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1、第 1 页 共 8 页 教学基本信息 课名探究直线与抛物线的交点问题 是否属于 地方课程或校本课程 否 学科数学学段第三学段年级九年级 教材书名：义务教育课程标准实验教科书数学（九年级上册） 出版社：人民教育出版社 教学设计 教学背景分析 教材分析： 函数图象与性质是初中数学和高中数学的重要接轨点之一，直线与抛物线的交点问题是近几年中考和期 末考试的热点问题，事实上, 交点问题是函数教学的重点和难点之一. 引导学生正确的利用数形结合思想是 解决此类问题的关键.特别在二次函数的综合题中，数形结合法更加显示出“形”生动直观，以形助数，用数 解形之功效 . 学情分析： 通过前一阶段的学习，学生已经掌
2、握二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，求函数图象的 交点坐标，较熟练运用函数知识解决实际问题。在初步的综合题练习中，一些学生对复杂题目无从下手，难 以将题目条件和已学的知识建立联系，对于如何想到利用图象,怎么结合图象的问题存在很大的困惑. 教学目标设计 知识与技能 会利用方程工具判断直线与抛物线的交点情况； 过程与方法 通过对一个问题的不断深入研究，让学生体会数形结合的基本方法，掌握以形助数，用数解形的基本要 领；通过对图形不同位置的操作与观察，引导学生体会找到临界位置是解决问题的关键； 情感态度与价值观 通过本节课的学习，使学生进一步体会数形结合的数学思想，提高学生分析问题，解决问
3、题的能力，激 发学生的学习兴趣，树立学生学习数学的信心. 第 2 页 共 8 页 教学重、难点 教学重点： 会利用方程工具判断直线与抛物线的交点情况； 以形助数，引导学生通过对图形不同位置的操作与观察，找到相关问题的临界情况; 用数解形，会用数的办法求出临界时刻的待定系数的值，并正确判断临界时刻是否符合题意. 教学难点： 以形助数，引导学生通过对图形不同位置的操作与观察，找到相关问题的临界情况； 用数解形，会用数的办法求出临界时刻的待定系数的值，并正确判断临界时刻是否符合题意. 教学方法：启发式、讨论式 教学资源：实物投影仪、几何画板课件、学案 教学设计思路 近年来 , 中考中对于利用数形结合
4、思想解决以代数为主的综合题尤为侧重, 但学生对于如何想到利用图 象 , 怎么结合图象的问题存在很大的困惑, 为了能够帮学生建立起数形结合的意识, 让学生应对复杂的问题能 有几个明确的方向. 我从一个熟悉的问题入手,一题多变，层层递进 , 帮助学生建立代数条件与几何条件之间的 联系 ,以形助数，用数解形，从而解决问题. 教学过程 教学 环节 教 师 活 动学 生 活 动设 计 意 图 复习 引入 本节课我们来探究一个与二次函数有关的问题。教 师先给出一个二次函数 2 43yxx ，请同学们 思考你能想到有关它的哪些问题？ 学生回答后教师继续提问，刚才有同学提到了它的 图象与坐标轴的交点坐标，我们
5、请同学们求一下抛 物线 2 43yxx 与坐标轴的交点坐标。 由学生回答，一个 学生说完后请其他 学生补充； 先请同学独立思考 求出图象与坐标轴 交点坐标再由学生 口答解题过程； 通过设计问题，让学生 通过回答问题回忆有关 二次函数的知识点，又 为本节课的交点问题奠 定了知识基础，为开展 本节课的探究活动做好 准备工作 . 第 3 页 共 8 页 求好坐标轴交点后，教师继续追问坐标系中的直线 有哪些？它们与抛物线的交点问题怎么解决，引出 本节课的课题探究直线与抛物线的交点问题 综合 探究 教师举例提问直线y=x 与抛物线的交点问题如何 求，学生很自然的想到了联立方程组求解，教师解 释联立的原理
