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1、1 / 29 数学归纳法恒等式问题 南通市 2011 届高三第一次调研2011 1 22用数学归纳法证明： *(1)(2)(3) 123234(1)(2)() 4 n nnn nnnnN 证明：当1n时，左边1236，右边 1234 6 4 左边，故等式成立 设当 * ()nk kN时，等式成立，即 (1)(2)(3) 123234(1)(2) 4 k kkk kkk 则当1nk时，左边123234(1)(2)(1)(2)(3)kkkkkk (1)(2)(3) (1)(2)(3) 4 (1)(2)(3)(4) (1)(2)(3)(1) 44 (1)(11)(12)(13) . 4 k kkk
2、kkk kkkkk kkk kkkk 故1nk时，等式成立 由、可知，原等式对于任意 * nN 成立 如皋中学 2011 届高三阶段测试20101023 24已知： 23 0123 (1)(1)(1)(1)(1) nn n xaa xaxaxax),2(Nnn 当5n时，求 543210 aaaaaa的值 设 3 2 2 nn a b， nn bbbbT 432 试 用 数 学 归 纳 法 证 明 ： 当2n时 ， 3 )1)(1(nnn Tn 【解】 当5n时，原等式变为 5234 01234 (1)(1)(1)(1)(1)xaaxaxaxax 5 5( 1)ax，令2x得，2433 5 5
3、43210 aaaaaa； 因 nn xx)1(2) 1(，故 22 2 2 n n Ca，)2)(1(2 2 2 3 2 nnnC a b n n n 当2n时左边2 22 bT，右边2 3 ) 12)(12(2 ，左边右边，等式成立 假设当),2(Nkkkn 时，等式成立，即 3 )1)(1(kkk Tk 那么，当1kn时， 2 / 29 左边)1( 3 ) 1)(1( 1)1)(1( 3 )1)(1( ! kk kkk kk kkk bT kk 3 1) 1(1)1)(1( 3 )2)(1( )1 3 1 )(1( kkkkkkk kk右边 故当1kn时，等式成立 综上，当2n时， 3
4、)1)(1(nnn Tn 苏州中学 2011 届高三阶段测试二2010、12 22已知， 求证： 证明：先用数学归纳法证明等式： 证：当时，左边，右边 1 2(2)2(1)3 2 f ，故左边右边，故 等式成立 (2)假设时，等式成立，即 上式两边同时加得： 因， 故 1 (2 ) ()10 2 k k 故 故 故时等式也成立 由 （1） 、（2） 知， 等式对一切都成立故 泰州中学高三阶段自我测2012310 23已知多项式 5431111 ( ) 52330 f nnnnn 求( 1)f及(2)f的值； 试探求对一切整数n，( )f n是否一定是整数？并证明你的结论 【解】先用数学归纳法证
5、明：对一切正整数n，( )f n是整数 当 n1 时，(1)1f，结论成立 111 ( )1 23 f n n 1,2,3,n 100(1)(2)(3)(99)100(100)fffff 112.11nfffnnf n 1n212 13f nk112.11nfff kkf k 11fk 1112.11111kfffkfkkfkf k 1111211kfkf kkf k 1211222121kfkfkkfkkfkfk 111122kfkf kkfk 1112.122kfffkfkkfk 1nk 112.11nfffnnfnnN 10012.99100100ffff 3 / 29 假设当nk（k1
6、 ，kN）时，结论成立，即 543 1111 ( ) 52330 f kkkkk是整数，则当nk 1 时， 5431111 (1)(1)(1)(1)(1) 52330 f kkkkk 051423324504132214 55555544444 52 C kC kC kC kC kCC kC kC kC kC 031223 3333 1 (1) 330 C kC kC kC k 432 ( )4641f kkkkk 根据假设( )f k是整数，而 432 4641kkkk显然是整数故(1)f k是整数，从而当当nk 1 时，结论也成立 由、可知对对一切正整数n，( )f n是整数 当 n0 时
