空间向量及其应用.pdf

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1、第六节空间向量及其应用 考纲解读 1. 空间向量及其运算. （1）了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解 及其坐标表示； （2）掌握空间向量的线性运算及其坐标表示； （3）掌握空间向量的数量积及其表示，能用向量的数量积判断向量的共线与垂直. 2. 空间向量的应用. （1）理解直线的方向向量与平面的法向量； （2）能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系； （3）能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）； （4）能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向 量方法在研究几何问题中

2、的应用. 命题趋势探究 立体几何试题中，证明线面、面面的位置关系一般利用传统方法（非向量法）证明，对 于空间角和距离的计算，既可用传统方法解答，也可以用向量法解答，而且多数情况下向量 法会更容易一些. 预测在 2015 年高考对本专题的考查会在解答题中以中档题出现，分值保持 在 12 分左右 . 知识点精讲 一、空间向量及其加减运算 1. 空间向量 在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模. 空间向量也可用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，若向量 a的起点是A，终 点是B，则向量 a也可以记作AB，其模记为a 或AB. 2. 零向量与单位向量 规定长度

3、为0 的向量叫做零向量，记作 0. 当有向线段的起点A与终点B重合时， 0AB . 模为 1 的向量称为单位向量. 3. 相等向量与相反向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量. 在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量 或相等向量 . 空间任意两个向量都可以平移到同一个平面，成为同一平面内的两个向量. 与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为a. 4. 空间向量的加法和减法运算 （1）OCOAOBab，BAOAOBab. 如图 8-152 所示 . （2）空间向量的加法运算满足交换律及结合律 abba，abcabc 二、空间向量的数乘运算 1数乘运算 实数与空间向量a的乘积a

4、称为向量的数乘运算. 当0时，a与向量a方向相 同；当0时，向量a与向量a方向相反 . a的长度是a的长度的倍. 2. 空间向量的数乘运算满足分配律及结合律 abab， aa. 3. 共线向量与平行向量 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或 平行向量，a平行于b，记作/ /ab. 4. 共线向量定理 对空间中任意两个向量a，b0b，/ /ab的充要条件是存在实数，使ab. 5. 直线的方向向量 如图 8-153 所示，l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线 . 对空间任意一点 O，点P在直线l上的充要条件是存在实数 t，使OPOA ta ，其中向量

5、a叫做直线l 的方向向量，在l上取ABa，则式可化为 1OPOAt ABOAt OBOAt OAtOB 和都称为空间直线的向量表达式，当 1 2 t，即点P是线段AB的中点时， 1 2 OPOAOB ，此式叫做线段AB的中点公式 . 6. 共面向量 如图 8-154 所示，已知平面与向量a，作OAa，如果直线OA平行于平面或在 平面内，则说明向量a平行于平面. 平行于同一平面的向量，叫做共面向量. 7. 共面向量定理 如果两个向量a，b不共线， 那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有 序实数对, x y，使pxayb. 推论：（ 1）空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实

6、数对, x y，使 APxAByAC；或对空间任意一点 O，有OPOAxAByAC，该式称为空间平 面ABC的向量表达式. （ 2） 已 知 空 间 任 意 一 点O和 不 共 线 的 三 点A，B，C， 满 足 向 量 关 系 式 OPxOAyOBzOC （其中1xyz）的点P与点A，B，C共面； 反之也成立 . 三、空间向量的数量积运算 1. 两向量夹角 已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OAa，OBb，则AOB叫做 向量a，b的夹角，记作,a b，通常规定0,a b，如果, 2 a b ，那么向量a， b互相垂直，记作ab. 2. 数量积定义 已知两个非零向量a，b，则cos,

7、a ba b叫做a，b的数量积，记作a b，即 cos,a ba ba b. 零向量与任何向量的数量积为 0，特别地， 2 a aa . 3. 空间向量的数量积满足的运算律： aba b ，a bb a（交换律）； abca ba c（分配律） . 四、空间向量的坐标运算及应用 （1）设 123 ,aa a a， 123 ,bb b b，则 112233 ,abab ab ab； 112233 ,abab ab ab ； A a a 图 8-154 O 123 ,aaaa ； 1 12233 a ba ba ba b ； 112233 / /0,ab bab abab ； 1 12233 0a

8、baba ba b . （2）设 111 ,A x y z， 222 ,B xyz，则 212121 ,ABOBOAxx yy zz . 这就是说，一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示该向量的有向线段的终点的坐标减 起点的坐标 . （3）两个向量的夹角及两点间的距离公式. 已知 123 ,aa aa ， 123 ,bb b b ，则 2 222 123 aaaaa ； 2 222 123 bbbbb ； 1 12233 a baba ba b ； 1 12233 222222 123123 cos, a ba ba b a b aaabbb ； 已知 111 ,A x y z， 222 ,B

