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1、1 。 。 。 内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 专题 1.1 集合与简易逻辑与数学文化 （一）选择题（12*5=60 分） 1设集合|1| 3Pxx， 1 |( ) ,( 2,1) 3 x Qy yx ，则PQ（） A 1 ( 4,) 9 B 1 (,2 9 C 1 (,2 3 D 1 (,2) 3 【答案】 C 2已知首项为正的等比数列 n a的公比为q，则“01q”是“ n a为递减数列”的（） A充分不必要条件B必要不充分条件 C 充要条件 D既不充分也不必要条件 【答案】 C 【解析】由于数列首项为正，根据 1 1 n n aa q，当01q时，数列是递减数列，反之也成立，故为
2、充要 条件 . 3命题“若ab，则acbc”的否命题是（） A若ab，则acbc B 若acbc，则ab C若a cbc，则ab D 若ab， 则acbc 【答案】 A 【解析】“若p则q”的否 命题是 “若p则q” ，所以原命题的否命题是“若 ba ，则 cbca ” ， 故选 A. 4 【 2018 甘肃兰州西北师大附中调研】在张丘建算经有一道题：“今有女子不善织布，逐日所织的布 同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共织布几何？” （） A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺 【答案】 C 2 【解析】由题意知该女子每天织布的尺数成等差数列，等差数列中，首项与第三十项分别为
3、（尺） ，故选 C. 5 【 2018 河南林州调研】设函数yfx，xR， “yf x是偶函数”是“yfx的图象关于 原点对称”（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】 B 6 已知：命题p：若函数|)( 2 axxxf是偶函数，则0a. 命题q：),0(m，关于x的方 程012 2 xmx有解 . 在qp；qp；qp)(；)()(qp中为真命题的是（） A B C D 【答案】 D 【解析】函数|)( 2 axxxf是偶函数x的方程()( )0fxf xap为真命题； 012 2 xmx有解4401mmq为假命题；故为真，故选D.
4、 7 【甘肃省会宁2018 届月考（ 12 月） 】如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱， 圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的 发现我们来重温这个伟大发现圆柱的体积与球的体积之比和圆柱的表面积与球的表面积之比分别为 ( ) 3 A. 3 2 ， 1 B. 2 3 ， 1 C. 3 2 ， 3 2 D. 2 3 ， 3 2 【答案】 C 8. 公元 263 年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆 的面积，并创立了“割圆术”利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的
5、近似值3.14 ，这 就是著名的“徽率” 如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为（） （参考数据：31.732，sin150.2588，sin7.50.1305） A12 B 24 C 36 D48 【答案】 B 【解析】第一次循环： 3 3 6,2.5983.10,12 2 nSn；第二次循环：12,33.10,24nSn； 第三次循环：24,3.10563.10nS，满足条 件，跳出循环，输出24n. 故选 B. 8 【广西贵港市2018 届 12 月联考】九章算术勾股章有一“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其 中央，出水两尺，引葭赴岸，适与岸齐. 问水深、葭
6、长各几何 . ”其意思是：有一水池一丈见方，池中心生 有一颗类似芦苇的植物，露出水面两尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐（如图所示），问水有多深，该植 物有多长？其中一丈为十尺. 若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为（） 4 A. 21 29 B. 23 29 C. 11 12 D. 12 13 【答案】 A 9 【辽宁省凌源市2018 届 12 月联考】我国古代数学名著九章算术对立体几何也有深入的研究，从其 中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指 底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱 111 ABC
7、A B C，其中 ACBC，若 1 2AAAB，当“阳马”即四棱锥 11 BA ACC体积最大时，“堑堵”即三棱柱 111 ABCA B C外接球的体积为（） A. 42 3 B. 8 2 3 C. 16 3 D. 4 3 【答案】 B 5 10 【江西省赣州市2018 届期中】莱因德纸草书 （Rhind Papyrus ）是世界上最古老的数学著作之一， 书中有这样的一道题目：把100 个面包分给5 个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的 1 7 是 较小的两分之和，则最小的1 份为（） A. 5 6 B. 10 3 C. 5 3 D. 11 6 【答案】 C 【解析】设等差数列 n
8、 a的公差是0d，首项是 1 a，由题意得， 1 34512 54 5100 2 1 7 ad aaaaa ，则 1 11 510100 1 392 7 ad adad ，解得 1 5 3 55 6 a d ，所以最小的一份为 5 3 ，故选 C. 11给出下列命题 : 已知,a bR, “1a且1b”是“1ab”的充分条件 ; 已知平面向量,a b,“1,1“ab是“1ab”的必要不充分条件; 已知,a bR, “ 22 1ab”是“1ab”的充分不必要条件; 命题:P“ 0 xR, 使 0 0 e1 x x且 00 ln1xx”的否定为:p“xR, 都有e1 x x且 ln1xx” . 其
