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1、数学是科学的大门和钥匙-培根平行四边形及其性质（提高） 责编：杜少波【学习目标】1理解平行四边形的概念，掌握平行四边形的性质定理和判定定理.2能初步运用平行四边形的性质进行推理和计算，并体会如何利用所学的三角形的知识解决四边形的问题3. 了解平行四边形的不稳定性及其实际应用4. 掌握两个推论：“夹在两条平行线间的平行线段相等”。“夹在两条平行线间的垂线段相等” 【要点梳理】【高清课堂 平行四边形 知识要点】知识点一、平行四边形的定义平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”. 要点诠释：平行四边形的基本元素：边、角、对角
2、线.相邻的两边为邻边，有四对；相对的边为对边，有两对；相邻的两角为邻角，有四对；相对的角为对角，有两对；对角线有两条.知识点二、平行四边形的性质定理 平行四边形的对角相等；平行四边形的对边相等；平行四边形的对角线互相平分；要点诠释：（1）平行四边形的性质定理中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系.（2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择.（3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决.知识点三、平行线的性质定理1.两条平行线间的距离：（1）定义
3、：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离.注：距离是指垂线段的长度，是正值.2平行线性质定理及其推论夹在两条平行线间的平行线段相等.平行线性质定理的推论：夹在两条平行线间的垂线段相等.【典型例题】类型一、平行四边形的性质【高清课堂 平行四边形 例10】1、如图，平行四边形ABCD的周长为60，对角线交于O，AOB的周长比BOC的周长大8，求AB，BC的长【答案与解析】解： 四边形ABCD是平行四边形 ABCD，ADBC，AOCO， ABCD的周长是602AB2BC60，即ABBC30，又 AOB的周长比BOC的周长大8即（AOOBAB）（BOOCBC）A
4、BBC8， 由有 解得 AB，BC的长分别是19和11 【总结升华】根据平行四边形对角线互相平分，利用方程的思想解题.举一反三：【变式】如图：在平行四边形ABCD中，CE是DCB的平分线，F是AB的中点，AB6，BC4.求AE：EF：FB的值.【答案】解： ABCD是平行四边形，所以ABCD，ECDCEBCE为DCB的角平分线，ECDECB，ECBCEB，BCBEBC4，所以BE4AB6，F为AB的中点，所以BF3EFBEBF1，AEABBE2AE：EF：FB2：1：3.2、平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且ADCD，过点O作OMAC，交AD于点M，如果CDM的周长是40cm，求平行四边
5、形ABCD的周长【思路点拨】由四边形ABCD是平行四边形，即可得AB=CD，AD=BC，OA=OC，又由OMAC，根据垂直平分线的性质，即可得AM=CM，又由CDM的周长是40cm，即可求得平行四边形ABCD的周长【答案与解析】解：四边形ABCD是平行四边形，AB=CD，AD=BC，OA=OC，OMAC，AM=CM，CDM的周长是40，即：DM+CM+CD=DM+AM+CD=AD+CD=40，平行四边形ABCD的周长为：2（AD+CD）=240=80（cm）平行四边形ABCD的周长为80cm【总结升华】此题考查了平行四边形的性质与线段垂直平分线的性质解题的关键是注意数形结合思想的应用举一反三：
6、【变式】（2016本溪）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O且与AB、CD分别相交于点E、F，连接EC（1）求证：OE=OF；（2）若EFAC，BEC的周长是10，求平行四边形ABCD的周长 【答案】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，OD=OB，DCAB，FDO=EBO，在FDO和EBO中FDOEBO（AAS），OE=OF；（2）解：四边形ABCD是平行四边形，AB=CD，AD=BC，OA=OC，EFAC，AE=CE，BEC的周长是10BC+BE+CE=BC+AB=10，平行四边形ABCD的周长=2（BC+AB）=203、（2015春白云区期末）如图，口ABC
