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1、专题强化练(五)万有引力与航天(满分:100分时间:50分钟)一、选择题(共7小题,每小题8分,共56分)1.(考点2)两个靠得很近的天体绕着它们连线上的一点(质心)做圆周运动,构成稳定的双星系统。双星系统运动时,其轨道平面上存在着一些特殊的点,在这些点处,质量极小的物体(如人造卫星)可以相对两星体保持静止,这样的点被称为“拉格朗日点”。现将“地月系统”看作双星系统,如图所示,O1为地球球心、O2为月球球心,它们绕着O1O2连线上的O点以角速度做圆周运动。P点到O1、O2距离相等且等于O1O2间距离,该点处小物体受地球引力FE和月球引力FM的合力为F,方向恰好指向O,F提供向心力,可使小物体也
2、绕着O点以角速度做圆周运动。因此P点是一个拉格朗日点。现以O1O2连线方向为x轴,过O1与O1O2垂直方向为y轴建立直角坐标系。A、B、C分别为P关于x轴、y轴和原点O1的对称点,D为x轴负半轴上一点,D点到O1的距离小于P点到O1的距离。根据以上信息可以判断()A.A点一定是拉格朗日点B.B点一定是拉格朗日点C.C点可能是拉格朗日点D.D点可能是拉格朗日点解析由对称性可知,在A点的小物体受地球和月球吸引力的合力方向一定指向O点,其受力情况与P点相同,可知A点一定是拉格朗日点,选项A正确;在B点的小物体,受地球的引力和月球的引力的合力不可能指向O点,则B点不可能是拉格朗日点;同理C点也不可能是
3、拉格朗日点,选项BC错误;在D点时,小物体受到的地球的引力大于在P点时地球的引力,再加上月球的引力,则在D点的合力大于在P点时的合力,则角速度不可能与在P点时的角速度相等,即D点不可能是拉格朗日点,选项D错误。答案A2.(考点1、2)(多选)(2018山西晋城三模)探索火星的奥秘承载着人类征服宇宙的梦想。假设人类某次利用飞船探测火星的过程中,飞船只在万有引力作用下贴着火星表面绕火星做圆周运动时,测得其绕行速度为v,绕行一周所用时间为T,已知引力常量为G,则()A.火星表面的重力加速度为vTB.火星的半径为Tv2C.火星的密度为3GT2D.火星的质量为Tv22G解析飞船在火星表面做匀速圆周运动,
4、轨道半径等于火星的半径,根据v=2RT,得R=vT2,选项B正确;根据万有引力提供向心力,有GMmR2=m42T2R,得火星的质量M=42R3GT2,根据密度公式得火星的密度=MV=42R3GT24R33=3GT2,选项C正确;根据M=4R33=3GT243vT23=Tv32G,选项D错误;根据重力等于万有引力得,mg=GMmR2,得g=GMR2=2vT,选项A错误。答案BC3.(考点3)(多选)(2019四川广元高考适应性统考)目前各国发射同步卫星的方法可简化为如下情景:先把卫星发射到离地面高度为200 km300 km的圆形轨道上(如图轨道1)做匀速圆周运动,在适当的位置Q点火,使卫星进入
5、如图所示的椭圆轨道2,在远地点P再开动卫星上的发动机,使卫星进入地球静止轨道3做匀速圆周运动。只考虑地球引力,以下说法正确的是()A.卫星在轨道1上运行时,已知其周期,则可以计算出地球的质量B.卫星在轨道1上运行的角速度与在轨道2运行经过Q点时的角速度相等C.由开普勒定律可知,卫星在三条轨道上的周期关系为T1T2v1Q和v3Pv2P解析由于题目没有给出地球半径R,或环绕线速度,故不能根据环绕法计算地球的质量,选项A错误;因为卫星在轨道1上经过Q点时的线速度大于其在轨道2上经过Q点时的线速度,根据=vr,卫星在轨道1上经过Q点时的角速度大于其在轨道2上经过Q点时的角速度,选项B错误;根据开普勒第