6、，并且回顾之前求坐标轴交点问题时 实质也是在联立，从而带领学生共同得到了求函数 交点问题的通法（教师板书并引出了数形结合思 想） 教师指出给定直线和抛物线我们会求交点坐标，那 么如果直线动起来了，交点问题怎么解决？ 引出例 1 的第（ 1）小题： 例 1已知抛物线 2 43yxx如图所示， （ 1）若抛物线与直线bxy只有一个交点，求 b 的值 （ 2） （2010 门头沟一模23 题变式）已知抛物线上 P点坐标为（ 4,3 ） ，是否存在与抛物线只交于点P 的直线， 若存在， 请求出直线的解析式；若不存在， 请说明理由 问题（ 1）先让学生 读题，找出本题关 键词，再让学生们 独立思考完成，
7、请 学生代表上黑板写 出解题过程并讲解 后由教师点评，然 后让学生小结本题 做题的收获； 问题（ 2）由学生分 组讨论（教师在学 案上给出讨论提 纲） ，再由小组派代 表上前发言，教师 点评，并让学生体 教师设计这一环节旨在 让学生深刻体会到求交 点问题就是联立方程组 求解的实质，让学生不 仅要知其然而且还要知 其所以然，真正掌握了 交点问题； 问题（1）的设计旨在让 学生体会平行线束与抛 物线的交点问题； 问题（2）的设计旨在让 学生体会过定点的直线 束 与 抛 物 线 的 交 点 问 题，通过小组讨论完成， 学生代表发言，教师点 评强调此题多解问题， 第 4 页 共 8 页 小组讨论提纲：
8、 （ 1）本题的关键词； （ 2）直线如何画？ 怎么运动的？（尺子怎么模拟运动历程？） 从哪里获取的信息？ （ 3）你能否画出满足题目条件的时刻？ 你会求出这个时刻吗？如何求解？谈谈你的思路 （ 3） （ 2013.1 西城期末19 题改编） 将该抛物线在x 轴下方的部分 (不包含与x轴的交点 )记为 G，若直 线bxy与 G 只有一个公共点，则b的取值范 围是 _ 会两个问题的区别 与联系，请学生回 顾（ 1） （2）题谈解 题策略，教师总结 此类问题应先以形 助数确定临界时 刻，再用数解形求 出临界时刻 问题（ 3）由学生仿 照前面的探索过程 独立思考完成“以 形助数”环节，再 请学生上前
9、简述探 索形的思维历程， 教师点评；“用数解 形”环节由学生课 后完成 如果不画图容易丢解， 再次强调以形助数的必 要性讲评完本题后教 师带领学生总结此类问 题的解题策略， 问题 （1） （2） 使学生初步建立起 数形结合的意识； 问题（3）将问题再度提 升，引导学生体会当抛 物线不完整时，动直线 与抛物线交点问题的解 题策略还是先定形，再 解数 通过对问题（1）（3） 的分析 ,引导学生进一 步明确解决问题的关键 是数形结合,通过小组 的合作与交流,进一步 探究如何数形结合,有 哪些关键的切入点. 解决每道题后教师都带 着学生做提升性的归纳 性的小结，提炼出一些 规律性的东西 总结 通过本节
10、课的学习，你有什么收获？（解题策略、 思想方法等方面）；存在什么困惑？ 学生进行方法小 结，教师总结 通过小结使学生理解本 节课所学的内容，明确 核心知识直线与抛 第 5 页 共 8 页 物线交点问题的解题策 略和思想方法 课堂 延伸 课后思考： （ 2009北 京 中 考23题 改 编 ） 将 抛 物 线 2 43yxx 在x轴下方的部分沿x轴翻折，图 象的其余部分保持不变，得到一个新的图象.请你结 合这个新的图象回答： 当直线0 2 1 bbxy与 此图象有两个公共点时，b的取值范围 . 课后思考题是在例（1） 的基础上进一步变式延 伸，应先作出变换后图 象再确定临界位置起 到了巩固提升的
