《(天津专用)2020版高考数学大一轮复习9.3椭圆及其性质精练.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《(天津专用)2020版高考数学大一轮复习9.3椭圆及其性质精练.pdf（18页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、1 。 。 。 内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 9.3 椭圆及其性质 挖命题 【考情探究】 考点内容解读 5 年考情 预测热度 考题示例考向关联考点 1. 椭圆 的定义 和标准 方程 1. 掌握椭圆的定义, 并 会用椭圆的定义进行 解题 2. 掌握椭圆的几何图 形和标准方程 , 并会用 待定系数法求椭圆的 方程 2017 北京 ,19 椭圆的标准 方程 三角形的面 积 2. 椭圆 的几何 性质 1. 掌握椭圆的几何性 质( 范围、对称性等), 并会熟练运用 2. 理解椭圆离心率的 定义 ,并会求椭圆的离 心率 2012 天津文 ,19 椭圆的几何 性质 直线和椭圆
2、的方程 3. 直线 与椭圆 的位置 关系 1. 掌握直线和椭圆位 置关系的判断方法 2. 理解“整体代换” 思想的含义 , 并能通过 直线与椭圆的位置关 系解答相应问题 2018 天津文 ,19 直线与椭圆 的位置关系 三角形的面 积 2014 天津 ,18 圆的方程 分析解读从高考试题来看, 椭圆的定义、标准方程、几何性质以及直线与椭圆的位置关 系一直是高考命题的重点和热点, 离心率问题是每年高考考查的重点, 多在选择题和填空题 2 中出现 , 主要考查学生结合椭圆定义、几何性质等分析问题、解决问题的能力以及运算能力, 分值为 5 分, 属于中档题目; 在解答题中主要以直线与椭圆的位置关系为
3、考查对象, 考查面较 广, 往往会和平面向量、函数、导数、 不等式等知识相结合, 在考查对椭圆基本概念和性质理 解及应用的同时, 又考查直线与圆锥曲线的位置关系, 考查数形结合思想和转化与化归思想. 破考点 【考点集训】 考点一椭圆的定义和标准方程 1. “mn0 ”是“曲线mx 2+ny2=1为焦点在 x 轴上的椭圆”的( ) A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必 要条件 答案D 考点二椭圆的几何性质 2.(2017浙江 ,2,4分) 椭圆 + =1 的离心率是 ( ) A. 1 B.C.D. 答案B 3.(2018课标文 ,11,5分 ) 已知 F1,
4、F2是椭圆 C的两个焦点 ,P 是 C上的一点 . 若 PF1PF2, 且 PF2F1=60, 则 C的离心率为 ( ) A.1-B.2-C. -1 D.-1 答案D 考点三直线与椭圆的位置关系 4.(2014辽宁 ,20,12分) 圆 x 2+y2=4的切线与 x 轴正半轴 ,y 轴正半轴围成一个三角形,当该三 角形面积最小时, 切点为 P(如图 ). (1) 求点 P的坐标 ; (2) 焦点在 x 轴上的椭圆C过点 P,且与直线l:y=x+ 交于 A,B 两点 . 若PAB的面积为2, 求 C的标准方程 . 3 解析(1) 设切点坐标为(x0,y0)(x00,y00), 则切线斜率为 -
5、0 0, 切线方程为 y-y0=- 0 0(x-x 0), 即 x0x+y0y=4. 此时 , 两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为S= 1 00=00, 由 0+0= x 0y0知当且仅当x0=y0= 时 x0y0有最大值 , 即 S有最小值 , 因此点 P的坐标为 (,). (2) 设 C的标准方程为+ =1(ab0), 点 A(x1,y1),B(x 2,y2). 由点 P在 C上知 + =1, 并由 1 得 b 2x2+4 x+6-2b 2=0, 又 x1,x2是方程的根 , 因此 1 , 1 6 , 由 y1=x1+,y2=x2+, 得|AB|=|x1-x2|= . 由点 P到直
