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1、数学是科学的大门和钥匙-培根简单的轴对称及利用轴对称进行设计（基础）知识讲解责编：康红梅【学习目标】1理解轴对称变换，能按要求作出简单平面图形经轴对称后的图形；能利用轴对称变换，设计一些图案，解决简单的实际问题.2. 探索等腰三角形的性质定理以及判定定理，能熟练运用它们进行推理和计算3. 会作线段的垂直平分线和角的平分线，探索线段垂直平分线和角平分线的性质定理与判定定理，能用它们解决几何计算与证明题.4积累探究图形性质的活动经验，发展空间观念，同时能运用轴对称的性质，解决简单的数学问题或实际问题，提高分析问题和解决问题的能力【要点梳理】要点一、作轴对称图形和对称轴1.做轴对称图形 可以根据两个
2、图形成轴对称的性质，先确定图形关键点关于已知直线的对称点，然后依顺序连接点即可得已知图形关系直线的对称图形.要点诠释：已知一点和直线确定其对称点的作法如下：过这一点作已知直线的垂线，得垂线段，再以垂足为起点，在直线的另一旁截取一点，使这条线段的长与垂线段等长，截取的这点就是已知点关于直线的对称点.2.对称轴的作法 若两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线因此只要找到一对对应点，再作出连接它们的线段的垂直平分线就可以得到这两个图形的对称轴轴对称图形的对称轴作法相同要点诠释：在轴对称图形和成轴对称的两个图形中，对应线段、对应角相等.成轴对称的两个图形，如果它们的对应线段或
3、延长线相交，那么交点一定在对称轴上.如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称.要点二、等腰三角形的性质及判定1.等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）要点诠释：（1）性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据（2）性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等（3）等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴，等边三角形有三条对称轴2.等腰三角形的判定如果一个三角形中有两个角相等，
4、那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）. 要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.要点三、线段垂直平分线性质定理及其逆定理线段垂直平分线（也称中垂线）的性质定理是： 线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等；逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上要点诠释： 性质定理的前提条件是线段已经有了中垂线，从而可以得到线段相等；逆定理则是在结论中确定线段被垂直平分，一定要注意着两者的区别，在使用这两个定理时不要混淆了.要点四、角平分线性质定理及
5、其逆定理角平分线性质定理是：角平分线上的任意一点，到角两边的距离相等；逆定理：在角的内部到角两边的距离相等的点在角平分线上.要点诠释：性质定理的前提条件是已经有角平分线了，即角被平分了；逆定理则是在结论中确定角被平分，一定要注意着两者的区别，在使用这两个定理时不要混淆了.要点五、利用轴对称性质进行简单设计欣赏现实生活中的轴对称图形，能利用轴对称进行一些图案设计，体验轴对称在现实生活中的广泛应用和丰富的文化价值，感受生活中的数学美.【典型例题】类型一、作轴对称图形及对称轴1、已知如下图，求作ABC关于对称轴l的轴对称图形ABC【思路点拨】分别作出点B与点C关于直线l的对称点，然后连接AB，AC，
6、BC即可得到ABC关于对称轴l的轴对称图形ABC【答案与解析】解：【总结升华】作一个图形的对称图形就是作各个顶点关于对称轴的对称点，把作对称图形的问题可以转化为作点的对称点的问题2、画出如图中的各图的对称轴【思路点拨】根据轴对称图形的性质，找到图形中的一组对应点，连接对称图形的两个对应点，作这个线段的垂直平分线就是这个图形的对称轴【答案与解析】解：如图所示：【总结升华】本题考查了对称轴的画法解答此题要明确对称轴所具有的性质：对称轴是任意一对对应点所连线段的垂直平分线举一反三：【变式】在下图中，画出ABC关于直线MN的对称图形.【答案】为所求.类型二、等腰三角形的性质与判定3、（2015秋广西期
7、末）已知：如图所示，在ABC中，AB=AD=DC，BAD=26，求B和C的度数【思路点拨】由题意，在ABC中，AB=AD=DC，BAD=26根据等腰三角形的性质可以求出底角，再根据三角形内角与外角的关系即可求出内角C【答案与解析】解：在ABC中，AB=AD=DC，AB=AD，在三角形ABD中，B=ADB=（18026）=77，又AD=DC，在三角形ADC中，C=77=38.5【总结升华】本题考查等腰三角形的性质及应用等腰三角形两底角相等，还考查了三角形的内角和定理及内角与外角的关系利用三角形的内角求角的度数是一种常用的方法，要熟练掌握举一反三：【变式】如图，已知AD是ABC的中线，BE交AC于