7、，(0)0f是整数 当n为 负 整 数 时 ， 令n m ， 则m是 正 整 数 ， 由 （ 1 ）()f m是 整 数 ， 故 5431111 ()()()()()() 5233 0 fnfmmmmm 5431111 5233 0 mmmm 4 ()f mm 是整数 综上，对一切整数n，( )f n一定是整数 2013 届南通市高三第三次模拟201352 22 设且， 证 明 ： 证明 ：当时，有，命题成立 假设当时，命题成立，即 成立，那么，当时，有 所以当时，命题也成立 根据（ 1）和（ 2） ，可知结论对任意的且都成立 不等式问题 n * N 2n 2 222 1212nn aaaaa
8、a 123 2 n aaaa 234n aaaa 1nn aa 2n 2 22 121212 2aaaaaa (2)nk k 2 222 1212kk aaaaaa 123 2 k aaaa 234kaaaa1kkaa 1nk 2 121kk aaaa 2 2 121211 2 kkkk aaaaaaaa 222 12kaaa 123 2 k aaaa 234kaaaa1kkaa 1 2 a 2 a 2 11kkk aaa 2222 121kkaaaa 1231 2 kk aaaaa 234aaaka1ka1kka a 1nk n * N 2n 4 / 29 南 通 市 教 研 室 2012年
9、 全 真 模 拟 五 22考察二数，满足不等式于是一 个 自然 的推 广引导我们去猜想 下面 的命题：若且则 试用数学归纳法证明上述命题 无锡市 20092010 质量调研 4试比较 1n n与 * (1) () n nnN的大小 当 1n 时，有 1n n(1) n n(填、或) 当2n时，有 1n n(1) n n(填、或) 当3n时，有 1n n(1) n n(填、或) 当4n时，有 1n n(1) n n(填、或) 猜想一个一般性结论，并加以证明 ， ：当时)() 1(, 3 1 Nnnnn nn 恒成立 证明：当 34 464813,3时n成立； 假设当, 1 ) 1( ,) 1(,
10、) 3( 1 1 k k kk k k kkkkn即成立即时成立 则当1kn时， 1 ) 1( ) 1 ()1() 2 1 () 1( )2( ) 1( 1 11 1 2 k k kk k k k k k k k k k k k k ， 1,)2()1( 12 knkk kk 即当时也成立 3)() 1( *1 nnnn nn 当N 时恒成立 南通市 2010 届四星级高中内部交流卷 23、已知 * 001abnnN，用数学归纳法证明：() 22 nn n abab 证明：当n2 时，左边右边 22 22 ()()0 222 ababab ，不等式成立 假 设 当n k （ * ,1kkN）
11、时 ， 不 等 式 成 立 ， 即() 22 kk k abab 因 * 001abkkN，故 11 ()()()()0 kkkkkk aba bababab ，于是 a b，01 01ab，(1)(1)11abababab 2n ， 12 01 01 01 n aaa， 1212 (1)(1)(1)1 nn aaaaaa 5 / 29 11kkkk aba bab当nk1时， 1111 1 ()() 222224 kkkkkk kkababababababa bab = 111111 42 kkkkkk ababab 即当 nk1 时，不等式也成立 综合（ 1） ， （2）知，对于 * 00
12、1abnnN，不等式() 22 nn n abab 总成立 苏锡常镇四市2012 届高三调研（二）20125 23记)()(),( nnn n yxyxyxf，其中x，y为正实数，Nn给定正实数a，b满足 1b b a用数学归纳法证明：对于任意正整数n，( , )(2,2) nn fa bf 【证明】欲证不等式为 21 ()22(*) nnnnn abab 当1n时，不等式左边0，右边0，不等式成立； 假设nk时， 不等式(*)成立，即 21 ()22 kkkkk abab， 由正实数a，b满足0a， 0b， 1 b a b ， 得a b a b 因0a，0b， 故2a ba b， 从而4ab
13、，4abab， 故 112 2 ()2 42 kkkkk a babab 则 * 1()nkkN时，不等式(*)左边 1112 ()()() kkkkkkkk ababababab 即1nk时成立 由可知，正实数a，b满足 1b b a， 21 ()22(*) nnnnn abab成立 苏州市 2011 届高三调研20111 24设 1 ( ) n f nn， * ( )(1) , n g nnnN 当 n1，2，3，4 时，比较( )f n与( )g n的大小 根据的结果猜测一个一般性结论，并加以证明 【解】(1)(1)fg，(2)(2)fg，(3)(3)fg，(4)(4)fg； 猜想：当n