6、线 l 的距离为及 SPAB= 1 |AB|=2 得 b 4-9b2+18=0, 解得 b2=6 或 3, 因此 b 2=6,a2=3(舍) 或 b2=3,a2=6, 从而所求C的方程为 6+ =1. 炼技法 【方法集训】 方法 1 求椭圆标准方程的方法 1. 如图 , 已知椭圆C的中心为原点O,F(-2,0) 为 C的左焦点 ,P 为 C上一点 , 满足 |OP|=|OF| 且|PF|=4, 则椭圆 C的方程为 ( ) A.+ =1 B. 0 +10=1 C. 6 +16=1 D.+=1 答案C 方法 2 椭圆的离心率 ( 取值范围 ) 的求法 2. 已知椭圆 C1: + =1(ab0) 和
7、圆 C2:x 2+y2=b2, 若在椭圆 C 1上存在点 P,使得过点 P的圆 C2的两 条切线互相垂直, 则椭圆 C1的离心率的取值范围是( ) 4 A. 1 ,1B.,C.,1D.,1 答案C 3.(2013福建文 ,15,4分) 椭圆 : + =1(ab0) 的左、右焦点分别为F1,F2, 焦距为 2c. 若直线 y=(x+c) 与椭圆 的一个交点M满足 MF1F2= MF2F1, 则该椭圆的离心率等 于. 答案-1 方法 3 解决直线与椭圆位置关系问题的方法 4.(2014安徽文 ,14,5分) 设 F1,F2分别是椭圆E:x 2+ =1(0b0) 相交于 A,B 两点 , 若 M是线
8、段 AB的中点 , 则椭圆 C的离心率等于. 答案 过专题 【五年高考】 A组自主命题天津卷题组 1.(2018天津文 ,19,14分) 设椭圆 + =1(ab0) 的右顶点为A, 上顶点为 B. 已知椭圆的离心率 为,|AB|=1 . (1) 求椭圆的方程; (2) 设直线 l:y=kx(kx10, 点 Q的坐标为 (-x1,-y1). 由BPM的面积是 BPQ面积的 2 倍, 可得 |PM|=2|PQ|, 从而 x2-x1=2x1-(-x 1),即 x2=5x1. 易知直线AB的方程为 2x+3y=6, 由方程组 6 , 消去 y, 可得 x2= 6 . 由方程组 1 , 消去 y, 可得
9、 x1= 6 . 由 x2=5x1, 可得=5(3k+2), 两边平方 , 整理得 18k 2+25k+8=0, 解得 k=- 或 k=-1. 当 k=- 时,x2=-9b0) 的左、右焦点分别为F1,F2, 右顶点为A,上顶点 为 B.已知 |AB|=|F1F2|. (1) 求椭圆的离心率; (2) 设 P为椭圆上异于其顶点的一点, 以线段 PB为直径的圆经过点F1, 经过原点O的直线 l 与该圆相切 . 求直线 l 的斜率 . 解析(1) 设椭圆右焦点F2的坐标为 (c,0).由|AB|=|F1F2|, 可得 a 2+b2=3c2, 又 b2=a2-c2, 则 = 1. 所以椭圆的离心率e
10、=. (2) 由(1) 知 a 2=2c2,b2=c2. 故椭圆方程为 + =1. 设 P(x0,y0). 由 F1(-c,0),B(0,c),有1P=(x0+c,y0), 1B=(c,c). 由已知 , 有1P1B=0,即 (x0+c)c+y0c=0. 又 c0, 故有 6 x0+y0+c=0. 又因为点P在椭圆上 , 故 0 +0=1. 由和可得30+4cx0=0. 而点 P不是椭圆的顶点, 故 x0=- c, 代入得y0= , 即点 P的坐标为-,. 设圆的圆心为T(x1,y1), 则 x1= - c0 =- c,y1= c = c, 进而圆的半径r= 1-0 1- c =c. 设直线
11、l 的斜率为 k, 依题意 , 直线 l 的方程为y=kx. 由 l 与圆相切 , 可得 | 1-1| 1=r, 即 - 1 =c, 整理得 k 2-8k+1=0, 解得 k= 1 . 所以直线l 的斜率为4+ 1 或 4-1 . 3.(2012天津文 ,19,14分) 已知椭圆+ =1(ab0), 点 P在椭圆上 . (1) 求椭圆的离心率; (2) 设 A为椭圆的左顶点,O 为坐标原点 . 若点 Q在椭圆上且满足|AQ|=|AO|,求直线 OQ 的斜率 的值 . 解析(1) 因为点 P在椭圆上 , 故+ =1, 可得 = . 于是 e 2=- =1- = , 所以椭圆的离心率e= 6. (
