教师版培优七年级数学专题02数的整除性.pdf

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2、11 的倍数，则11|a 2整除的基本性质设a，b，c都是整数，有：若a|b，b|c，则a|c；若c|a，c|b，则c|(ab)；若b|a，c|a，则 b，c|a；若b|a，c|a，且b与c互质，则bc|a；若a|bc，且a与c互质，则a|b特别地，若质数p|bc，则必有p|b或p|c 例题与求解【例 1】在 1，2，3， 2 000 这 2 000 个自然数中，有_个自然数能同时被2 和 3 整除，而且不能被5 整除 ( “五羊杯”竞赛试题) 解题思想：自然数n能同时被2和 3 整除，则n能被 6 整除，从中剔除能被5 整除的数，即为所求【例 2】已知a，b是正整数

3、 (ab)，对于以下两个结论：在ab，ab，ab这三个数中必有2 的倍数；在ab，ab，ab这三个数中必有3 的倍数其中( ) A只有正确B只有正确 C，都正确D，都不正确 (江苏省竞赛试题) 解题思想：举例验证，或按剩余类深入讨论证明第 2 页共 8 页【例 3】已知整数13456ab能被 198 整除，求a，b的值 ( 江苏省竞赛试题) 解题思想： 198=2911，整数13 456ab 能被 9，11 整除，运用整除的相关特性建立a，b的等式，求出a，b的值【例 4】已知a，b，c都是整数，当代数式7a 2b3c的值能被13 整除时，那么代数式5a 7b22c的值是否一定

4、能被13 整除，为什么？ ( “华罗庚金杯”邀请赛试题) 解题思想：先把 5a7b 22c构造成均能被13 整除的两个代数式的和，再进行判断【例 5】如果将正整数M 放在正整数m左侧，所得到的新数可被7 整除，那么称M 为m的“魔术数” (例如：把86 放在 415 左侧，得到86 415 能被 7 整除，所以称86 为 415 的魔术数 )，求正整数n的最小值，使得存在互不相同的正整数 1 a， 2 a， n a，满足对任意一个正整数m，在 1 a， 2 a， n a 中都至少有一个为m的“魔术数” (2013年全国初中数学竞赛试题) 解题思想：不妨设 7 ii akt(i=1，2

5、，3，n；t=0，1，2，3，4，5，6)至少有一个为m的 “魔术数”根据题中条件，利用10k i am(k是m的位数 )被 7 除所得余数，分析i的取值第 3 页共 8 页【例 6】一只青蛙，位于数轴上的点 k a，跳动一次后到达 1k a ，已知 k a， 1k a 满足 | 1k a k a|=1 ，我们把青蛙从 1 a开始，经n1 次跳动的位置依次记作 n A： 1 a， 2 a， 3 a， n a 写出一个 5 A，使其 15 0aa，且 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a0；若 1 a=13， 2000 a=2 012，求 1000 a的值；对于整数n(n 2)，如

6、果存在一个 n A能同时满足如下两个条件： 1 a=0； 1 a 2 a 3 a n a=0求整数n(n2)被 4 除的余数，并说理理由 (2013 年“创新杯”邀请赛试题) 解题思想： 15 0aa即从原点出发，经过4 次跳动后回到原点，这就只能两次向右，两次向左为保证 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a0只需将“向右”安排在前即可若 1 a=13， 2000 a=2 012，从 1 a经过 1 999 步到 2000 a不妨设向右跳了x步，向左跳了y步，则 1999 132012 xy xy ，解得 1999 0 x y 可见，它一直向右跳，没有向左跳设 n A同时满足两个条件：

7、 1 a=0； 1 a 2 a 3 a n a=0由于 1 a=0，故从原点出发，经过(k1)步到达 k a，假定这 (k1)步中，向右跳了 k x步，向左跳了 k y步，于是 k a= k x k y， k x k y=k 1，则 1 a 2 a 3 a n a=0( 22 xy)( 33 xy) ( nn xy)=2( 1 x 2 x n x)( 22 xy) ( 33 xy) ( nn xy)=2( 2 x 3 x n x) 1 2 n n 由于 1 a 2 a 3 a n a=0，所以n(n 1)=4( 2 x 3 x n x)即 4|n(n1) 第 4 页共 8 页能力训练