8、E，交AD于F，且AEEF求证：ACBF【答案】 证明：延长AD至点G，使DGAD，连接BG.ABCDEFG 类型三、线段垂直平分线性质定理及其逆定理4、如图，ABC中，BAC=110，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，E、G分别为垂足（1）求DAF的度数；（2）如果BC=10cm，求DAF的周长【思路点拨】1）根据三角形内角和定理可求B+C；根据垂直平分线性质，DA=BD，FA=FC，则EAD=B，FAC=C，得出DAF=BACEADFAC=110（B+C）求出即可（2）由（1）中得出，AD=BD，AF=FC，即可得出DAF的周长为BD+FC+DF=BC，即可得出答案【答案与解析】解：
9、（1）设B=x，C=yBAC+B+C=180，110+B+C=180，x+y=70AB、AC的垂直平分线分别交BA于E、交AC于G，DA=BD，FA=FC，EAD=B，FAC=CDAF=BAC（x+y）=11070=40（2）AB、AC的垂直平分线分别交BA于E、交AC于G，DA=BD，FA=FC，DAF的周长为：AD+DF+AF=BD+DF+FC=BC=10（cm）【总结升华】此题考查了线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理以及等腰三角形的性质注意掌握垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等定理的应用，注意数形结合思想与整体思想的应用.举一反三【变式】（2015徐州）如图，在ABC中，C
10、=31，ABC的平分线BD交AC于点D，如果DE垂直平分BC，那么A= 【答案】87解：在ABC中，C=31，ABC的平分线BD交AC于点D，DBE=ABC=（18031A）=（149A），DE垂直平分BC，BD=DC，DBE=C，DBE=ABC=（149A）=C=31，A=87故答案为：875、如图，ABC中，ACB=90，AD平分BAC，DEAB于E求证：直线AD是线段CE的垂直平分线【思路点拨】由于DEAB，易得AED=90=ACB，而AD平分BAC，易知DAE=DAC，又因为AD=AD，利用AAS可证AEDACD，那么AE=AC，而AD平分BAC，利用等腰三角形三线合一定理可知ADCE
11、，即得证【答案与解析】证明：DEAB，AED=90=ACB，又AD平分BAC，DAE=DAC，AD=AD，AEDACD，AE=AC，AD平分BAC，ADCE，即直线AD是线段CE的垂直平分线【总结升华】本题考查了线段垂直平分的定义、全等三角形的判定和性质、等腰三角形三线合一定理，解题的关键是证明AE=AC举一反三【变式】如图，已知ABC，求作一点P，使P到A的两边的距离相等，且PA=PB，下列确定P点的方法正确的是（）AP是A与B两角平分线的交点BP为A的角平分线与AB的垂直平分线的交点CP为AC、AB两边上的高的交点DP为AC、AB两边的垂直平分线的交点【答案】；类型四、角平分线性质定理及其
12、逆定理6、如图，ABC的角平分线BM，CN相交于O求证：点O到三边AB、BC、CA的距离相等【思路点拨】作OD、OE、OF分别垂直于三边AB、BC、CA，D、E、F为垂足，根据角平分线性质可得OD=OE，OF=OE，OD=OE=OF【答案与解析】证明：作OD、OE、OF分别垂直于三边AB、BC、CA，D、E、F为垂足，BM为ABC的角平分线，ODAB，OEBC，OD=OE（角平分线上的点到这个角两边的距离相等）同理可证：OF=OEOD=OE=OF即点O到三边AB、BC、CA的距离相等【总结升华】此题主要考查角平分线的性质：角平分线上的点到这个角两边的距离相等正确作出辅助线是解答本题的关键举一反
13、三【变式】如图：ABC的两个外角平分线交于点P，则下列结论正确的是（）PA=PC BP平分ABC P到AB，BC的距离相等 BP平分APCABCD【答案】；7、已知如图：AD、BE是ABC的两条角平分线，相交于P点求证：P点在C的平分线上【思路点拨】首先过点P作PMAB，PNBC，PQAC，垂足分别为M、N、Q，然后证明PQ=PN即可【答案与解析】证明：如图，过点P作PMAB，PNBC，PQAC，垂足分别为M、N、Q，P在BAC的平分线AD上，PM=PQ，P在ABC的平分线BE上，PM=PN，PQ=PN，点P在C的平分线上【总结升华】本题主要考查了角平分线上的点到角两边的距离相等的性质用此性质证明它的逆定理成立角平分线性质的逆定理：到角的两边距离相等的点在角的平分线上正确作出辅助线是解答本题的关键类型五、利用轴对称性质进行设计8、如图所示，请你用三种方法，把左边的小正方形分别平移到右边三个图形中，使各个图形成为轴对称图形，并分别画出其对称轴所在的位置【思路点拨】根据轴对称图形的性质，先找出对称轴，再思考如何画图【答案与解析】解：如图所示【总结升华】本题考查了轴对称图形的性质及其作图的方法，做这些题时找对称轴及对称点是关键数学是最宝贵的研究精神之一-华罗庚