12、2) 设直线 OQ的斜率为k, 则其方程为y=kx. 设点 Q的坐标为 (x0,y0). 由条件得 0k0, 00 1 消去 y0并整理得 0= . 由|AQ|=|AO|,A(-a,0),及 y0=kx0, 得(x0+a) 2+k2 0=a 2. 整理得 (1+k 2) 0+2ax0=0, 而 x00, 故 x0= - 1 , 7 代入 , 整理得 (1+k 2)2=4k2 +4. 由(1) 知 = , 故(1+k 2)2= k2+4, 即 5k 4-22k2-15=0, 可得 k2=5. 所以直线OQ的斜率 k=. 评析本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、 平面内两点间的距离公
13、式等基 础知识 . 考查用代数方法研究圆锥曲线的性质, 以及数形结合的思想方法, 考查运算求解能力、 综合分析和解决问题的能力. B组统一命题、省( 区、市 ) 卷题组 考点一椭圆的定义和标准方程 1.(2015广东文 ,8,5分) 已知椭圆+ =1(m0)的左焦点为F1(-4,0),则 m=( ) A.2 B.3 C.4 D.9 答案B 2.(2017北京 ,19,14分) 已知椭圆C的两个顶点分别为A(-2,0),B(2,0),焦点在 x 轴上 , 离心 率为. (1) 求椭圆 C的方程 ; (2) 点 D为 x 轴上一点 , 过 D作 x 轴的垂线交椭圆C于不同的两点M,N,过 D作 A
14、M的垂线交BN 于点 E.求证: BDE与BDN的面积之比为 . 解析本题考查椭圆的方程和性质, 直线的方程等知识, 考查运算求解能力. (1) 设椭圆 C的方程为+ =1(ab0). 由题意得 , 解得 c=. 所以 b 2=a2-c2=1. 所以椭圆C的方程为+y 2=1. (2) 证明 : 设 M(m,n), 则 D(m,0),N(m,-n). 由题设知m , 且 n0. 直线 AM的斜率 kAM=, 故直线 DE的斜率 kDE=-. 8 所以直线DE的方程为 y=-(x-m). 直线 BN的方程为y=(x-2). 联立 x - m , x - , 解得点 E的纵坐标yE=- - . 由
15、点 M在椭圆 C上 ,得 4-m 2=4n2. 所以 yE=- n. 又 SBDE= 1|BD| |y E|= |BD| |n|, SBDN= 1|BD| |n|, 所以 BDE与BDN的面积之比为 . 易错警示在设直线方程时, 若设方程为y=kx+m,则要考虑斜率不存在的情况; 若设方程为 x=ty+n, 则要考虑斜率为0 的情况 . 3.(2014四川文 ,20,13分) 已知椭圆 C: + =1(ab0) 的左焦点为F(-2,0),离心率为 6. (1) 求椭圆 C的标准方程 ; (2) 设 O为坐标原点 ,T 为直线 x=-3 上一点 , 过 F作 TF的垂线交椭圆于P,Q. 当四边形
16、 OPTQ 是平行四边形时, 求四边形OPTQ 的面积 . 解析(1) 由已知可得 , = 6,c=2, 所以 a= 6. 又由 a 2=b2+c2, 解得 b= , 所以椭圆C的标准方程是 6+ =1. (2) 设 T 点的坐标为 (-3,m),则直线 TF的斜率 kTF= -0 - - - =-m. 当 m 0时, 直线 PQ的斜率 kPQ= 1, 直线 PQ的方程是 x=my-2. 当 m=0时 ,直线 PQ的方程是x=-2, 也符合 x=my-2 的形式 . 设 P(x1,y1),Q(x 2,y2), 将直线 PQ的方程与椭圆C的方程联立 , 得 - , 6 1 消去 x, 得 (m
17、2 +3)y 2-4my-2=0, 其判别式 =16m 2+8(m2+3)0, 9 所以 y1+y2=,y1y2= - , x1+x2=m(y1+y2)-4= - 1 . 因为四边形OPTQ 是平行四边形 , 所以 =, 即(x1,y1)=(-3-x2,m-y2). 所以 1 - 1 1m 解得 m= 1. 此时 ,S四边形 OPTQ=2SOPQ= 1|OF| |y 1-y2| =2- - =2. 评析本题主要考查椭圆的标准方程、直线与方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识, 考查 推理论证能力、运算求解能力. 考查数形结合、转化与化归、分类与整合等数学思想. 考点二椭圆的几何性质 1.(201