9、xyz，则 222 121212 ABxxyyzz , 或者,d A BAB. 其中 ,d A B 表示A与B两点间的距离，这就是空间两点的距离公 式. （4）向量a在向量b上的射影为cos, a b aa b b . （5）设 0n n 是平面M的一个法向量，AB，CD是M内的两条相交直线，则 0n AB ，由此可求出一个法向量 n（向量AB及CD已知） . （6）利用空间向量证明线面平行：设n是平面的一个法向量，l为直线l的方向向量， 证明0l n， （如图 8-155 所示） . 已知直线l（l） ，平面的法向量n，若0l n， 则/ /l. （7） 利用空间向量证明两条异面直线垂直：在

10、两条异面直线中各取一个方向向量a，b， 只要证明ab，即0a b. （8）利用空间向量证明线面垂直：即证平面的一个法向量与直线的方向向量共线. （9）证明面面平行、面面垂直，最终都要转化为证明法向量互相平行、法向量互相垂 直. （10）空间角公式 . 异面直线所成角公式：设a，b分别为异面直线 1 l， 2 l上的方向向量，为异面直 线所成角的大小，则coscos, a b a b a b . 线面角公式：设l为平面的斜线，a为l的方向向量，n为平面的法向量，为 l与所成角的大小，则sincos, a n a n a n . 二面角公式： 设 1 n， 2 n分别为平面，的法向量，二面角的大小

11、为，则 12 ,n n 或 12 ,n n （需要根据具体情况判断相等或互补），其中 12 12 cos n n n n . （11）点A到平面的距离为d，B，n为平面的法向量，则 AB n d n . 题型归纳及思路提示 题型 116 空间向量及其运算 思路提示 空间向量的运算包括空间向量的加法、减法、数乘、数量积的几何意义及坐标运算， 可以类比平面向量的运算法则. 一、空间向量的加法、减法、数乘运算 例 8.41 如图 8-156 所示，已知空间四边形OABC，点,M N分别为OA，BC的中点，且 OAa，OBb，OCc，用a，b，c表示MN，则MN . n l 图 8-155 解析 11

12、 22 OMOAa ， 11 22 ONOBOCbc ， 111 222 MNONOMbcabca . 变式 1 如图 8-157 所示，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M和N分别 是对边OA和BC的中点，点G在线段MN上，且 2MGGN， 现用基向量OA，OB，OC 表示向量OG，设OGxOAyOBzOC，则, ,x y z的值分别是（） .A 111 , 333 xyz .B 111 , 336 xyz .C 111 , 363 xyz .D 111 , 633 xyz 变式 2 如图 8-158 所示， 在四面体OABC中，OAa，OBb，OCc，D为BC的 中点，E为AD

13、的中点，则OE（用a，b，c表示） . 变式3 在空间四边形ABCD中，连接对角线,AC BD，若BCD是正三角形，且E为其 重心，则 13 22 ABBCDEAD的化简结果为 . 变式 4 如图 8-159 所示，在平行六面体 1111 ABCDABC D中，M为 11 AC与 11 B D的交点， 若ABa，ADb， 1 AAc，则下列向量中与 BM相等的向量是（） .A 11 22 abc .B 11 22 abc .C 11 22 abc.D 11 22 abc 二、空间共线向量定理的应用 空间共线向量定理： / /0ab bab. 利用此定理可解决立体几何中的平行问题. 例 8.42

14、 已知 3240mabc ， 182nxabyc，且, ,a b c不共面， 若/ /mn， 求, x y的值 . 解析因为/ /mn且0m，所以nm，即 182324xabycabc. 又因为, ,a b c不共面，所以 13 82 24 x y ，解得 13 8 x y . 二、空间向量的数量积运算 121212 cos,a ba ba bx xy yz z ； 求模长时，可根据 2 222 111 aaxyz ； 求空间向量夹角时，可先求其余弦值cos, a b a b a b . 要判断空间两向量垂直时，可 以求两向量的数量积是否为0，即0a bab. ,a b 为锐角0a b；,a

15、b为钝角0a b .由此，通常通过计算a b的值来 判断两向量夹角是锐角还是钝角. 例 8.43 已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点,E F分别是,BC AD 的中点，AE AF 的值为（）. .A 2 a.B 2 1 . 2 Ba 2 1 . 4 Ca 2 3 . 4 Da 解析依题意，点,E F分别是,BC AD的中点，如图8-160 所示， AEAF 11 22 ABACAD 1 4 AB ADAC AD 222 11 cos60cos60 44 aaa. 故选C. 变式 1 如图 8-161 所示，已知平行六面体 1111 ABCDABC D中， 11 60A AD

