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1、1 拼十年寒窗挑灯苦读不畏难；携双亲期盼背水勇战定夺魁。如果你希望成功，以恒心为良友，以经验为参谋，以小心为兄弟，以希望为哨兵。 专题研究球与几何体的切接问题 1(2017唐山模拟) 正三棱锥的高和底面边长都等于6，则其外接球的表面积为( ) A64B32 C16D8 答案A 解析如图，作 PM 平面 ABC于点 M ，则球心 O在 PM上，PM 6，连接 AM ，AO ，则 OP OA R(R为外接球半径) ，在 RtOAM 中， OM 6R，OA R，又 AB 6，且 ABC为等边三角 形，故AM 2 3 6 2322 3，则 R 2(6 R)2(2 3) 2，则 R4，所以球的表面积 S
2、4 R 264. 2已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是( ) A16B20 C24D32 答案C 解析由 VSh，得 S4，得正四棱柱底面边长为2. 画出球的轴截面可得，该正四棱柱的对角线即为球的直 径，所以球的半径为R1 2 2 2 2242 6. 所以球的表面积为S4 R 224. 故选 C. 3若一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是( ) A8B6 C4D 答案C 解析设正方体的棱长为a，则 a 38. 因此内切球直径为 2， S表4 r 24. 4(2017课标全国 ) 已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径长为2 的同一个球的
3、球面上，则该圆 柱的体积为 ( ) AB. 3 4 C. 2 D. 4 答案B 解析根据已知球的半径长是1，圆柱的高是1，如图，所以圆柱的底面半径r 2 2 12 2 3 2 ，所 以圆柱的体积V r 2h ( 3 2 ) 213 4. 故选 B. 5(2018安徽合肥模拟) 已知球的直径SC 6，A，B 是该球球面上的两点，且AB SA SB 3，则三棱锥S ABC的体积为 ( ) A. 32 4 B. 92 4 2 C. 32 2 D. 92 2 答案D 解析设该球球心为O ，因为球的直径SC 6，A，B 是该球球面上的两点，且AB SA SB 3，所以三棱锥S OAB是棱长为3 的正四面
4、体， 其体积 VSOAB1 3 1 23 33 2 6 92 4 ，同理 VO ABC9 2 4 ，故三棱锥SABC 的体积 VS ABCVSOAB VO ABC 92 2 ，故选 D. 6已知直三棱柱ABC A1B1C1的 6 个顶点都在球O的球面上，若AB 3，AC 4，AB AC，AA112，则球 O的 半径为 ( ) A. 317 2 B210 C. 13 2 D310 答案C 解析如图，由球心作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点 M. 又 AM 1 2BC 5 2，OM 1 2AA 16， 所以球 O的半径 ROA （ 5 2） 26213 2 . 7(2018广东惠州一模) 已知
5、一个水平放置的各棱长均为4 的三棱锥形容器内有一小球O(质量忽略不计) ， 现从该三棱锥形容器的顶端向内注水，小球慢慢上浮，当注入的水的体积是该三棱锥体积的 7 8时，小球与该三 棱锥各侧面均相切( 与水面也相切 ) ，则小球的表面积等于( ) A. 7 6 B. 4 3 C. 2 3 D. 1 2 答案C 解析由题知，没有水的部分的体积是三棱锥形容器的体积的 1 8，三棱锥形容器的体积为 1 3 3 4 4 2 6 3 4 162 3 ，所以没有水的部分的体积为 22 3 . 设其棱长为a，则其体积为 1 3 3 4 a 2 6 3 a 22 3 ， a2，设小球 的半径为r ，则 4 1
6、3 3r 22 3 ，解得 r 6 6 ，球的表面积为4 1 6 2 3，故选 C. 8. 如图， ABCD A1B1C1D1是棱长为1 的正方体， SABCD是高为 1 的正四棱锥，若点S，A1， B1，C1，D1在同一个球面上，则该球的体积为( ) A. 25 16 B. 49 16 3 C. 81 16 D. 243 128 答案C 解析如图所示， O 为球心，设OG1x，则 OB1SO 2x，同时由正方体的性质可知B1G1 2 2 ，则在Rt OB1G1中， OB1 2G 1B1 2 OG 1 2，即 (2 x)2x2( 2 2 ) 2，解得 x7 8，所以球的 半径 ROB1 9 8