14、 3， nN *时，有1 (1) nn nn 证明：当n3 时，猜想成立 假设当nk(k 3， kN *)时猜想成立，即1 (1) kk kk， 1 1 (1) k k k k ，因 (k 1)2k(k2)， 6 / 29 1 21 kk kk ，故 221 1 (1)1(1) ()()1 (2)221(1) kk kk kk kkkkk k kkkkk 由知，对一切n 3，n N*时，有 1 (1) nn nn都成立 通州市 2010 届高三素质检测2010 3 23用数学归纳法证明不等式： 证明：当时，不等式的左边为，故时表达式成立； 假设当时不等式成立，即 那么，当时，由得 当 时，成立
15、，故当时不等式也成立； 根据与可知当时不等式都成立 苏州中学 2010 届高三上学期期中 22用数学归纳法证明： 222 1113 1 2321 n nn L(N )n 证：当 1n 时，结论成立； 假设nk时，不等式成立； 当1nk时，左边 2 31 21 (1) k k k ，下证： 2 3(1) 31 212(1)1 (1) k k kk k ，作差得 22 3(1)(2) 31 212(1) 1 (1)(1) (21)(23) 0 kk k k kk kkkk ，得结论成立，即当1nk时，不等式成立，根据归纳 原理，不等式成立 苏州市 2010 届高三教学调研 23已知 3333 11
16、11 ( )1 234 f n n L， 2 31 ( ) 22 g n n ， * nN 当1, 2 ,3n时，试比较( )f n与( )g n的大小关系； ) 1( 1 1 2 1 1 11 * 2 nNn nnnn 且 2n1 12 13 4 1 3 1 2 1 2n *), 1(Nkkkn1 1 2 1 1 11 2 kkkk 1kn2k 2 2 2222 222222 ) 1( ) 1( 1 )1( 121 1 ) 1( 1 ) 1( 1 )1( 1 1 1 12 1 1 11 1 ) 1( 1 2 1 1 11 2 1 1 1 k kk k k kkkkk kkkkkkkkkk 2
17、k01 2 kk1kn *, 1Nnn 7 / 29 猜想( )f n与( )g n的大小关系，并给出证明 【解】 当1n时，(1)1f，(1)1g，故(1)(1)fg； 当2n时， 9 (2) 8 f ， 11 (2) 8 g ，故(2)(2)fg； 当3n时， 251 (3) 216 f， 312 (3) 216 g，故(3)(3)fg 由，猜想( )( )f ng n，下面用数学归纳法给出证明： 当1,2,3n时，不等式显然成立 假设当(3)nk k时不等式成立，即 33332 111131 1 23422kk L，那么，当 1nk时， 323 1311 (1)( ) (1)22(1)
18、f kf k kkk ，因 2233232 1113131 ()0 2(1)2(1)2(1)22(1) kk kkkkkkk ，故 2 31 (1)(1) 22(1) f kg k k 由、可知，对一切 * nN，都有( )( )f ng n成立 海安中学高三学情诊断（二）20104 4、设( )f k表示区间 1 2,2 kk ( * kN)上自然数的个数，(1)(2)( ) n Sfff n 求 n S的表达式； 设 2* 1() n PnnnN，试比较 n S与 n P的大小 【解】由题意知，f (k)2k2k 112k 11，故 Sn f (1)f (2)f (n)(201)(21 1
19、) (2 n 11)2nn 1； 因 SnPn 2n n2，当 n1 时，S1 P10；当 n2 时，S2P20；当 n3 时，S3P30；当 n6 时， S6P60；故猜想：当 n5时，都有 S n Pn成立 法一：用数学归纳法给出证明， 当 n 5 时，已证S5 P50，故结论成立； 假设当nk (k 5) 时，结论成立，即S kP k，即 2 k k2 当 nk1 时， Sk1Pk12 k1(k1) 22?2 k (k1) 22k2 (k1)2k2 2k 1(k 1) 2 2， 而当 k5 时，(k 1) 2 20 恒成立， 则 2 k1 (k 1) 2 也成立， 故当 nk1 时，结论
