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1、数学是科学的大门和钥匙-培根坐标平面内图形的轴对称和平移（提高）责编：杜少波【学习目标】1. 能在同一直角坐标系中，感受图形经轴对称后点的坐标的变化.2. 掌握左右、上下平移点的坐标规律.【要点梳理】要点一、关于坐标轴对称点的坐标特征1.关于坐标轴对称的点的坐标特征P(a，b)关于x轴对称的点的坐标为 (a,b)；P(a，b)关于y轴对称的点的坐标为 (a,b)；P(a，b)关于原点对称的点的坐标为 (a,b)2.象限的角平分线上点坐标的特征第一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等，可表示为(a，a)；第二、四象限角平分线上点的横、纵坐标互为相反数，可表示为(a，a)3.平行于坐标轴的直线上的
2、点平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同；平行于y轴的直线上的点的横坐标相同.要点二、用坐标表示平移1.点的平移：在平面直角坐标系中，将点(x，y)向右或向左平移a个单位长度，可以得到对应点(xa，y)或(xa，y)；将点(x，y)向上或向下平移b个单位长度，可以得到对应点(x，yb)或(x，yb)要点诠释：（1）在坐标系内，左右平移的点的坐标规律：右加左减；（2）在坐标系内，上下平移的点的坐标规律：上加下减；（3）在坐标系内，平移的点的坐标规律：沿x轴平移纵坐标不变,沿y轴平移横坐标不变2.图形的平移：在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把
3、原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度要点诠释：（1）平移是图形的整体位置的移动，图形上各点都发生相同性质的变化，因此图形的平移问题可以转化为点的平移问题来解决（2）平移只改变图形的位置，图形的大小和形状不发生变化.【典型例题】类型一、用坐标表示轴对称1在直角坐标系中，已知点A（ab，2a）与点B（a5，b2a）关于y轴对称，（1）试确定点A、B的坐标；（2）如果点B关于x轴的对称的点是C，求ABC的面积【思路点拨】（1）根据在平面直角坐标系中，关于y轴对称时，横坐标为相反数，纵坐标不变，得
4、出方程组求出a，b即可解答本题；（2）根据点B关于x轴的对称的点是C，得出C点坐标，进而利用三角形面积公式求出即可【答案与解析】解：（1）点A（ab，2a）与点B（a5，b2a）关于y轴对称，解得：，点A、B的坐标分别为：（4，1），（4，1）；（2）点B关于x轴的对称的点是C，C点坐标为：（4，1），ABC的面积为：BCAB288【总结升华】本题主要考查了平面直角坐标系中，各象限内点的坐标的符号的确定方法以及三角形面积求法，熟练记忆各象限内点的坐标符号是解题关键举一反三：【变式】小华看到了坐标系中点B关于X轴的对称点为C（3，2），点A关于Y轴对称点为D（3，4），若将A、B、C、D顺次连接
5、，此图形的面积是多少？【答案】解：B关于x轴的对称点为C（3，2），B（3，2），点A关于y轴对称点为D（3，4），A（3，4），ABD的面积为：ADDB66182.已知点A（a，3）、B（4，b），试根据下列条件求出a、b的值（1）A、B两点关于y轴对称；（2）A、B两点关于x轴对称；（3）ABx轴；（4）A、B两点在第二、四象限两坐标轴夹角的平分线上【思路点拨】（1）关于y轴对称，y不变，x变为相反数（2）关于x轴对称，x不变，y变为相反数（3）ABx轴，即两点的纵坐标不变即可（4）在二、四象限两坐标轴夹角的平分线上的点的横纵坐标互为相反数，即分别令点A，点B的横纵坐标之和为0，列出方程并
6、解之，即可得出a，b【答案与解析】解：（1）A、B两点关于y轴对称，故有b3，a4；（2）A、B两点关于x轴对称；所以有a4，b3；（3）ABx轴，即b3，a为4的任意实数（4）如图，根据题意，a30；b40；所以a3，b4【总结升华】本题主要考查学生对点在坐标系中的对称问题的掌握；在一、三象限角平分线上的点的横纵坐标相等，在二、四象限角平分线上的点的横纵坐标互为相反数类型二、用坐标表示平移3.（2015春黄陂区校级月考）如图，ABC是由ABC平移后得到的，已知ABC中一点P（x0，y0）经平移后对应点为P（x0+5，y02）（1）已知A（1，2），B（4，5），C（3，0），请写出A、B、C
7、的坐标；（2）试说明ABC是如何由ABC平移得到的；（3）请直接写出ABC的面积为 【思路点拨】（1）根据点P（x0，y0）经平移后对应点为P（x0+5，y02）可得A、B、C三点的坐标变化规律，进而可得答案；（2）根据点的坐标的变化规律可得ABC先向右平移5个单位，再向下平移2个单位；（3）把ABC放在一个矩形内，利用矩形的面积减去周围多余三角形的面积即可【答案与解析】解：（1）A为（4，0）、B为（1，3）C为（2，2）；（2）ABC先向右平移5个单位，再向下平移2个单位（或先向下平移2个单位，再向右平移5个单位）；（3）ABC的面积为6【总结升华】此题主要考查了坐标与图形的变化，在平面直
8、角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减）举一反三：【变式】（2014大庆校级模拟）如图所示，COB是由AOB经过某种变换后得到的图形，观察点A与点C的坐标之间的关系，解答下列问题：（1）若点M的坐标为（x、y），则它的对应点N的坐标为 （2）若点P（a，2）与点Q（3，b）关于x轴对称，求代数式的值【答案】解：（1）由图象知点M和点N关于x轴对称，点M的坐标为（
9、x、y），点N的坐标为（x，y）；（2）点P（a，2）与点Q（3，b）关于x轴对称，a=3，b=2，=+，=+，=，=类型三、综合应用4. （2016春临沂期末）如图是某台阶的一部分，如果建立适当的坐标系，使A点的坐标为（0，0），B点的坐标为（1，1）（1）直接写出C，D，E，F的坐标；（2）如果台阶有10级，你能求得该台阶的长度和高度吗？【思路点拨】（1）根据平面直角坐标系的定义建立，然后写出各点的坐标即可；（2）利用平移的性质求出横向与纵向的长度，然后求解即可【答案与解析】解：（1）点P（a2，2a+8），在x轴上，2a+8=0，解得：a=4，故a2=42=6，则P（6，0）；（2）点P
10、（a2，2a+8），在y轴上，a2=0，解得：a=2，故2a+8=22+8=12，则P（0，12）；（3）点Q的坐标为（1，5），直线PQy轴；，a2=1，解得：a=3，故2a+8=14，则P（1，14）；（4）点P到x轴、y轴的距离相等，a2=2a+8或a2+2a+8=0，解得：a1=10，a2=2，故当a=10则：a2=12，2a+8=12，则P（12，12）；故当a=2则：a2=4，2a+8=4，则P（4，4）综上所述：P（12，12），（4，4）【总结升华】此题主要考查了点的坐标性质，用到的知识点为：点到坐标轴的距离相等，那么点的横纵坐标相等或互为相反数以及在坐标轴上的点的性质数学是最宝贵的研究精神之一-华罗庚