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1、第 1 页 共 1 页 课题：线性规划的实际应用 教学目的： 1. 能应用线性规划的方法解决一些简单的实际问题 王新敞 2. 增强学生的应用意识. 培养学生理论联系实际的观点 王新敞 教学重点： 求得最优解 王新敞 教学难点： 求最优解是整数解 王新敞 授课类型： 新授课 王新敞 课时安排： 1 课时 王新敞 教具：多媒体、实物投影仪 王新敞 教材分析 ： 线性规划的两类重要实际问题：第一种类型是给定一定数量的人力、物力 资源，问怎样安排运用这些资源，能使完成的任务量最大，收到的效益最大； 第二种类型是给定一项任务，问怎样统筹安排，能使完成这项任务的人力、物 力资源量最小 王新敞 教学过程 ：
2、 一、复习引入： 1 二元一次不等式Ax+By+C0 在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0 某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线） 王新敞 2.目标函数 , 线性目标函数线性规划问题, 可行解 ，可行域 , 最优解 王新敞 3用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤： （1）根据线性约束条件画出可行域（即不等式组所表示的公共区域）; （2）设t=0，画出直线 0 l; （3）观察、分析，平移直线 0 l，从而找到最优解),(),( 1100 yxByxA; （4）最后求得目标函数的最大值及最小值 王新敞 4. 求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的格式与步骤： （
3、1）寻找线性约束条件，线性目标函数； （2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域； （3）在可行域内求目标函数的最优解 王新敞 二、讲解新课： 判断可行区域的方法：由于对在直线Ax+By+C=0 同一侧的所有点(x,y)， 把它的坐标 （x,y)代入 Ax+By+C，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线 的某一侧取一特殊点（x0,y0)，从 Ax0+By0+C 的正负即可判断 Ax+By+C0 表示 直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C0 时，常把 原点 作为此特殊点） 王新敞 王新敞 第 2 页 共 2 页 三、讲解范例 例 1 已知甲、乙两煤矿每年的产量分别为200 万吨和 300
4、 万吨，需经过东 车站和西车站两个车站运往外地.东车站每年最多能运280 万吨煤，西车站每年 最多能运360 万吨煤，甲煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为1 元/吨和 1.5 元/吨，乙煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为0.8 元/吨和 1.6 元/吨. 煤矿应怎样编制调运方案，能使总运费最少? 解：设甲煤矿向东车站运l万吨煤，乙煤矿向东车站运y万吨煤，那么总 运费 z=x+1.5(200x)+0.8y+1.6(300 y)(万元 ) 王新敞 即 z=7800.5x0.8y. x、y 应满足： 360)300(200 280 0300 0200 0 0 yx yx y x y x 作出
5、上面的不等式组所表示的平面区域 王新敞 设直线 x+y =280 与 y 轴的交点为M，则 M(0， 280) 王新敞 把直线 l：0.5x+0.8y=0 向上平移至经过平面区域上的点M 时， z的值最小 王新敞 点 M 的坐标为 (0，280)， 甲煤矿生产的煤全部运往西车站、乙煤矿向东车站运280 万吨向西车站 运 20 万吨时，总运费最少 王新敞 例 2 设实数x、y满足不等式组 .322 ,41 xy yx （1）求点 (x,y) 所在的平面区域； （2）设1a，在（ 1）所求的区域内，求函数axyyxf),(的最值 王新敞 导析： 必须使学生明确，求点),(yx所在的平面区域，关键是