6、三定律可知,若中心天体不变,各环绕轨道半长轴的三次方和周期平方的比值为同一个常数,即r3T2=k。因为1、2、3三轨道的等效半长轴的关系为r1r2r3,故T1T2v1Q和v3Pv2P,选项D正确。答案CD4.(考点3)(2019内蒙古赤峰二中月考)“嫦娥三号”的飞行轨道示意图如图所示。假设“嫦娥三号”在环月圆轨道和椭圆轨道上运动时,只受到月球的万有引力,则()A.“嫦娥三号”在环月椭圆轨道上P点的速度大于Q点的速度B.“嫦娥三号”由环月圆轨道变轨进入环月椭圆轨道时,应让发动机点火使其加速C.“嫦娥三号”在圆轨道和椭圆轨道经过P点时的加速度相等D.若已知“嫦娥三号”环月圆轨道的半径、运动周期和引
7、力常量,则可算出月球的密度解析“嫦娥三号”在环月段椭圆轨道上P点向Q点运动中,距离月球越来越近,月球对其引力做正功,故速度增大,即“嫦娥三号”在环月段椭圆轨道上P点的速度小于Q点的速度,选项A错误;“嫦娥三号”在环月段圆轨道上P点减速,使万有引力大于向心力做近心运动,才能进入环月段椭圆轨道,选项B错误;根据牛顿第二定律得a=GMr2,所以“嫦娥三号”在圆轨道和椭圆轨道经过P点时的加速度相等,选项C正确;根据万有引力提供向心力GMmr2=m42T2r,可以解出月球的质量,由于不知道月球的半径,无法知道月球的体积,故无法计算月球的密度,选项D错误。答案C5.(考点4)(多选)(2019辽宁大连甘井
8、子区渤海高中模拟)宇宙中,两颗靠得比较近的恒星,只受到彼此之间的万有引力作用互相绕转,称之为双星系统。在浩瀚的银河系中,多数恒星都是双星系统。设某双星系统A、B绕其连线上的O点做匀速圆周运动,如图所示。若AOOB,则()A.星球A的质量一定大于B的质量B.星球A的线速度一定大于B的线速度C.双星间距离一定,双星的总质量越大,其转动周期越大D.双星的质量一定,双星之间的距离越大,其转动周期越大解析根据万有引力提供向心力m12r1=m22r2,因为r1r2,所以m1OB,可知,A的线速度大于B的线速度,选项B正确;设两星体间距为L,中心O到A的距离为r1,到B的距离为r2,根据万有引力提供向心力公
9、式得:Gm1m2L2=m142T2r1=m242T2r2,解得周期为T=2L3G(m1+m2),由此可知双星的距离一定,质量越大周期越小,选项C错误;总质量一定,转动周期越大,双星之间的距离就越大,选项D正确。答案BD6.(考点4)(多选)(2019甘肃静宁第一中学模拟)三颗质量均为M的星球(可视为质点)位于边长为L的等边三角形的三个顶点上。如图所示,如果它们中的每一颗都在相互的引力作用下沿等边三角形的外接圆轨道运行,引力常量为G,下列说法正确的是()A.其中一个星球受到另外两个星球的万有引力的合力大小为3GM22L2B.其中一个星球受到另外两个星球的万有引力的合力指向圆心OC.它们运行的轨道
10、半径为32LD.它们运行的速度大小为GML解析根据万有引力定律,任意两个星体间的引力大小为:F=GM2L2,每个星体的合力:F合=2Fcos 30=3GM2L2,根据几何关系可知,合力的方向指向圆心O,选项A错误、B正确;星球圆周运动的轨道半径R=L2cos30=33L,选项C错误;根据万有引力的合力提供圆周运动向心力可知,F合=Mv2R,可得v=F合RM=3GM2L233LM=GML,选项D正确。答案BD7.(考点2、3)(2019四川眉山中学月考)如图为“高分一号”与北斗导航系统两颗卫星在空中某一面内运动的示意图,“北斗系统中两颗卫星“G1”和“G3”以及“高分一号”均可认为绕地心O做匀速
11、圆周运动,卫星“G1”和“G3”的轨道半径均为r,某时刻两颗卫星分别为轨道上的A、B两位置,“高分一号”在C位置,若卫星均顺时针运行,地球表面处的重力加速度为g,地球半径为R,不计卫星间的相互作用力。则以下说法正确的是()A.卫星“G1”和“G3”的加速度大小相等均为R2rgB.卫星“G1”由位置A运动到位置B所需要的时间为23RrRC.如果调动“高分一号”卫星到达卫星“G3”所在的轨道,必须对其减速D.“高分一号”是低轨道卫星,其所在高度存在稀薄气体,运行一段时间后,高度会降低,速度增大,机械能会减小解析根据万有引力提供向心力有GMmr2=ma,根据在地球表面有GMmR2=mg,联立可得卫星