16、A ABDAB，且 1 1A AABAD，则 1 AC. 变式 2 如图 8-162 所示，设,A B C D是空间不共面的4 个点，且满足0AB AC， 0AD AC ，0AD AB，则BCD的形状是（）. .A钝角三角形.B直角三角形 .C锐角三角形.D无法确定 例 8.44 如图 8-163 所示， 在45的二面角l的棱上有两点,A B， 点,C D分别在, 内，且ACAB，45ABD，1ACBDAB，则CD的长度为. 分析求CD的长度转化为求空间向量CD的模 . 解析因为CDCAABBD，故 22 CDCAABBD 222 222CAABBDCA ABAB BDCA BD 1 1 10

17、2 1 1 cos1352CA BD，设点 C在内的射影为H，则 HAAB， ,135HA BD. 故 CA BDCHHABDCHBDHA BD 1 0cos1351 cos45 cos135 2 HA BD . 故 2 22CD ，则22CD. 变式 1 已知二面角l为60，动点,P Q分别在面,内，P到的距离为3， Q到的距离为2 3，则,P Q两点之间距离的最小值为（）. . 2A.2B.2 3C.4D 变式 2 在直角坐标系中，设3,2A，2, 3B，沿y轴把坐标平面折成120的二面角 后，AB的长为（）. . 6A.4 2B.2 3C.2 11D 例 8.45 如图 8-164 所示

18、，设动点P在棱长为 1 的正方体 1111 ABCDA BC D的对角线 1 BD 上，记 1 1 D P D B . 当APC为钝角时，求的取值范围 . 解析由题设可知，以 1 ,DA DC DD 为单位正交基底，建立如图8-165 所示的空间直角坐 标系Dxyz，则有1,0,0A，1,1,0B，0,1,0C， 1 0,0,1D. 由 1 1,1, 1D B ， 11 , ,D PD B ， 11 1,0, 1, ,1,1PAD AD P ， 11 0,1, 1, ,1,1PCD CD P . 显然APC不是平角，所以APC为钝角， coscos,0 PA PC APCPA PC PA PC

19、 ，等价于0PA PC ，即 2 1110，得 1 1 3 . 因此，的取值范围是 1 ,1 3 . 评析利用向量知识将APC为钝角转化为cos,0PA PC求解是本题的关键. 变式 1 已知正方体 1111 ABCDABC D的棱长为1， 点P在线段 1 BD上，当APC最大时， 三棱锥PABC的体积为（）. 1 . 24 A 1 . 18 B 1 . 9 C 1 . 12 D 例 8.46 如图 8-166 所示， 在四棱锥PABCD中，侧面PAD为正三角形， 底面ABCD为 正方形，侧面PAD底面ABCD，M为底面ABCD内的一个动点，且满足MPMC， 则点M在正方形ABCD内的轨迹为（

20、）. 解析取AD的中点O，以OA为x轴，垂直于OA的OE为y轴，OP为z轴，建立空间 直角坐标系如图8-167所示 . 设 , ,0Mx y ，正方形的边长为a， 3 0,0, 2 Pa ， , ,0 2 a Ca ， 则 2 2 2 a MCxya ， 222 3 4 MPxya，MPMC， 得 2 2 2 22 3 24 aa xyaxy ，即20 2 a xy. 所以点M在正方形ABCD 内的轨迹为一条线段，且过D点和AB的中点 . 故选A. 评注本题利用空间线面位置关系求解也很快. 由题意知空间内与两定点距离相等的点均在 线段中垂面内，即M在线段PC的中垂面内 . 又M为底面ABCD内

21、一动点，则M的轨迹 为两平面的交线落在底面内的部分，排除C、D. 又BPBC，故排除B. 故选A. 变式 1 到两互相垂直的异面直线距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的 平面内的轨迹是（）. .A直线.B椭圆.C抛物线.D双曲线 变式2 空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这个点和垂足之间的距 离叫做这个点到这个平面的距离，已知平面，两两互相垂直， 点A， 点A到， 的距离都是3，点P是上的动点，满足P到的距离是点P到点A距离的 2 倍，则点 P的轨迹上的点到 的距离的最小值是（） . .33A.32 3B.63C. 3D 题型 117 空间向量在立体几何中的应用 思路提示 用向量法可以证点共线、线共点、线（或点）共面、两直线（或线与面、面与面）垂 直的问题，也可以求空间角和距离. 因此，凡涉及上述类型的问题，都可以考虑利用向量法 求解，且其解法一般都比较简单. 用向量法解题的途径有两种：一种是坐标法，即通过建立空间直角坐标系，确定出一