20、也成立， 由可知，当n5时，都有 S n P n成立 法二： 下面用二项式定理给出证明，当 n5 时， 因 01 (1) 2(1 1)1 2 nnn nnn n n CCCn 8 / 29 (1) 1 2 n n nn 2 n2n2，故 S nPn 2 n n20， 综上所述， Sn与 Pn的大小关系是：当n 2或 n 4 时， SnPn；当 n3 时， Sn Pn 梁丰中学 20102011第五次模拟 海门中学 2013 届开学检测20129 24已知数列 n a的前n项和为 n S，通项公式为 1 n a n ， 2 21 1 ( ) 2 n nn Sn f n SSn ， ， 计算(1)
21、,(2),(3)fff的值； 比较( )f n与 1 的大小，并用数学归纳法证明你的结论 【解】 由已知 2 13 (1)1 22 fS， 41 13 (2) 12 fSS， 62 19 (3) 20 fSS； 由知，(1)1f，(2)1f；下面用数学归纳法证明：当3n时，( )1f n 由知，当3n时，( )1f n； 假设(3)nk k时，( )1f n，即 111 ( )1 12 f k kkk ，那么 11111111111 (1)() 12221221222122 f k kkkkkkkkkkk 111112(21)2(22)11 1()()111 2122222 (21)2 (22
22、)2 (21)(22) kkkk kkkkkkkkkkkkk ， 故当1nk时，( )1f n也成立由和知， 当3n时，( )1f n 故当1n和2n时，( )1f n； 当3n时，( )1f n 通州区 2012 2013 高三上期中 23设 a1， a2， a3， an(nN *)都是正数，且 a1a2a3an1，试用数学归纳法证明： a1a2a3 an n 【解】由字母ai在条件及结论中的对称性，可假设 123 0 n aaaa，则 an 1( 否则将与条 件 a1a2a3an1 矛盾 )， 当 n1 时，a11，结论显然成立，当n2 时，a1a21，则可由 a1a22 12 a a2
23、知， 此时结论也成立， 假设nk(k2 ，kN *)时，结论成立，则由 a1a2a3ak1，有 a1a2a3 ak k 则当 nk1 时， 若 a1a2a3 ak11，则结论显然成立； 若 a1，a2，a3， ak1不全等于1 时，则由假设知， 1 1a， 1 1 k a， 则(a11) (ak11)(a1ak11)a2a3 aka1ak1 a2a3ak1 k1 故当 nk1 时，命题成立 综上可知，对任意nN *，命题均成立 9 / 29 扬州市 2010 届高三上学期期末 海门中学 2011 届高三考前热身62 扬州市 2011 届高三调研201012 2011 苏北四市第一次摸底 徐州市
24、 2013 年考前信息卷 23已知 3 0123 (1)(1)(1)(1).(1) , nn n xaa xaxa xax（其中 * nN） 求 0 a及 1 n ni i Sa ； 试比较 n S与 2 (2)22 n nn的大小，并说明理由 【解】 令1x，则 0 2 n a，令2x， 则 0 3 n n i i a ，故32 nn n S； 要比较 n S与 2 (2)22 n nn的大小，即比较：3 n 与 2 (1)22 n nn的大小， 当1n时 ， 2 3(1) 22 nn nn； 当2 , 3n时 ， 2 3(1) 22 nn nn； 当4 , 5n时 ， 2 3(1) 22
25、nn nn；猜想：当4n时4n时， 2 3(1)22 nn nn，下面用数学归纳法证明： 由上述过程可知，4n4n时结论成立， 假设当(4)nk k,(4)nkk时结论成立，即 2 3(1)22 nn nn，两边同乘以3 得： 12122 33(1)2222(1)(3)2442 kkkk kkkkkkk 而 22 (3)2442(3)24(2)6(2)24(2)(1)60 kkk kkkkkkkkk故 112 3(1) 122(1) kk kk即1nk时结论也成立， 故当4n时， 2 3(1)22 nn nn 成立 综上得，当1n时， 2 3(1)22 nn nn； 当2 , 3n时， 2 3
26、(1)22 nn nn； 当4,nnN 时， 2 3(1)22 nn nn 6、扬州市 13 高三期末 已知数列 n a是等差数列，且 123 ,a a a是 1 (1) 2 m x 展开式的前三项的系 数 求 1 (1) 2 m x展开式的中间项； 10 / 29 当2n时，试比较 2 12 1111 nnn n aaaa 与 1 3 的大小 【解】 122111 (1)1()() 222 m mm xCxCx依题意 1 1a， 2 1 2 am， 3 (1) 8 m m a， 由 213 2aaa可 得1m（ 舍 ） ， 或8m故 1 (1) 2 m x展 开 式 的 中 间 项 是 第
