，故 A 错误；对于 B，2a 32 a 3，故 B 错误；对于 C， (2) 01，故 C 错误；对于 D，(a 1 4 ) 41 a，故 D 正确 2化简 4a 2 3 b 1 3 2 3a 1 3 b 2 3 的结果为 () A 2a 3b B 8a b

6、 C 6a b D 6ab 解析： 选 C原式 6a 21 33 b 12 33 6ab 16a b . 3计算： 3 2 2 27 8 2 3 (0.002) 1 2 _. 解析： 原式 2 3 2 3 2 3 2 3 1 500 1 2 4 9 4 910 5105. 答案 ：105 考点二对数式的化简与求值 典例 计算下列各式： (1)lg 2lg 5lg 8 lg 50lg 40 ； (2)log23 log38( 3)log34. 解(1)原式 lg 25 8 lg 50 40 lg 5 4 lg 5 4 1. (2)原式 lg 3 lg 2 3lg 2 lg 3 3 log4 3

7、1 2 33 log32 325. 题组训练 1(log29) (log34)() A 1 4 B 1 2 C2 D4 解析： 选 D法一 ：原式 lg 9 lg 2 lg 4 lg 3 2lg 32lg 2 lg 2 lg 3 4. 法二 ：原式 2log23 log24 log23 224. 2计算：lg 1 4lg 25 100 1 2 _. 解析： 原式 lg 1 4 1 25 100 1 2 lg 10 210 210 20. 答案： 20 3(2018 全国卷 )已知函数f(x)log2(x 2a)若 f(3) 1，则 a_. 解析： f(x)log2(x2a)且 f(3)1， 1

8、log2(9a)， 9a2， a 7. 答案： 7 4计算： log54 2 1 log 10 2 (33) 2 3 7 7 log 2 _. 解析： 原式 log52 2 log 10 (3 3 2 ) 2 3 2 log5(1032)log55 1. 答案 ：1 课时跟踪检测 1设 1 xlog 23，则 3 x3x 的值为 () A. 8 3 B.3 2 C.5 2 D.7 3 解析： 选 B由 1 xlog 23，得 3 x2， 3x3x21 2 3 2. 2化简 2a 2 3 b 1 2(6a 1 2 b 1 3 ) 3a 1 6 b 5 6的结果为 () A 4aB4a C11aD

9、4ab 解析： 选 B原式 2 (6) (3)a 211 326 b 115 236 4ab04a. 3(log29)(log32)loga5 4log a 4 5a (a0，且 a1)的值为 ( ) A2 B3 C4 D5 解析： 选 B原式 (2log23)(log32)loga 5 4 4 5a 2 1log aa3. 4设 a0，将 a 2 a 3 a 2 表示成分数指数幂的形式，其结果是() Aa 1 2 Ba 5 6 Ca 7 6 Da 3 2 解析： 选 C a 2 a 3 a 2 a 2 a a 2 3 a 2 a 5 3 a 2 a 5 6 a 5 2- 6 a 7 6 .

10、5如果 2loga(P 2Q) logaPlogaQ(a0，且 a 1)，那么 P Q的值为 ( ) A. 1 4 B4 C1 D4 或 1 解析： 选 B由 2loga(P2Q)logaPlogaQ，得 loga(P2Q)2loga(PQ)由对数运算 性质得 (P2Q) 2PQ，即 P25PQ4Q20，所以 PQ(舍去 )或 P 4Q，解得 P Q 4. 6若 lg 2，lg(2 x1)，lg(2x5)成等差数列，则 x 的值等于 () A1 B0 或 1 8 C.1 8 Dlog23 解析： 选 D由题意知lg2lg(2 x5) 2lg(2x1)，由对数的运算性质得 2(2 x5)(2x

11、1) 2，即 (2x)290,2x3，xlog 23. 7已知函数f(x) log2x，x0， 3 x1，x0， 则 f(f(1)f log3 1 2 的值是 () A2 B3 C4 D5 解析：选 Dlog3 1 20,且 a1)，g(x)logbx(b0,且 b1)，h(x)xc，则 f 1 2 a 1 2 2， g 1 2 logb1 2 log b22，h 1 2 1 2 c2， a 4，b2 2 ， c 1， f(x1)4x14? x1 1，同理， x21 4，x3 1 4.x1x2x3 3 2. 答案： 3 2 13化简下列各式： (1) 27 9 0.50.12 210 27 2