12、“G1”和“G3”的加速度大小为a=gR2r2,选项A错误;根据万有引力提供向心力有GMmr2=mr2,解得=GMr3=gR2r3,所以卫星1由位置A运动到位置B所需的时间t=3=r3Rrg,选项B错误;如果调动“高分一号”卫星到达卫星“G3”所在的轨道,“高分一号”卫星必须加速,使其做离心运动,选项C错误;“高分一号”是低轨道卫星,其所在高度有稀薄气体,克服阻力做功,速度减小,将做近心运动,高度降低,机械能减小,选项D正确。答案D二、计算题(第8题12分,第9题16分,第10题16分,共44分)8.(考点4)(2019湖南地质中学高三月考)某双星系统中两个星体A、B的质量都是m,且A、B相距
13、L,它们正围绕两者连线上的某一点做匀速圆周运动。实际观测该系统的周期T要小于按照力学理论计算出的周期理论值T0,且TT0=k(k1),于是有人猜测这可能是受到了一颗未发现的星体C的影响,并认为C位于双星A、B的连线中点。求:(1)两个星体A、B组成的双星系统周期理论值;(2)星体C的质量。解析(1)两星的角速度相同,根据万有引力充当向心力知:GmmL2=m2r1=m2r2可得:r1=r2两星绕连线的中点转动,则GmmL2=m2T02L2解得:T0=2L32Gm。(2)因为C的存在,双星的向心力由两个力的合力提供,则GmmL2+GMm(L2)2=m2T2L2再结合:TT0=k可解得:M=(1-k
14、2)m4k2。答案(1)2L32Gm(2)(1-k2)m4k29.(考点1、2)(2019北京第四中学高三上学期期中考试)如图所示,一宇宙飞船绕地球中心做圆周运动,已知地球半径为R,轨道1半径是2R,现在欲将飞船转移到另一个半径为4R的圆轨道2上去,已知地球表面处的重力加速度为g,飞船质量为m,万有引力常数为G,求:(1)地球的质量;(2)飞船在1、2两个轨道上做圆周运动的环绕速度之比v1v2;(3)理论上,若规定距地心无穷远处为引力势能零势能点,飞船和地球系统之间的引力势能表达式为Ep=-GMmr(其中r为飞船到地心的距离),请根据这一理论,计算完成这次轨道转移点火需要的能量。解析(1)设在
15、地面附近有一小物体m0,m0g=Gm0MR2,可得地球的质量M=gR2G。(2)飞船在轨道1有:GmM(2R)2=mv122R,v1=GM2R飞船在轨道2有:GmM(4R)2=mv224R,v2=GM4R可得:v1v2=2。(3)设飞船在2R和4R轨道上稳定运行时的机械能分别为E1和E2,则:E1=Ek1+Ep1,Ek1=12mv12,GmM(2R)2=mv122R,Ep1=-GMm2R,E1=-GmM4R=-mgR4同理可得:E2=-GmM8R=-mgR8所以完成这次轨道转移点火需要的能量E=E2-E1=mgR8。答案(1)gR2G(2)2(3)mgR810.(考点2)(2019北京中国人民
16、大学附属中学月考)设想人类在某一X行星上发射了两颗质量均为m的“人造X星卫星”,行星可以看作质量M、半径R的均匀球体,甲乙两颗卫星的轨道半径分别为2R和3R,在同一平面内,运行方向相同,不计两卫星之间的万有引力,万有引力常量为G。(1)试求甲乙两卫星各自的周期;(2)若某时刻两卫星与行星中心正好在一条直线上,最短经过多长时间,三者正好又在一条直线上?(3)如果将两颗卫星用轻而结实的绳连接并且给以合适的速度,它们将可以一起绕行星运动且与行星中心始终在一条直线上,求此情况下两颗卫星的运动周期。解析(1)卫星做圆周运动的向心力等于X星的万有引力,则对甲:GmM(2R)2=m2R42T12解得:T1=4R2RGM;对乙:GmM(3R)2=m3R42T22解得:T2=6R3RGM。(2)当三者正好又在一条直线上时需要的最短时间满足:2T1t-2T2t=2,解得:t=126R(33-22)RGM。(3)设绳的拉力为F,则对甲:GMm(2R)2-F=m42T22R;对卫星乙:GMm(3R)2+F=m42T23R联立解得:T=12R5R13GM。答案(1)4R2RGM6R3RGM(2)126R(33-22)RGM(3)12R5R13GM