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1、解析几何 热点一圆锥曲线中的最值问题 圆锥曲线中的最值问题是高考中的热点问题，常涉及不等式、函数的值域问题，综合性比较强，解法灵活 多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何方法，即利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定 理、性质等进行求解；二是利用代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个（些）参数的 函数（解析式） ，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解. 题型一利用几何性质求最值 【例 1】设 P 是椭圆 x 2 25 y 2 9 1 上一点， M，N 分别是两圆： (x4)2y21 和(x 4)2y21 上的点，则 |PM| |PN|的最小值、最大值分别为() A9，1
2、2 B8，11 C8，12 D10，12 答案C 【类题通法】 利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解，也叫做几何法 【对点训练】 如图所示，已知直线l：ykx2 与抛物线C：x2 2py(p0)交于 A，B 两点， O 为坐标原点，OAOB (4， 12) (1)求直线 l 和抛物线C 的方程； (2)抛物线上一动点P 从 A 到 B 运动时，求ABP 面积的最大值 解析(1)由 ykx 2， x 2 2py， 得 x22pkx4p0. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x2 2pk，y1y2k(x1x2)4 2pk 24. 因为OAOB (x1 x2，y
3、1 y2) ( 2pk， 2pk24) ( 4， 12)，所以 2pk 4， 2pk24 12， 解得 p 1， k 2. 所以直线l 的方程为y2x 2，抛物线C 的方程为x2 2y. (2)设 P(x0，y0)，依题意，知抛物线过点P 的切线与 l 平行时， ABP 的面积最大，又y x，所以 x0 2，故 x0 2， y0 1 2x 2 0 2，所以 P(2， 2) 此时点 P 到直线 l 的距离 d|2 2 2 2| 2 2 12 4 5 4 5 5 . 由 y2x2， x 2 2y， 得 x 24x40，故 x 1x2 4，x1x2 4， 所以 |AB|1k2x1 x2 24x 1x
4、2 1 224 2 4 4 4 10. 所以 ABP 面积的最大值为 410 4 5 5 2 8 2. 题型二建立目标函数求最值 【例 2】已知 ABP 的三个顶点都在抛物线C：x24y 上， F 为抛物线 C 的焦点，点M 为 AB 的中点，PF 3FM. (1)若|PF|3，求点 M 的坐标； (2)求 ABP 面积的最大值 (2)设直线 AB 的方程为y kxm，点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)， 由 ykxm， x 24y， 得 x 24kx4m0. 于是 16k216m0，x1x24k， x1x2 4m， 所以 AB 中点 M 的坐标为 (2k,2k2m) 由
5、PF3FM，得 (x0,1y0)3(2k,2k2m1)， 所以 x0 6k， y046k 23m. 由 x2 04y0得 k 21 5m 4 15， 由 0，k 20，得1 3f 4 3 5 9. 所以当 m 1 9时， f(m)取到最大值 256 243，此时 k 55 15 . 所以 ABP 面积的最大值为 2565 135 . 【类题通法】 (1)当题目中给出的条件有明显的几何特征，考虑用图象性质来求解 (2)当题目中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值求函数最 值的常用方法有配方法、判别式法、单调性法、三角换元法等 【对点训练】 平面直角坐标系xOy
6、 中，已知椭圆C： x 2 a 2 y 2 b 21(ab0)的离心率为 3 2 ，左、右焦点分别是F1，F2.以 F1为 圆心、以3 为半径的圆与以F2为圆心、以1 为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上 (1)求椭圆 C 的方程； (2)设椭圆 E： x 2 4a 2 y 2 4b 2 1，P 为椭圆 C 上任意一点过点P 的直线 ykxm 交椭圆 E 于 A，B 两点，射线 PO 交椭圆 E 于点 Q. 求 |OQ| |OP|的值； 求 ABQ 面积的最大值 解析(1)由题意知2a4，则 a2. 又 c a 3 2 ，a2c2b2，可得 b1， 所以椭圆C 的方程为 x 2 4 y21. 设
7、 A(x1，y1)，B(x2, y2) 将 ykx m 代入椭圆E 的方程， 可得 (14k2)x2 8kmx4m2160， 由 0，可得 m20)的一个焦点为F(1,0)，左、右顶点分别为A，B.经过点 F 的直线 l 与 椭圆 M 交于 C，D 两点 (1)当直线 l 的倾斜角为45时，求线段CD 的长； (2)记 ABD 与 ABC 的面积分别为S1和 S2，求 |S1 S2|的最大值 (2)当直线 l 的斜率不存在时，直线方程为x 1， 此时 ABD 与 ABC 面积相等， |S1S2|0； 当直线 l 的斜率存在时，设直线方程为yk(x1)(k0)， 联立方程，得 x 2 4 y 2