6、确定区域的 边界线，可从去掉绝对值符号入手 王新敞 解： （1）已知的不等式组等价于 200 x=200 280 y=300 280140 140 x+y=140 x+y=280 x O y 第 3 页 共 3 页 )2( .032 ,232 ,41 )1( .032 ,322 ,41 x xy yx x xy yx 或 解得点),(yx所在的平面区域为所示的 阴影部分（含边界） 王新敞 其中，4:;52:yxBCxyAB 1:; 12:yxDAxyCD （ 2 ）axyyxf),(表 示 直 线 kaxyl :在y轴上的截距，且直线l与 （1）中所求区域有公共点 王新敞 1a, 当直线l过顶
7、点C时，axyyxf),(最大 王新敞 C点的坐标为（ -3 ，7） ， axyyxf),(的最大值为a37 王新敞 如果 -1a2，那么当直线l过顶点A（2，-1）时，axyyxf),(最 小，最小值为-1-2a. 如果a 2，那么当直线l过顶点B（ 3， 1）时， axyyxf),(最小，最小值为1-3a 王新敞 说明： 由于直线l的斜率为参数a，所以在求截距k的最值时， 要注意对参 数a进行讨论，方法是直线l动起来 王新敞 例 3 某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱，已知生产甲种棉纱1 吨需耗一级子棉 2 吨、二级子棉1 吨；生产乙种棉纱需耗一级子棉1 吨、二级子棉2 吨，每 1 吨甲种棉纱的利
8、润是600 元，每 1 吨乙种棉纱的利润是900 元，工厂在生产这 两种棉纱的计划中要求消耗一级子棉不超过300 吨、 二级子棉不超过250 吨 .甲、 乙两种棉纱应各生产多少(精确到吨 )，能使利润总额最大? 分析 ：将已知数据列成下表： 产品 甲种棉纱 （1 吨） 乙种棉纱 （1 吨） 资源限额 （吨） 一级子棉（吨）2 1 300 (2) (1) y=ax y=-2x+1 x+y=1 x+y=4 x= 3 2 y=2x-5 4 4 F E D(1,0) B(3,1) A(2,-1) C(-3,7) x O y 资源 消耗量 第 4 页 共 4 页 解：设生产甲、乙两种棉纱分别为x 吨、
9、y 吨，利润总额为z 元，那么 0 0 2502 3002 y x yx yx z=600x+900y. 作出以上不等式组所表示的平面区域(如图 )， 即可行域 王新敞 作直线 l：600x+900y=0，即直线l： 2x+3y=0, 把直线 l 向右上方平移至l1的位置时， 直线经过可 行域上的点M，且与原点距离最大，此时z=600x+900y 取最大值 .解方程组 2502 3002 yx yx ,得 M 的坐标为x= 3 350 117，y= 3 200 67 王新敞 答：应生产甲种棉纱117 吨，乙种棉纱67 吨，能使利润总额达到最大 王新敞 例 4 要将甲、乙两种长短不同的钢管截成A
10、、B、C 三种规格，每根钢管 可同时截得三种规格的短钢管的根数如下表所示： 规格类型 A 规格B 规格C 规格 甲种钢管2 1 4 乙种钢管2 3 1 今需 A、B、C 三种规格的钢管各13、16、18 根，问各截这两种钢管多少 根可得所需三种规格钢管，且使所用钢管根数最少 王新敞 解：设需截甲种钢管x 根，乙种钢管y 根，则 0 0 184 163 1322 y x yx yx yx 作出可行域 (如图 )： 目标函数为z=x+y,作出一组平行直线x+y=t 中 (t 为参数 )经过可行域内的点 且和原点距离最近的直线，此直线经过直线4x+y =18 和直线x+3y=16 的交点 二级子棉（