11、作用. 课后 作业 （一）基础篇： 1. 整理并完成学案上板块一例题部分和板块三思 考题部分； 2. 已知抛物线y=x 2+2x+m+1 ， （ 1）若抛物线与x 轴只有一个交点，求m 的值； （ 2）若抛物线与直线y=x+2m 只有一个交点， 求 m 的值，并求出此时交点的坐标 3 （2013.1 西城期末19 题）已知抛物线 32 2 xxy. （ 1）它与 x 轴的交点的坐标为_； （ 2）在坐标系中利用描点法画出它的图象； （ 3）将该抛物线在x轴下方的部分(不包含与x轴 的交点 )记为 G，若直线bxy与 G 只有一个公 巩固本节课所学内容， 分层作业旨在促使不同 层次的学生都能有效
12、地 完成作业 , 通过不同层 次的作业练习达到良好 的学习效果，使优秀的 学生尽早的接触中考压 轴题，积累解决综合题 的解题经验 . x O y 第 6 页 共 8 页 共点，则b的取值范围是_ 4. （2012.1 西城期末 20 题改编）已知函数 2 yxbxc（x 0） ，满足当 x =1 时， 1y ， 且当 x = 0 与 x =4 时的函数值相等 （ 1）求函数 2 yxbxc（x 0）的解析式并画 出它的图象（不要求列表）； （ 2）已知 ,02 ,0 2 x xcbxx y又已知关于x 的方程kxy有三个 不相等的实数根，请利用 图象直接写出实数k 的 取值范围 （二）提高篇：
13、 1. 整理并完成学案上板块一例题部分和板块三思 考题部分； 2. （2012.1 西城期末20 题）已知函数 2 yxbxc （ x 0） ，满足当x =1 时，1y，且当 x = 0 与 x =4 时的函数值相等 （ 1）求函数 2 yxbxc（x 0）的解析式并画 出它的图象（不要求列表）； （ 2）若( )f x表示自变量x 相对应的函数值，且 2 (0), ( ) 2 (0), xbxc x f x x 又已知关于x 的方程( )f xxk 有三个不相等的实数根， 第 7 页 共 8 页 请利用图象直接写出实数k 的取值范围 3. 挑战中考压轴题（2012 北京中考23 题） 已知二
14、次函数 23 (1)2(2) 2 ytxtx在0x和 2x时的函数值相等 （ 1）求二次函数的解析式； （ 2）若一次函数6ykx的图象与二次函数的图 象都经过点( 3)Am，求 m 和k的值； （ 3）设二次函数的图象与x 轴交于点 BC，（点B 在点C的左侧）， 将二次函数的图象在点BC，间的 部分（含点B和点C）向左平移(0)n n个单位后 得到的图象记为G，同时将（ 2）中得到的直线 6ykx向上平移 n 个 单位请结合图象回答： 当平移后的直线与图象 G有公共点时，n 的取 值范围 板书 设计 课题探究直线与抛物线的交点问题 1.形数例题中对函数图象的分析示意图 函数图象的方程组的解
15、的问题 交点问题 1.解题策略：明确动直线与抛物线； 动手操作，确定临界时刻形； 用数解形，求出临界时刻数 第 8 页 共 8 页 课后 检测 1若直线14xy与抛物线kxxy2 2 有 唯一交点，则k=_ 2 （1）已知抛物线 2 43yxx 与直线y=t 有 交点，则t 的取值范围是； （ 2）已知抛物线 2 43yxx 2 7 1x与 直线 y=t 有交点，则t 的取值范围是； （ 3）若关于x 的一元二次方程 2 430xxt（t 为实数）在1x 7 2 的范围内有解，则t 的取值 范围是 课后检测，检测学 生本节课听讲效果 此板块在课下进行，一 方面检测了本节课学生 对所学知识的掌握情 况，另一方面又提出了 新的问题，让学生体会 方程的解也可以转化为 函数图象的交点问题