27、五 项 为 ： 444 58 135 () 28 TCxx； 由知，32 n an, 当2n时， 2 12234 1111111111691 47101403 nnn n aaaaaaa 当3n时， 2 123459 11111111 nnn n aaaaaaaa 1111111 7101316192225 1111111 ()() 7101316192225 1111111 ()() 8161616323232 1331311 81632816163 猜测：当2n时， 2 12 1111 nnn n aaaa 1 3 以下用数学归纳法加以证明： 3n时，结论成立， 设当nk时， 2 12 1
28、1111 3 kkk k aaaa ， 则1nk时， 2 (1)(1) 1(1) 2 (1) 1111 kkk k aaaa 2 1)(1) 1(1) 2 11111 () kkkk k aaaaa 222 12(1) 1111 () k kkk aaaa 222 12(1) 11111 () 3 k kkk aaaa 2 1(21)1 33(1)232 k kk 2 2 1(21)(32)3(1)2 33(1)232 kkk kk 2 2 1373 33(1)232 kk kk 由3k可知， 2 3730kk 11 / 29 即 2(1)(1) 1(1) 2 (1) 11111 3 kkk
29、k aaaa 综合可得，当2n时， 2 12 11111 3 nnn n aaaa 2013 届高三第三次模拟 23已知 m，n 为正整数 用数学归纳法证明：当x1 时， (1x)m 1mx； 对于n 6，已知 11 (1) 32 n n ，求证： 1 (1)() 32 nmm n ，m 1，2，n； 求出满足等式3n4n5n (n2)n(n 3)n的所有正整数n 【解】用数学归纳法证明： (i)当 m1时，原不等式成立；当m2时，左边 12xx 2，右边 12x，因 x2 0，故左边 右边，原不等式成立； (ii) 假设当 mk时，不等式成立，即(1x) k 1kx，则当 mk1时， x 1
30、，故 1x0，于 是在不等式 (1x)k 1kx两边同乘以 1x得， (1x)(1x)k( 1kx)(1x)1 (k 1)xkx2 1(k 1)x，故 (1x)k 1(k1)x，即当 mk1时，不等式也成立 综合 (i) (i) 知，对一切正整数，不等式都成立 当 n 6，m n时，由得， 1 (1)10 33 mm nn ，于是 111 (1)(1)(1) ( ) 3332 nmnnmm m nnn ，m1，2， n 由，当 n 6时， 2 12111 (1)(1)(1)()()1 333222 nnnn n nnn 1 ( )1 2 n ， 故 213 ()()()1 333 nnn nn
31、 nnn ， 即3n4n5n (n 2)n(n3)n ， 即当 n 6 时，不存在满足该等式的正整数n，故只需要讨论n1，2，3，4，5的情形：当 n1时， 34 ，等式 不成立；当 n2时， 324252，等式成立；当n3时， 33435363，等式成立；当n 4时， 34 445464为偶数，而 74为奇数，故 34445464 74，等式不成立；当n 5时，同 n4的情形可 分析出，等式不成立 综上，所求的 n只有 n2，3 盐城市 12 届高三第二次模拟 23某班级共派出1n个男生和n个女生参加学校运动会的入场仪式，其中男生甲为领队入场 时，领队男生甲必须排第一个，然后女生整体在男生的
32、前面，排成一路纵队入场，共有 n E种排法； 入场后，又需从男生（含男生甲）和女生中各选一名代表到主席台服务，共有 n F种选法 试求 n E和 n F； 判断ln n E与 n F的大小 * ()nN，并用数学归纳法证明 【解】 2 ( !) nn nnn EAAn， 11 1 (1) nnn FCCn n 因l n2 l n n En，(1) n Fn n， 故 11 ln02EF， 22 lnln 46EF， 33 lnln3612EF，由此猜想：当 * nN时，都有ln nn EF，即2ln!(1)nn n 下用数学归纳法证明 * 2ln!(1)()nn nnN (1)当 n1 时，该不等式显然成立 (2)假设当 * ()nk kN时，不等式成立，即2ln!(1)kk k，则当1nk时，