18、8课标文 ,4,5分) 已知椭圆 C: + =1 的一个焦点为 (2,0),则 C的离心率为 ( ) A. 1 B. 1 C.D. 答案C 2.(2018课标 ,1 , 分) 已知 F1,F2是椭圆 C: + =1(ab0) 的左、右焦点,A 是 C的左顶点 , 点 P在过 A且斜率为 6 的直线上 , PF1F2为等腰三角形 , F 1F2P=1 0, 则 C的离心率为 ( ) A.B. 1 C. 1 D. 1 答案D 3.(2017课标 ,10, 分) 已知椭圆C: + =1(ab0) 的左、右顶点分别为A1,A2, 且以线段A1A2 为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0 相切 ,则 C
19、的离心率为 ( ) A. 6 B.C.D. 1 答案A 考点三直线与椭圆的位置关系 1.(2015安徽 ,20,13分) 设椭圆 E的方程为+ =1(ab0), 点 O为坐标原点 , 点 A的坐标为 (a,0),点 B的坐标为 (0,b),点 M在线段 AB上, 满足 |BM|=2|MA|, 直线 OM的斜率为 10. 10 (1) 求 E的离心率e; (2) 设点 C的坐标为 (0,-b),N为线段 AC的中点 .证明:MN AB. 解析(1) 由题设条件知, 点 M的坐标为 1 , 又 kOM=10, 从而 =10. 进而 a=b,c=- =2b. 故 e=. (2) 证明 : 由 N是
20、AC的中点知 , 点 N的坐标为, -, 可得 = 6,6 . 又=(-a,b),从而有 =- 1 6a 2+ 6b 2=1 6(5b 2-a2). 由(1) 的计算结果可知a 2=5b2, 所以 =0, 故 MN AB. 评析本题考查椭圆的简单几何性质及利用向量法证明线线垂直, 较难 . 2.(2014北京文 ,19,14分) 已知椭圆 C:x 2+2y2=4. (1) 求椭圆 C的离心率 ; (2) 设 O为原点 .若点 A在直线 y=2 上 , 点 B在椭圆 C上, 且 OA OB,求线段AB长度的最小值. 解析(1) 由题意 , 知椭圆 C的标准方程为+ =1. 所以 a 2=4,b2
21、=2, 从而 c2=a2-b2=2. 因此 a=2,c=. 故椭圆 C的离心率e=. (2) 设点 A,B 的坐标分别为(t,2),(x 0,y0), 其中 x00. 因为 OA OB,所以 =0, 即 tx0+2y0=0, 解得 t=- 0 0 . 又0+20=4, 所以 |AB| 2=(x 0-t) 2+(y 0-2) 2 = 0 0 0 +(y0-2) 2 =0+0+ 0 0 +4 =0+ 0+0 0 +4 =0+ 0+4(0b0) 的左 , 右焦点 ,M 是 C上一点且 MF2与 x 轴垂直 . 直线 MF1与 C的另一个交点为N. (1) 若直线 MN的斜率为, 求 C的离心率 ;
22、(2) 若直线 MN在 y 轴上的截距为2, 且|MN|=5|F1N|, 求 a,b. 解析(1) 根据 c=- 及题设知 M , ,2b 2=3ac. 将 b 2=a2-c2 代入 2b 2=3ac, 解得 =1或=-2( 舍去 ). 故 C的离心率为 1. (2) 由题意 , 知原点 O为 F1F2的中点 ,MF2y轴, 所以直线MF1与 y 轴的交点D(0,2) 是线段 MF1 的中点 , 故 =4, 即 b 2= , 由|MN|=5|F1N|得 |DF1|=2|F1N|. 设 N(x1,y1), 由题意知y1b0) 的离心率为, 且右焦点F到左准线l 的距离为3. (1) 求椭圆的标准
23、方程; 12 (2) 过 F 的直线与椭圆交于A,B 两点 , 线段 AB的垂直平分线分别交直线l 和 AB于点 P,C, 若 PC=2AB, 求直线 AB的方程 . 解析(1) 由题意 , 得=且 c+ =3, 解得 a=,c=1, 则 b=1, 所以椭圆的标准方程为+y 2=1. (2) 当 AB x轴时 ,AB=, 又 CP=3,不合题意 . 当 AB与 x 轴不垂直时 , 设直线 AB的方程为y=k(x-1),A(x 1,y1),B(x2,y2), 将直线 AB的方程代入椭圆方程, 得 (1+2k 2)x2-4k2x+2(k2-1)=0, 则 x 1,2= 1 1 ,C 的坐标为 1