8、 A 级 1某班学生不到50 人，在一次测验中，有 1 7 的学生得优， 1 3 的学生得良， 1 2 的学生得及格，则有_人不及格 2从 1 到 10 000 这 1 万个自然数中，有_个数能被5 或能被 7 整除 ( 上海市竞赛试题) 3一个五位数398ab能被 11 与 9 整除，这个五位数是_ 4在小于1 997 的自然数中，是3 的倍数而不是5 的倍数的数的个数是( ) A532 B665 C133 D798 5能整除任意三个连续整数之和的最大整数是( ) A1 B2 C3 D6 ( 江苏省竞赛试题) 6用数字1，2，3，4，5，6 组成的没有重复数字的三位数中，是9 的倍数的数有

9、( ) A12 个B18 个C20 个D30 个 ( “希望杯”邀请赛试题) 7五位数abcde是 9 的倍数，其中abcd是 4 的倍数，那么abcde的最小值为多少？ ( 黄冈市竞赛试题) 81，2，3，4，5，6 每个使用一次组成一个六位数字abcdef，使得三位数abc，bcd，cde，def 能依次被4，5， 3，11 整除，求这个六位数 ( 上海市竞赛试题) 9173是个四位数字，数学老师说：“我在这个中先后填入3 个数字，所得到的3 个四位数，依次可被9，11，6 整除 ”问：数学老师先后填入的这3 个数字的和是多少？ ( “华罗庚金杯”邀请赛试题) 第 5 页共 8 页 B

10、级 1若一个正整数a被 2，3，9 这八个自然数除，所得的余数都为1，则a的最小值为 _， a的一般表达式为_ (“希望杯”邀请赛试题) 2已知m，n都是正整数，若1mn30，且mn能被 21 整除，则满足条件的数对(m，n) 共有 _个 ( 天津市竞赛试题) 3一个六位数 1989xy能被 33 整除，这样的六位数中最大是 _ 4有以下两个数串 1,3,5,7,1991,1993,1995,1997,1999 1,4,7,10,1987,1990,1993,1996,1999 同时出现在这两个数串中的数的个数共有 ( )个 A333 B334 C335 D336 5一个六位数1991ab能

11、被 12 整除，这样的六位数共有( )个 A4 B6 C8 D12 6若 1 059，1 417，2 312 分别被自然数n除时，所得的余数都是m，则nm的值为 ( ) A15 B1 C164 D174 7有一种室内游戏，魔术师要求某参赛者相好一个三位数abc，然后，魔术师再要求他记下五个数：acb，bac，bca，cab，cba，并把这五个数加起来求出和N只要讲出N的大小，魔术师就能说出原数abc是什么如果N=3 194，请你确定abc ( 美国数学邀请赛试题) 8一个正整数N 的各位数字不全相等，如果将N 的各位数字重新排列，必可得到一个最大数和一个最小数，若最大数与最小数的差正好等

12、于原来的数N，则称N 为“拷贝数” ，试求所有的三位“拷贝数” ( 武汉市竞赛试题) 第 6 页共 8 页 9一个六位数，如将它的前三位数字与后三位数字整体互换位置，则所得的新六位数恰为原数的6 倍，求这个三位数 ( “五羊杯”竞赛试题) 10一个四位数，这个四位数与它的各位数字之和为1 999，求这个四位数，并说明理由 ( 重庆市竞赛试题) 11从 1，2， 9 中任取n个数，其中一定可以找到若干个数(至少一个，也可以是全部)，它们的和能被10 整除，求n的最小值 (2013 年全国初中数学竞赛试题) 第 7 页共 8 页专题 02 数的整除性答案解析例 1267 提示： 33

13、366 267 例 2 C 提示：关于的证明：对于a，b 若至少有一个是3 的倍数，则ab 是 3 的倍数若a，b 都不是3 的倍数，则有：(1)当 a3m1，b3n1 时， ab3(mn)；(2)当 a3m1，b3n2 时， ab3(mn1)；(3)当 a 3m2，b3n1 时， ab3(mn 1)；(4)当 a3m2，b 3n 2 时， ab3(mn). 例 3a8b 0 提示：由 9(19a b)得 a b8 或 17；由 11|(3 ab)得 ab8 或 3 例 4 设 x， y，z，t 是整数，并且假设5a7b 22cx(7a2b3c) 13(yazbtc).比较上式a，b， c