7、 ，所以球的表面积S4R 281 16 ，故选 C. 9(2018郑州质检) 四棱锥PABCD的五个顶点都在一个球面上，该四棱锥的三视图如图 所示， E，F 分别是棱AB ，CD的中点，直线EF被球面所截得的线段长为22，则该球的表面积为( ) A9B3 C22D12 答案D 解析该几何体的直观图如图所示，该几何体可看作由正方体截得，则正方体外接球的直径 即为 PC.由直线 EF被球面所截得的线段长为22，可知正方形ABCD对角线 AC的长为 22， 可得正方形ABCD 的边长 a2，在 PAC中， PC 2 2（ 2 2） 22 3，球的半径R3， S表 4R 24( 3) 212. 10(
8、2014湖南 ) 一块石材表示的几何体的三视图如图所示将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最 大球的半径等于( ) A1 B2 C3 D4 答案B 解析此几何体为一直三棱柱，底面是边长为6，8，10 的直角三角形，侧棱为12，故其最大球的半径为底面 直角三角形内切圆的半径，故其半径为r 1 2(6 810) 2，故选 B. 4 11(20 17天津 ) 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积 为_ 答案 9 2 解析设正方体的棱长为a，则 6a 218，得 a 3，设该正方体外接球的半径为R，则 2R3a3，得 R 3 2， 所以该球的体积为 4
9、3 R 34 3( 3 2) 39 2. 12若一个正四面体的表面积为S1，其内切球的表面积为S2，则 S1 S2 _ 答案 63 解析设正四面体的棱长为a， 则正四面体的表面积为S14 3 4 a 2 3a 2， 其内切球半径为正四面体高的 1 4， 即 r 1 4 6 3 a 6 12 a， 因此内切球表面积为S2 4r 2a 2 6 ， 则S 1 S2 3a 2 6 a 2 63 . 13已知一圆柱内接于球O ，且圆柱的底面圆的直径与母线长均为2，则球 O的表面积为 _ 答案8 解析圆柱的底面圆的直径与母线长均为2，所以球的直径为2 222 822，即球半径为2，所以球的 表面积为4(2
10、) 28. 14(2017衡水中学调研卷) 已知正三棱锥P ABC ，点 P， A，B，C 都在半径为3的球面上，若PA ，PB ，PC 两两相互垂直，则球心到截面ABC的距离为 _ 答案 3 3 解析方法一：先在一个正方体中找一个满足条件的正三棱锥，再利用正方体的性质解 题如图，满足题意的正三棱锥PABC可以是正方体的一部分，其外接球的直径是正方 体的体对角线，且面ABC与体对角线的交点是体对角线的一个三等分点，所以球心到平面 ABC的距离等于体对角线长的 1 6，故球心到截面 ABC的距离为 1 62 3 3 3 . 方法二：用等体积法：VPABCVAPBC求解 ) 15(2018四川成都
11、诊断) 已知一个多面体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是直角边长为1 的等腰 直角三角形， 俯视图是边长为1 的正方形， 若该多面体的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为_ 5 答案3 解析由三视图知几何体为四棱锥，且四棱锥的一条侧棱垂直于底面，高等于 1，其底面是边长为1 的正方形， 四棱锥的外接球即是边长为1 的正方体的外接球， 外接球的直径为3， 外接球的表面积S4( 3 2 ) 2 3. 16 (2018河北唐山模拟) 已知矩形ABEF所在的平面与矩形ABCD所在平面互相垂直， AD 2， AB 3， AF 33 2 ， M为 EF的中点，则多面体M ABCD 的外接球的表面积
12、为_ 答案16 解析记多面体 M ABCD 的外接球的球心为O ， 如图， 过点 O分别作平面ABCD 和平面 ABEF 的垂线，垂足分别为Q，H，连接 MH并延长，交AB于点 N，连接 OM ，NQ ， AQ ，设球 O的 半径为 R，球心到平面ABCD 的距离为 d，即 OQ d，矩形 ABEF所在的平面与矩形ABCD 所在的平面互相垂直，AF 33 2 ，M为 EF的中点， MN 3 3 2 ， AN NB 3 2，NQ 1， R 2( 49 2 ) 2d212(3 3 2 d) 2， d 3 2 ，R 24， 多面体M ABCD 的外接球的表面积为4R 216 . 1(2017课标全国