11、吨）1 2 250 利 润（元）600 900 钢管类型 M(117,67) x+2y=250 2x+y=300 150250 300 125 x O y B(4,4) A 16 18 4x+y=18 x+3y=16 2x+2y=13xO y 第 5 页 共 5 页 A( 11 46 , 11 38 )，直线方程为x+y= 11 84 .由于 11 38 和 11 46 都不是整数，所以可行域内的 点( 11 46 , 11 38 )不是最优解 王新敞 经过可行域内的整点且与原点距离最近的直线是x+y=8,经过的整点是B(4， 4)，它是最优解 王新敞 答：要截得所需三种规格的钢管，且使所截两
12、种钢管的根数最少方法是， 截甲种钢管、乙种钢管各4 根 王新敞 四、课堂练习： 图中阴影部分的点满足不等式组 0 0 62 5 y x yx yx 王新敞 在这些点中，使目标函数yxk86取得最大值的点的坐标是_ 王新敞 参考答案： (0，5) 王新敞 五、小结 王新敞 求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的格式与步骤： （1）寻找线性约束条件，线性目标函数； （2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域； （3）在可行域内求目标函数的最优解 王新敞 六、课后作业： 1. 某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产甲种产品1t 需耗 A 种矿石 8t、B 种矿石8t、煤 5t;生产乙种产品1t 需
13、耗 A 种矿石 4t、B 种矿石8t、煤 10t.每 1t 甲种产品的利润是500 元，每 1t 乙种产品的利润是400 元.工厂在生产这两种产 品的计划中要求消耗A 种矿石不超过320t、 B 种矿石不超过400t、 煤不超过450t. 甲、乙两种产品应各生产多少能使利润总额达到最大? 2.某人需要补充维生素，现有甲、乙两种维生素胶囊，这两种胶囊都含有 维生素 A、C、D、E 和最新发现的Z.甲种胶囊每粒含有维生素A、C、D、E、Z 分别是 1mg、1mg、4mg、4mg、5mg；乙种胶囊每粒含有维生素A、C、D、E、 Z 分别是 3mg、2mg、1mg、3mg、2mg.如果此人每天摄入维生
14、素A 至多 19mg， 维生素 C 至多 13mg，维生素D 至多 24mg，维生素 E 至少 12mg，那么他每天 应服用两种胶囊各多少粒才能满足维生素的需要量，并能得到最大量的维生素 Z 王新敞 3.张明同学到某汽车运输队调查，得知此运输队有8 辆载重量为6t 的 A 型 卡车与 6 辆载重量为10t 的 B 型卡车，有 10 名驾驶员 .此车队承包了每天至少搬 运 720t 沥青的任务 .已知每辆卡车每天往返的次数为A 型卡车 16 次， B 型卡车 2x+y=6 x+y=5 6 35 5 x O y 第 6 页 共 6 页 12 次.每辆卡车每天往返的成本费为A 型车 240 元， B
15、 型车 378 元.根据张明同 学的调查写出实习报告，并回答每天派出A 型车与 B 型车各多少辆运输队所花 的成本最低 ? 4.某厂生产A 与 B 两种产品，每公斤的产值分别为600 元与 400 元.又知每 生产 1 公斤 A 产品需要电力2 千瓦、煤4 吨；而生产1 公斤 B 产品需要电力3 鱭、煤 2 吨.但该厂的电力供应不得超过100 鱭，煤最多只有120 吨.问如何安排 生产计划以取得最大产值? 5.某钢厂两个炼钢炉同时各用一种方法炼钢.第一种炼法每炉用a小时 (包括清炉 时间 )；第二种炼法每炉用b 小时 (包括清炉时间).假定这两种炼法，每炉出钢都 是 k 公斤，而炼1 公斤钢的
16、平均燃料费第一法为m 元，第二法为n 元.若要在 c 小时内炼钢的公斤数不少于d，问应怎样分配两种炼法的任务，才使燃料费用 最少 ?(kac+kbcdab0，mn) 王新敞 参考答案： 1.甲产品 30t、乙产品20t 王新敞 2.5 粒甲种胶囊，4 粒乙种胶囊 王新敞 3.A 型车 5 辆， B 型车 2 辆 王新敞 4.A 产品 20 公斤、 B 产品 20 公斤 王新敞 5.当 mn 时，第一种炼法应炼 b kcbd 公斤，第二种炼法应炼 b kc 公斤；当m n 时，第一种炼法应炼 a kc 公斤，第二种炼法应炼 a kcad 公斤 王新敞 七、板书设计（略） 王新敞 八、课后记： 王新敞王新敞