7、D的周长为52cm，AB边的垂直平分线经过点D，垂足为E，口ABCD的周长比ABD的周长多10cmBDE=35（1）求C的度数；（2）求AB和AD的长【思路点拨】（1）由于DE是AB边的垂直平分线，得到ADE=BDE=35，于是推出A55，根据平行四边形的性质得到C=55；（2）由DE是AB边的垂直平分线，得到DA=DB，根据平行四边形的性质得到AD=BC，AB=DC，由于口ABCD的周长为52，于是得到AB+AD=26，根据口ABCD的周长比ABD的周长多10，得到BD=16，AD=16（cm），于是求出结论【答案与解析】解：（1）DE是AB边的垂直平分线，ADE=BDE=35，A=90AD
8、E=55，口ABCD，C=A=55；（2）DE是AB边的垂直平分线，DA=DB，四边形ABCD是平行四边形，AD=BC，AB=DC，口ABCD的周长为52，AB+AD=26，口ABCD的周长比ABD的周长多10，52（AB+AD+BD）=10，BD=16，AD=16（cm），AB=2616=10（cm）【总结升华】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，平行四边形的性质，能综合应用这两个性质是解题的关键4、如图1，P为RtABC所在平面内任一点（不在直线AC上），ACB=90，M为AB的中点操作：以PA、PC为邻边作平行四边形PADC，连接PM并延长到点E，使ME=PM，连接DE（1）请你猜想与线
9、段DE有关的三个结论，并证明你的猜想；（2）若将“RtABC”改为“任意ABC”，其他条件不变，利用图2操作，并写出与线段DE有关的结论（直接写答案）【思路点拨】（1）连接BE，证PMAEMB，推出PA=BE，MPA=MEB，推出PABE根据平行四边形的性质得出PADC，PA=DC，推出BEDC，BE=DC，得出平行四边形CDEB即可；（2）连接BE，证PMAEMB，推出PA=BE，MPA=MEB，推出PABE根据平行四边形的性质得出PADC，PA=DC，推出BEDC，BE=DC，得出平行四边形CDEB即可【答案与解析】（1） DEBC，DE=BC，DEAC，证明：连接BE，M为AB中点，AM
10、=MB，在PMA和EMB中，PMAEMB（SAS），PA=BE，MPA=MEB，PABE四边形PADC是平行四边形，PADC，PA=DC，BEDC，BE=DC，四边形DEBC是平行四边形，DEBC，DE=BCACB=90，BCAC，DEAC（2）解：DEBC，DE=BC【总结升华】本题考查了平行四边形性质和判定，全等三角形的性质和判定，平行线的性质和判定的综合运用举一反三：【变式】已知：如图，在平行四边形ABCD中，DEAB于点E，DFBC于点F，DAB的平分线交DE于点M，交DF于点N，交DC于点P（1）求证：ADE=CDF；（2）如果B=120，求证：DMN是等边三角形【答案】证明：（1）
11、四边形ABCD是平行四边形，DAB=C，DCAB，DEAB于点E，DFBC于点F，ADE=90-DAB，CDF=90-C，ADE=CDF（2）证明：DAB的平分线交DE于点M，交DF于点N，交DC于点P，DAP=BAP，DCAB，DPA=BAP，DAP=DPA，DA=DP，ADE=CDF，DAP=DPA，DA=DP，DAMDPN，DM=DN，B=120，MDN=360-DEB-EFB-B=360-90-90-120=60，DMN是等边三角形类型二、平行线性质定理及其推论5、如图1，已知直线mn，点A、B在直线n上，点C、P在直线m上；（1）写出图1中面积相等的各对三角形：CAB与PAB、BCP
12、与APC、ACO与BOP_；（2）如图，A、B、C为三个顶点，点P在直线m上移动到任一位置时，总有_PAB与ABC的面积相等；（3）如图，一个五边形ABCDE，你能否过点E作一条直线交BC（或延长线）于点M，使四边形ABME的面积等于五边形ABCDE的面积【思路点拨】（1）找出图中同底等高的三角形，这些三角形的面积相等；（2）因为两平行线间的距离是相等的，所以点C、P到直线n间的距离相等，也就是说ABC与PAB的公共边AB上的高相等，所以总有PAB与ABC的面积相等；（3）只要作一个三角形CEM与三角形CED的面积相等即可【答案与解析】解：（1）mn，点C、P到直线n间的距离与点A、B到直线m间的距离相等；又同底等高的三角形的面积相等，图中符合条件的三角形有：CAB与PAB、BCP与APC，ACO与BOP；（2）mn，点C、P到直线n间的距离是相等的，ABC与PAB的公共边AB上的高相等，总有PAB与ABC的面积相等；（3）连接EC，过点D作直线DMEC交BC延长线于点M，连接EM，线段EM所在的直线即为所求的直线【总结升华】本题主要考查了三角形的面积及平行线的性质，利用平行线间的距离相等得到同底等高的三角形是解题的关键数学是最宝贵的研究精神之一-华罗庚