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1、轮换对称不等式的证明技巧第 1 页 共 7 页 轮换对称不等式的证明技巧 关注微信公众号“高中数学研讨会” ，获取更多数学资料 轮换对称不等式形式优美，证明技巧很多，但规律难寻。本文介绍利用基本不等式等号成立 的条件凑项证明，只要领悟添项的技巧，这类不等式完全可以程式化证明，供参考。 一、凑项升幂法 例1已知 Rzyx,，且1zyx， 求证：21141414zyx 分析：由于当 3 1 zyx时，上述不等式的“=”成立，于是 3 7 141414zyx 。 证明：因为14 3 7 14 3 7 2xx ，所以 )52( 7 3 14xx ，同理 )52( 7 3 14yy ， )52( 7 3
2、 14zz，上述三式相加，并将1zyx代入化简即得证。 二、凑项降幂法 例2证明 Cauchy 不等式 n aaa aaa n n 2 2122 2 2 1 )( 证明：设aaaa n21 ，则 ii a n a n a a 2 )( 22 ，所以 n i i n i i a n a n a na 1 2 1 2 2 )(， 即 n aaa aaa n n 2 2122 2 2 1 )( 。 三、凑项去分母法 例 3设 n xxx, 21 是正数，且1 21n xxx， 求证： 2 1 1 2 1 2 1 32 2 2 21 2 1 xx x xx x xx x xx x n n nn n （
3、1990 年第 24 届全苏数学奥林匹克十年级题） 分析：由于当 n xxx n 1 21 时等号成立，于是)( 4 1 1 1 2 ii ii i xx xx x 。 证明：设 11 xxn ，因为 iii ii i xxx xx x )( 4 1 1 1 2 所以 n i i n i i n i i n i ii i xxx xx x 11 1 11 1 2 )( 4 1 ，即 2 1 11 2 n iii i xx x 。 例 4设 Rcba,，且1abc，求证： 2 3 )( 1 )( 1 )( 1 333 bacacbcba （ 1995 年第 36 届 IMO 题 2） 轮换对称不
4、等式的证明技巧第 2 页 共 7 页 证明：原不等式等价于 2 3 )()()( 222222 bac ba acb ac cba cb 当a=b=c=1时 等 号 成 立 ， 此 时)( 4 1 )( 22 cba cba cb ， 所 以 ，bccba cba cb )( 4 1 )( 22 ， 同 理 ， caacb acb ac )( 4 1 )( 22 ，abbac bac ba )( 4 1 )( 22 ，上述三式相加并化简得 2 3 2 3 )( 2 1 )()()( 3 222222 cabcabcabcab bac ba acb ac cba cb 例 5 设角 A、B、C满
5、足 1coscoscos 222 CBA 求证： 2 9 sin 1 sin 1 sin 1 222 CBA 分析：原条件等价于2sinsinsin 222 CBA，当 3 2 sinsinsin 222 CBA时等号成立，于是 3 4 sin9 sin 1 2 2 A A ，3 4 sin9 sin 1 2 2 B B ，3 4 sin9 sin 1 2 2 C C 上述三式相加并化简得证，证明略。 四、凑项平衡系数法 例 6设 z0，yxz，则)( 5 6 222 xyzxyzzyx。 分析：当x=y= 2 z 时等号成立。 证 明 ： 因 为xz z x 22 ) 2 (，yz z y
6、22 ) 2 (，xyyx3)( 2 322 ， 将 上 述 三 式 相 加 并 化 简 得 ， xyyzxzzyx 5 6 )( 5 2 5 1 222 所以，xyyzxzzzyx 5 6 )( 5 2 5 4 2222 xyyzxzyxz 5 6 )( 5 2 )( 5 4 即)( 5 6 222 xyzxyzzyx。 注：只有式的系数凑成 2 3 ，式中 xy 的系数才能是 5 6 。 上述各种凑项方法不是相对独立的，可以交替使用，但凑项的关键是在求和时能利用已知条 件，并能取到等号。 注：本文发表于上海中学数学2003 年第 6 期 轮换对称不等式的证明技巧第 3 页 共 7 页 关注
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