24、, - 1 , 且 AB=-1-1= 1+-1= 1+ 1 . 若 k=0, 则线段 AB的垂直平分线为y 轴 ,与左准线平行, 不合题意 . 从而 k0, 故直线PC的方程为y+1=- 1 - 1 , 则 P点的坐标为- , 1+ , 从而 PC= 11 | | 1+ . 因为 PC=2AB, 所以 11 | 1+ = 1+ 1 , 解得 k=1. 此时直线AB的方程为 y=x-1 或 y=-x+1. 评析本题在考查椭圆基本性质与标准方程的同时, 着重考查直线与圆锥曲线的位置关系和方 程思想 . C组教师专用题组 1.(2017课标 ,1 , 分) 设 A,B 是椭圆 C: + =1长轴的两
25、个端点. 若 C上存在点M满足 AMB=1 0 , 则m的取值范围是 ( ) 13 A. 0,1 ,+ B.(0, ,+ C. 0,1 ,+ D.(0, ,+ 答案A 2.(2015课标 , , 分) 已知椭圆E的中心在坐标原点, 离心率为 1,E 的右焦点与抛物线 C:y 2=8x 的焦点重合 ,A,B 是 C的准线与 E的两个交点 , 则|AB|=( ) A.3 B.6 C.9 D.12 答案B 3.(2015 浙江 ,15,4 分)椭圆 + =1(ab0) 的右焦点 F(c,0) 关于直线 y=x 的对称点 Q在椭圆上 , 则椭圆的离心率是. 答案 4.(2015陕西 ,20,12分)
26、已知椭圆E: + =1(ab0) 的半焦距为c, 原点 O到经过两点 (c,0),(0,b)的直线的距离为 1c. (1) 求椭圆 E的离心率 ; (2) 如图 ,AB 是圆 M:(x+2) 2+(y-1)2= 的一条直径 ,若椭圆 E经过 A,B 两点 , 求椭圆 E的方程 . 解析(1) 过点 (c,0),(0,b)的直线方程为bx+cy-bc=0, 则原点 O到该直线的距离d=, 由 d= 1c, 得 a=2b=2 - , 解得离心率 =. (2) 解法一 : 由(1) 知, 椭圆 E的方程为x 2 +4y 2=4b2. 依题意得 ,圆心 M(-2,1) 是线段 AB的中点 , 且|AB
27、|=10. 易知 ,AB 与 x 轴不垂直 , 设其方程为y=k(x+2)+1,代入得 (1+4k 2)x2+8k(2k+1)x+4(2k+1)2-4b2 =0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 x1+x2=- 1 1 , 14 x1x2= 1 - 1 . 由 x1+x2=-4, 得 - 1 1 =-4, 解得 k= 1. 从而 x1x2=8-2b 2. 于是 |AB|=1 1 |x1-x2|= 1 - 1 =10-. 由|AB|=10, 得10-= 10, 解得 b 2=3. 故椭圆 E的方程为 1 + =1. 解法二 : 由(1) 知, 椭圆 E的方程为x 2+4y2=4b2
28、. 依题意得 ,点 A,B 关于圆心M(-2,1) 对称 , 且|AB|=10. 设 A(x1,y1),B(x 2,y2), 则1+41=4b 2, +4 =4b2, 两式相减并结合x1+x2=-4,y1+y2=2, 得-4(x 1-x2)+8(y1-y2)=0, 易知 AB与 x 轴不垂直 , 则 x1x2, 所以 AB的斜率 kAB=1 - 1- = 1. 因此直线AB的方程为 y= 1(x+2)+1, 代入得x 2+4x+8-2b2=0. 所以 x1+x2=-4,x1x2=8-2b 2. 于是 |AB|=1 1 |x1-x2|= 1 - 1 =10-. 由|AB|=10, 得10-= 1
29、0, 解得 b 2=3. 故椭圆 E的方程为 1 + =1. 评析本题主要考查椭圆的标准方程、几何性质 , 直线与椭圆的位置关系, 圆的标准方程等基础 知识 , 巧妙利用根与系数的关系或点差法构造关于参数的方程是求解的关键.考查学生的运 算求解能力及方程思想的应用能力. 【三年模拟】 一、选择题 ( 每小题 5 分, 共 15 分) 1.(2019届天津耀华中学第二次月考,7) 已知椭圆+ =1 的左右焦点分别为F1,F2, 点 A在椭圆 上, 11 =0,1 =c 2, 则椭圆的离心率 e 等于 ( ) 15 A.B. - 1 C. - 1 D. 答案C 2.(2018天津河西一模 ,6)