8、 3 1， y k x1 ， 消去 y，得 (34k 2)x28k2x4k2120， 0，且 x1x2 8k 2 34k 2，x1x2 4k 212 34k 2， 此时 |S1S2|2|y2| |y1|2|y2y1|2|k(x21)k(x11)| 2|k(x2x1)2k| 12|k| 34k 2， 因为 k 0，上式 12 3 |k|4|k| 12 2 3 |k| 4|k| 12 2 12 3当且仅当k 3 2 时等号成立， 所以 |S1S2|的最大值为 3. 【类题通法】 (1)求最值问题时，一定要注意对特殊情况的讨论如直线斜率不存在的情况，二次三项式最高次项的系数 的讨论等 (2)利用基本
9、不等式求函数的最值时，关键在于将函数变形为两项和或积的形式，然后用基本不等式求出最 值 【对点训练】 定圆 M：(x3)2y216，动圆 N 过点 F(3， 0)且与圆 M 相切，记圆心N 的轨迹为E. (1)求轨迹 E 的方程； (2)设点 A，B，C 在 E 上运动， A 与 B 关于原点对称，且|AC|BC|，当 ABC 的面积最小时，求直线AB 的 方程 (2)当 AB 为长轴 (或短轴 )时， SABC 1 2|OC| |AB| 2. 当直线AB 的斜率存在且不为0 时，设直线AB 的方程为ykx，A(xA，yA)，由题意， C 在线段 AB 的中垂 线上，则OC 的方程为y 1 k
10、x. 联立方程 x 2 4 y2 1， ykx 得， x 2 A 4 14k 2，y 2 A 4k 2 14k 2， |OA| 2x2 Ay 2 A 4 1k 2 14k 2. 将上式中的k 替换为 1 k，可得 |OC| 24 1k 2 k 24. SABC2SAOC|OA| |OC| 4 1k 2 14k 2 4 1k 2 k 24 4 1k 2 14k 2 k 2 4 . 1 4k2 k 24 14k 2 k 24 2 5 1k 2 2 ， SABC 8 5，当且仅当 1 4k2k24，即 k 1时等号成立，此时ABC 面积的最小值是 8 5.2 8 5， ABC 面积的最小值是 8 5
11、，此时直线 AB 的方程为yx 或 y x. 热点二圆锥曲线中的范围问题 圆锥曲线中的范围问题是高考中的热点问题，常涉及不等式的恒成立问题、函数的值域问题，综合性比较 强.解决此类问题常用几何法和判别式法. 题型一利用判别式构造不等关系求范围 【例 4】已知 A，B，C 是椭圆 M： x 2 a 2 y 2 b 21(ab0)上的三点，其中点A 的坐标为 (23，0)，BC 过椭圆的 中心，且ACBC0，|BC|2|AC|. (1)求椭圆 M 的方程； (2)过点 (0，t)的直线 l(斜率存在时 )与椭圆 M 交于两点P，Q，设 D 为椭圆 M 与 y 轴负半轴的交点，且|DP| |DQ|，
12、求实数t 的取值范围 (2)由条件 D(0， 2)，当 k0 时，显然 20 可得 t21，将代入得，10)的左、右焦点，若 P 是该椭圆上的一个动点，且 1 PF 2 PF的最大 值为 1. (1)求椭圆 E 的方程； (2)设直线 l：xky 1 与椭圆 E 交于不同的两点A，B，且 AOB 为锐角 (O 为坐标原点 )，求 k 的取值范围 即 1 1b 2 4 42b24，解得 b21. 故所求椭圆E 的方程为 x 2 4 y21. (2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由 x ky1 x 2 4 y 21 得(k24)y22ky30， (2k)212(4k2) 16k2480，
13、 故 y1y2 2k k 24， y1 y2 3 k 24. 又 AOB 为锐角，故OAOBx1x2y1y20， 又 x1x2(ky11)(ky2 1) k2y1y2k(y1y2)1， 所以 x1x2y1y2(1k2)y1y2k(y1y2)1(1k2) 3 4 k 2 2k 2 4k 21 33k22k24k2 4k 2 14k 2 4k 20，所以 k 2b0)的离心率为 2 2 ，过点M(1,0)的直线 l 交椭圆 C 于 A，B 两点， |MA| |MB|，且当直线l 垂直于 x 轴时， |AB|2. (1)求椭圆 C 的方程； (2)若 1 2，2 ，求弦长 |AB|的取值范围 (2)
14、当过点 M 的直线斜率为0 时，点 A，B 分别为椭圆长轴的端点， |MA| |MB| 21 21 3222 或 |MA| |MB| 2 1 2 1 32 21，于是上式化简整理可得， PEQF 9t 1 4t1 1 3t1 63t 2 12t 2t1 63 49 4 1 t 1 2 2. 由 t1，得 01 t 1，所以 21 4 PEQF 36 7 . 综合可知，PEQF的取值范围为21 4 ， 36 7 . 热点三圆锥曲线中的几何证明问题 圆锥曲线中的几何证明问题多出现在解答题中，难度较大，多涉及线段或角相等以及位置关系的证明等. 【例 6】如图，圆C 与 x 轴相切于点T(2,0)，与 y 轴正半轴相交于两点M，N(点 M 在点 N 的下方 )，且 |MN| 3. (1)求圆 C 的方程； (2)过点 M 任作一条直线与椭圆 x 2 8 y 2 4 1 相交于两点A， B，连接 AN，BN，求证： ANM BNM.