12、 -3 3 037 48； (2) 3 a 7 2 a 3 3 a 3 a1； (3) lg 32 5lg 9 3 5lg 27lg3 lg 81lg 27 . 解： (1)原式 25 9 1 2 1 0.1 2 64 27 2 3 3 37 48 5 3100 9 163 37 48 100. (2)原式 3 a 7 2 a 3 2 3 a 3 2 a 1 2 3 a 7 2 3 a 1 2 a 7 6 a 1 6 a 8 6 a 4 3 . (3)法一： 原式 lg 3 4 5lg 3 9 10lg 3 1 2lg 3 4lg 33lg 3 14 5 9 10 1 2 lg 3 43 lg

13、 3 11 5 . 法二： 原式 lg 39 2 5 27 13 25 3 1 2 lg 81 27 lg 3 11 5 lg 3 11 5 . 第九节指数函数 一、基础知识 1指数函数的概念 函数 yax(a0，且 a1)叫做指数函数，其中指数 x 是自变量，函数的定义域是R，a 是底数 形如 ykax， yax k(kR 且 k0，a0 且 a1)的函数叫做指数型函数，不是指数函 数 2指数函数ya x(a0，且 a1)的图象与性质 底数a100 时，恒有y1； 当 x0 时，恒有01 在定义域R 上为增函数在定义域R 上为减函数 注意 指数函数y=ax(a0,且 a1）的图象和性质与 a

14、 的取值有关，应分a1 与 00，且 a1)的图象关于 y 轴对称 (3)底数 a 与 1 的大小关系决定了指数函数图象的“升降”：当a1 时，指数函数的图 象“上升”；当00 的解 集为 _ 解析 f(x)为偶函数， 当 x0 时， x0，则 f(x)f(x)2 x4. f(x) 2 x4， x 0， 2 x 4，x0， 当 f(x2)0 时，有 x20， 2 x240 或 x20， 2 x240， 解得 x4 或 x0. 不等式的解集为x|x4 或 x4 或 xa g(x)，当 a1 时，等价于 f(x)g(x)；当 00， g 2 a 3a4 a 1， 解得 a1，即当 f(x)有最大值

15、3 时， a 的值等于1. 解题技法 与指数函数有关的复合函数的单调性 形如函数 yaf(x)的单调性，它的单调区间与f(x)的单调区间有关： (1)若 a1，函数 f(x)的单调增 (减 )区间即函数ya f(x)的单调增 (减)区间； (2)若 01， 所以 b1 且 a2)在区间 (0， )上具有不同的单调性，则M(a1)0.2与 N 1 a 0.1 的大小关系是() AM NBMN CMN 解析：选 D因为 f(x) x2 a 与 g(x)ax(a1 且 a 2)在区间 (0，)上具有不同的单调 性，所以a2，所以 M(a1)0.21，N 1 a 0.1N. 4 已知实数a1， 函数

16、f(x) 4 x，x0， 2 ax，x1 时，代入可知不成立所以 a 的值为 1 2. 答案 ：1 2 课时跟踪检测 A 级 1函数 f(x) 1e |x|的图象大致是 () 解析： 选 A因为函数f(x)1e |x|是偶函数，且值域是 (，0，只有 A 满足上述两 个性质 2(2019 贵阳监测 )已知函数f(x)4 2a x1的图象恒过定点 P，则点 P 的坐标是 () A(1,6)B(1,5) C(0,5) D(5,0) 解析：选 A由于函数yax的图象过定点(0,1)，当 x1 时，f(x)426，故函数 f(x) 42a x1 的图象恒过定点P(1,6) 3已知 a 2 0.2，b0

17、.40.2， c0.40.6，则 a，b， c 的大小关系是 () AabcBacb CcabDbca 解析： 选 A由 0.2 0.6,0.41，并结合指数函数的图象可知0.40.20.4 0.6，即 bc； 因为 a 20.21，b0.40.21，所以 ab.综上， abc. 4(2019 南宁调研 )函数 f(x) 1 2 2 xx 的单调递增区间是() A. ， 1 2 B. 0， 1 2 C. 1 2， D. 1 2，1 解析： 选 D令 x x20，得 0x1，所以函数f(x)的定义域为 0,1，因为 y 1 2 t 是 减函数，所以函数f(x)的增区间就是函数y x2 x 在 0