30、已知三个实数2,m,8 构成一个等比数列,则圆锥曲线+ =1 的离心 率为 ( ) A.B.C.或D.或 6 答案C 3.(2018天津南开中学第三次月考,8) 已知点 F1,F2分别是椭圆C: + =1(ab0) 的焦点 , 点 B 是短轴端点 , 直线 BF2与椭圆 C相交于另一点D.若F1BD是等腰三角形, 则椭圆 C的离心率为 ( ) A. 1 B.C.D. 6 答案B 二、填空题 ( 每小题 5 分, 共 5 分) 4.(2018天津一中5月月考 ,13) 已知点 P(x,y) 在椭圆+ =1 上运动 , 则 1+ 1 的最小值 是. 答案 三、解答题 ( 共 40 分) 5.(20
31、19届天津南开中学统练,19) 已知椭圆C: + =1(ab0), 四点 P1(1,1),P 2(0,1),P3- 1, ,P41中恰有三点在椭圆C上. (1) 求 C的方程 ; (2) 设直线 l 不经过点 P2且与 C相交于 A,B 两点 . 若直线 P2A与直线 P2B的斜率的和为 -1, 证 明:l过定点 . 解析本题考查了圆锥曲线的方程以及圆锥曲线与直线位置关系中的定点问题. (1) 由于 P3,P4两点关于y 轴对称 , 故由题设知C经过 P3,P4两点 . 又由 1+11+ 知,C 不经过点 P1, 所以点 P2在 C上. 因此 1 1 1 1 解得 1 16 故 C的方程为+y
32、 2=1. (2) 证明 : 设直线 P2A与直线 P2B的斜率分别为k1,k2. 如果 l 与 x 轴垂直 ,设 l:x=t,由题设知t 0, 且 |t|0. 设 A(x1,y1),B(x 2,y2), 则 x1+x2=- 1,x 1x2= - 1. 而 k1+k2=1 - 1 1 + - 1 =1 m 1 1 + m 1 = 1m 11 1 , 由于 k1+k2=-1, 故(2k+1)x 1x2+(m-1)(x1+x2)=0. 即 k+1 - 1+(m-1 - 1=0. 解得 k=- 1. 当且仅当m-1 时, 0, 于是 l:y=- 1x+m, 即 y+1=- 1(x-2), 所以 l
33、过定点 (2,-1). 6.(2018天津河东一模 ,19) 已知点 (0,-1)是中心在原点 , 长轴在 x 轴上的椭圆C的一个顶点 , 椭圆的离心率为, 左右焦点分别为F1和 F2. (1) 求椭圆 C的方程 ; (2) 设点 M是线段 OF2( 不包括端点 )上的一点 , 过点 F2且与 x 轴不垂直的直线l 交椭圆 C于 P、 Q两点 , 若MPQ 是以 M为顶点的等腰三角形, 求点 M到直线 l 的距离的取值范围. 解析(1) 由题意可设椭圆方程为+ =1(ab0), 由点 (0,-1)是椭圆 C的一个顶点 , 可得 b=1, 17 由 e=,a 2-b2=c2 , 解得 a=,c=
34、1, 故椭圆 C的方程为+y 2=1. (2) 设点 M(m,0),0b0) 的右焦点为 (,0),且经过点 - 1, 点 M是 y 轴上的一点 , 过点 M的直线 l 与椭圆 C交于 A、B两点 . (1) 求椭圆 C的方程 ; (2) 若=2, 且直线 l 与圆 O:x 2+y2= 相切于点 N,求|MN|的长 . 18 解析(1) 由题意知 - - 1 1 解得 a 2=4,b2=1, 故椭圆 C的方程为+y 2=1. (2) 显然直线l 的斜率存在 , 设 M(0,m), 直线 l:y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2), 直线 l 与圆 O:x 2+y2= 相切 , | | 1 = , 即 m 2= (k2+1 , 由 1 , 消去 y, 得(1+4k 2)x2+8kmx+4(m2-1)=0, 0 恒成立 , x1+x2=- 1 ,x1x2= -1 1 , 由=2, 得 x1=-2x2, 解得 x1=- 16 1 ,x2=1, x1x2=- 1 1+ = - 1 1 , 化简得 - 1 =m 2- 1, 把代入可得48k 4+16k2-7=0, 解得 k 2=1,m2=1, 在 RtOMN 中, 可得 |MN|= 1 -= 1, 故|MN| 的长为 1.