14、的系数，应当有 22133 7132 5137 tx zx yx ，取 x 3，可以得到y2，z1， t 1，则有 13 (2abc)3(7a2b3c)5a7b22c既然 3(7a2b3c)和 13(2abc)都能被 13 整除，则 5a7b22c 就能被 13 整除例 5 考虑到“魔术数”均为7 的倍数，又a1，a2， an互不相等，不妨设a1 a2 an，余数必为 1，2，3，4，5， 6，0，设aikit(i1，2，3， n；t0，1，2， 3，4，5，6)，至少有一个为 m 的“魔术数”，因为 ai10 km(k 是 m 的位数 )，是 7 的倍数，当 ib 时，而 ait 除

15、以 7 的余数都是 0，1，2，3，4，5，6 中的 6 个；当 i7 时，而 ai10 k 除以 7 的余数都是0，1，2， 3，4，5，6 这 7 个数字循环出现，当i7 时，依抽屉原理，ai10 k 与 m 二者余数的和至少有一个是7，此时 ai10 k m 被 7 整除，即n7 例 6(1)A5：0，1，2，1，0.(或 A5：0，1，0，1，0) (2)a1000139991 012(3)n 被 4 除余数为 0 或 1 A 级 11 2 3 143 339 798 4A 5C 6 B 7五位数 abcde10 abcde.又 abcd 为 4 的倍数故最值为1 000，又因为 a

16、bcde为 9 的倍数故1 000 e 能被 9 整除，所以e 只能取 8因此 abcde最小值为10 008. 8324 561 提示： df e是 11 的倍数，但6df5611，1e6，故 0dfe10，因此 d fe 0，即 5 fe，又 ed， f1，故 fl，e6， 919 提示： 1 73的和能被9 整除，故里只能填7，同理，得到后两个数为8，4 B 级 12 521 a2 520n1(nN ) 257 3719 895 提示：这个数能被33 整除，故也能被3 整除于是，各位数字之和(x 1989 y)也能被 3 整除，故 xy 能被 3 整除 4B 5B 6A 提示：两两差能

17、被n 整除， n179，m164 7 由题意得 acb bac bca cab cba 3 194，两边加上 abc 得222(abc)3194 abc 第 8 页共 8 页 222(abc) 2221486 abc 则 abc 86 是 222 的倍数且 a bc14设 abc 86222n 考虑到 abc是三位数，依次取n 1，2，3，4.分别得出 abc 的可能值为 136，358， 580， 802，又因为abc14故 abc 358 8设 N 为所求的三位“拷贝数”，它的各位数字分别为a，b，c(a，b，c 不全相等 )将其数码重新排列后，设其中最大数为 abc，则最小数

18、为 cba 故 N abc cba (100a10bc) (100c 10ba) 99(a c) 可知 N 为 99 的倍数这样的三位数可能是198，297，396，495，594，693，792，891， 990而这 9 个数中，只有954 459495.故 495 是唯一的三位“拷贝数” 9设原六位数为 abcdef，则6 abcdef defabc，即6(1000 abc def )1000 def abc ，所以 994 def 5 999abc ，即 142 def 857 abc，(142， 857) 1， 142| abc ， 857| def ，而 abc， def 为三

19、位数， abc 142， def 857，故 abcdef142857 10 设这个数为 abcd，则 1 000a100b10c dabcd1 999，即 1 001a101b11c2d 1 999，得 a1，进而 101b11c2d998，101b998117881，有 b9，则 11c2d89，而 02d18， 7111c89，推得 c7，d6，故这个四位数是1 976 11 当 n4 时，数 1，3，5， 8 中没有若干个数的和能被10 整除当n5 时，设 a1a2， a5是 1， 2， 9 中的 5 个不同的数，若其中任意若干个数，它们的和都不能被10 整除，则 125 ,a aa中不可能同时出现1 和 9，2 和 8，3 和 7，4 和 6，于是 125 ,a aa中必定有一个为5，若 125 ,a aa中含 1，则不含 9，于是，不含4(45110) ，故含 6；不含 3(36110) ,故含 7；不含 2(21710), 故含 8；但是 5+7+8=20 是 10 的倍数 , 矛盾 . 若 125 ,a aa中含 9, 则不含 1, 于是不含 6(69520), 故含 4; 不含 7(74920), 故含 3; 不含 8 (89320), 故含 2; 但是53210是 10 的倍数 , 矛盾. 综上所述 ,n 的最小值为5

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