18、,1上的减区间 1 2，1 ，故选 D. 5.函数 f(x)a xb 的图象如图所示，其中a，b 为常数，则下列结论正确的是() Aa1， b1，b0 C00 D00 时， f(x) 12 x， f(x)2x 1，此时 x0，则 f(x)1 2 (x)12x f(x)即函数 f(x)是奇函数，且单调递增，故选 C. 7(2018 深圳摸底 )已知 a 1 3 3.3，b 1 3 3.9，则 a_b(填“”) 解析： 因为函数y 1 3 x 为减函数，所以 1 3 3.3 1 3 3.9，即 ab. 答案 ： 8函数 y 1 4 x 1 2 x1 在3,2上的值域是 _ 解析： 令 t 1 2

19、x，由 x 3,2，得 t 1 4，8 . 则 yt 2 t1 t1 2 23 4 t 1 4，8 . 当 t 1 2时， ymin 3 4；当 t8 时， ymax57. 故所求函数的值域是 3 4，57 . 答案 ： 3 4 ，57 9已知函数f(x) a xb(a0，且 a1)的定义域和值域都是 1,0，则 ab_. 解析： 当 a1 时，函数 f(x)axb 在1， 0 上为增函数，由题意得 a 1b 1， a 0 b0 无解当00，t2t20， 即(t 2)(t1) 0， 又 t0，故 t 2，即 1 2 x 2，解得 x 1， 故满足条件的x 的值为 1. 12已知函数f(x) 2

20、 3 |x|a. (1)求 f(x)的单调区间； (2)若 f(x)的最大值是 9 4，求 a 的值 解： (1)令 t|x|a，则 f(x) 2 3 t，不论 a 取何值， t 在(， 0上单调递减，在 0， )上单调递增， 又 y 2 3 t 在 R 上单调递减， 所以 f(x)的单调递增区间是( ，0， 单调递减区间是0， ) (2)由于 f(x)的最大值是 9 4 ，且 9 4 2 3 2， 所以 g(x)|x|a 应该有最小值2， 从而 a2. B 级 1(2019 郴州质检 )已知函数f(x)e x1 e x，其中 e是自然对数的底数，则关于x 的不等 式 f(2x1)f( x1)

21、0 的解集为 () A. ， 4 3 (2， ) B(2， ) C. ， 4 3 (2， ) D(， 2) 解析： 选 B函数 f(x)e x1 e x的定义域为R， f( x) e x1 e x 1 e xe x f(x)，f(x)是奇函数，那么不等式 f(2x1)f(x1)0 等价于 f(2x1)f( x1)f(1x)，易证 f(x)是 R 上的单调递增函数，2x1x1，解 得 x2，不等式f(2x1) f(x1)0 的解集为 (2， ) 2已知 a0，且 a1，若函数 y|a x2|与 y3a 的图象有两个交点，则实数 a 的取值 范围是 _ 解析： 当 01 时，作出函数y|ax2|的

22、图象如图 (2)，若直线y3a 与函数 y|ax2|(a1) 的图象有两个交点，则由图象可知03a2，此时无解 所以实数 a 的取值范围是0， 2 3 . 答案：0， 2 3 3已知函数f(x) 1 a x 1 1 2 x 3(a0，且 a1) (1)讨论 f(x)的奇偶性； (2)求 a 的取值范围，使f(x)0 在定义域上恒成立 解： (1)由于 a x10，则 ax1，得 x 0， 所以函数 f(x)的定义域为 x|x0 对于定义域内任意x，有 f(x) 1 a x 11 2 (x) 3 a x 1 a x1 2 (x) 3 1 1 a x1 1 2 (x) 3 1 a x1 1 2 x 3f(x)， 函数 f(x)为偶函数 (2)由(1)知 f(x)为偶函数， 只需讨论x0 时的情况当x0 时，要使f(x)0， 则 1 a x1 1 2 x 30， 即 1 a x1 1 20，即 a x1 2 a x10，则 a x1. 又 x0， a1. 当 a(1， )时， f(x)0.