9、中正确命题的个数是 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】 C 【解析】已知,a bR, “1a且1b”能够推出“1ab”, “1ab”不能推出“1ab”, 本选项 6 正确; 已知平面向量,a b, “1,1ab”不能推出“1ab”, 本选项不正确 ; 已知 ,a bR, “ 22 1ab”是“1ab”的充分不必要条件, 正确 ; 命题:P“ 0 xR, 使 0 0 e1 x x且 00 ln1xx”的否定为:p“xR, 都有e1 x x或ln1xx”本选项不正确. 正确的个数为2. 故选： C 12 【2018 湖北黄石联考】已知方程 222 123 6660xxbxxbxxb的
10、所有解都为自然数， 其组成的解集为 12345 ,Ax x xxx，则123bbb的值不可能为（） A. 13 B. 14 C. 17 D. 22 【答案】 A （二）填空题（4*5=20 分） 13若“xR， 2 20xxa”是假命题，则实数a的取值范围是_ 【答案】1, 【解析】由题意得“xR， 2 20xxa ”是真命题，因此4401.aa 14已知命题:p mR，且10m；命题 2 :,10qxR xmx恒成立，若pq为假命题，则m 的取值范围是_ 【答案】, 2( 1,) 【解析】当命题p为真命题时，1m，当命题q为真命题时， 2 40m，22m,pq为假命 题的否定是pq为真命题
11、, 则,p q都为真命题 , 所以有 1 22 m m , 解得21m, 故当若pq为假 命题时 ,m的范围是, 2( 1,) 15 【北京市朝阳区2018 届期中】将集合M=1,2,3,.,15表示为它的5 个三元子集（三元集：含三个元 素的集合）的并集，并且这些三元子集的元素之和都相等，则每个三元集的元素之和为_；请写出 7 满足上述条件的集合M的 5 个三元子集 _（只写出一组） 【答案】 24 1，8，15,3 ，7，14,5 ，6，13,2 ， 10，12,4 ， 9，11 （答案不唯一） 【解析】因为5 个三元子集（三元集：含三个元素的集合）的并集为集合M=1,2,3,.,15，所
12、以元素总 和为： 151 15 120 2 （） ， 又因为这5 个三元子集的元素之和都相等，所以每个集合的元素和为 120 24 5 . 满足上述条件的集合M的 5 个三元子集可以是：1 ，8，15,3 ，7，14,5 ，6，13,2 ， 10，12,4 ，9， 11 （答案不唯一）. 16 【北京市海淀区2018 届高三上12 月月考】已知函数 1, 0, R xQ fx xQe ，则（） ffx_ （）给出下列三个命题：函数fx是偶函数；存在1,2,3, i xR i， 使得以点,=1,2,3 ii xfxi为顶点的三角形是等腰三角形；存在1,2,3,4 i xR i，使得以点 ,=1,
13、2,3,4 ii xfxi为顶点的四边形为菱形其中，所有真命题的序号是_ 【答案】 1 （三）解答题（10+5*12=70 分） 17已知集合 |1216 ,|, x AxBy yx xA. （1）求AB; （ 2）若 2 1 log,fxxxAB x 求函数fx的最大值 . 8 【解析】（1） 04 1216,222 ,04,|04 xx xAxx, 0,4 ,0,2 ,|02 .0,2xyxBxxAB. （2） 22 11ln 21 ln 20 x fx xxx 在0,2上恒成立 .fx在0,2上单调递增 . fx在 2x上取得最大值，最大值为 1 2 . 18设命题:p实数x满足 22
14、430xaxa，0a；命题:q实数x满足 3 0 2 x x . （）若1a，pq为真命题，求x的取值范围； （）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围 . 19 已知命题函数 321 ( ) 3 fxmxxx在区间(1,2)上单调递增；命题:q函数C的图象上任意一点处的 切线斜率恒大于1，若“()pq”为真命题，“()pq”也为真命题，求实数m的取值范围 . 【解析】 若p为真命题， 2 ( )210fxmxx在(1,2)x上恒成立， 2 2 121 (1)1m xxx ， 215 (1)1 4x ， 5 4 m 若q为真命题，则当1x时， 4 ( )11 1 g xxm x ， 4
15、1 mx x ， 44 1 12 4 13 11 xx xx ，当且仅当1x时取等号，3m 由已知可得若p为真命题，则q也为真命题；若p为假 命题，则q也为假命题， 当p，q同真时， 5 3 4 m，同假时m无解，故 5 ,3 4 m 20设:p函数 33ax fxx e在区间0,2上单调递增；:q函数2ln a g xaxx x 在其定义域上存在 极值 9 （1）若p为真命题，求实数a的取值范围； （2）如果“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数a的取值范围 （2）对于 2 22 22 ,2ln, aaaxxa q g xaxx gxa xxxx ，若0,0,agxg x在定义 域内
16、单调递增，在其定义域上不存在极值，不符合题意；若0a，则 1 0 a ，由 2 440a，解得 10a所以，若q为真命题，则10a，因为“p或q”为真命题， “p且q”为假命题，所以 命题p与q一真一假， p真q假时， 1 2 01 a aa 或 ，解得 0a ， p假q真时， 1 2 10 a a ，解得 1 1 2 a 综上所述，a的取值范围为 1 1,0, 2 21已知0m，向量,3amm，向量1,6bm，集合 2 |20Axxmxm. （1）判断“/ /ab”是“10a”的什么条件； （2）设命题:p若ab，则19m. 命题:q若集合A的子集个数为 2，则1m. 判断pq，pq， q的真假，并说明理由. 【解析】 （1） 若/ /ab， 则631mmm， 1m（0m舍去） ， 此时1,3 ,10aa 若10a， 则1m，若“/ /ab”是“10a”的充分不必要条件 （2）若ab，则1180m mm，19m（0m舍去），p为真命题，由 2 20xmxm得 2 xm，或2xm，若集合A的子集个数为2，则集合A中只有1个元素， 10