13、，文) 长方体的长，宽，高分别为3，2， 1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面 积为 _ 答案14 解析依题意得，长方体的体对角线长为3 22212 14，记长方体的外接球的半径为R，则有 2R 14， R 14 2 ，因此球 O的表面积等于4R 214. 2(2018湖南长沙一中模拟) 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三 视图，则该多面体外接球的表面积为( ) 6 A8B. 25 2 C12D. 41 4 答案D 解析根据三视图得出， 几何体是正方体中的一个四棱锥OABCD ， 正方体的棱长为2， A， D 为所在棱的中点根据几何体可以判断，球心应该在过
14、A，D 的平行于正方体底面的中 截面上，设球心到平面BCO的距离为 x，则到 AD的距离为2x，所以 R 2x2( 2) 2，R2 1 2(2 x)2，解得 x3 4，R 41 4 ，该多面体外接球的表面积为4 R 241 4 ，故选 D. 3(2014陕西，理) 已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积 为( ) A. 32 3 B4 C2D. 4 3 答案D 解析因为该正四棱柱的外接球的半径是四棱柱体对角线的一半，所以半径r 1 2 1 212（ 2） 21，所以 V球 4 3 1 34 3 . 故选 D. 4(2018洛阳统一考试) 如图是某几何体的三
15、视图，则该几何体的外接球的表面积为( ) A200B150 C100D50 答案D 解析由三视图知，该几何体可以由一个长方体截去3 个角后得到，该长方体的长、宽、高分别为5、4、3， 所以其外接球半径R满足 2R4 232525 2，所以该几何体的外接球的表面积为S4R 24(5 2 2 ) 2 7 50，故选 D. 5(2018广东清远三中月考) 某一简单几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积是( ) A13B16 C25D27 答案C 解析由三视图可知该几何体是底面为正方形的长方体，底面对角线为4，高为 3，设外接球半径为r，则 2r （22） 2（ 2 2） 2 32 5，
16、r 5 2，长方体外接球的表面积 S 4r 225 . 6(2018福建厦门模拟) 已知球 O的半径为R，A，B，C三点在球O的球面上， 球心 O到平面 ABC的距离为 3 2 R，AB AC BC 23，则球 O的表面积为 ( ) A. 16 3 B16 C. 64 3 D64 答案D 解析因为 AB AC BC 23，所以 ABC为正三角形，其外接圆的半径r 23 2sin60 2，设 ABC外接圆的 圆心为 O1，则 OO1平面 ABC ，所以 OA 2OO 1 2r2，所以 R2(3 2 R) 222，解得 R216，所以球 O的表面积为 4 R 264，故选 D. 7(2018四川广
17、元模拟) 如图， 边长为 2 的正方形ABCD 中，点 E，F 分别是 AB ，BC的中点， 将ADE ，EBF ， FCD分别沿 DE ，EF，FD折起，使得A，B，C三点重合于点A，若四面体A EFD的四个顶点在同一个球面 上，则该球的半径为_ 答案 6 2 解析由题意可知 A EF是等腰直角三角形，且AD平面 AEF. 由于 A EF可以补全为边长为1 的正方形，则该四面体必能补全为长、宽、高分别为1，1，2 的正四棱柱， 8 三棱锥的外接球与正四棱柱的外接球是同一个球，易知正四棱柱的外接球的直径为1 2 1222 6. 故球的半 径为 6 2 . 8(2017德州模拟) 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1 的两个全等的等腰直角 三角形，该几何体的体积是_；若该几何体的所有顶点在同一球面上，则球的表面积是_ 答案 1 3 3 解析由三视图知该几何体是底面为1 的正方形，高为1 的四棱锥，故体积V1 3 1111 3，该几何体与 棱长为 1 的正方体具有相同的外接球，外接球直径为3，该球表面积S 4( 3 2 ) 23，正方体、长方体 的体对角线即为外接球的直径