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1、数学是科学的大门和钥匙-培根角的平分线的性质（提高）责编：杜少波【学习目标】1掌握角平分线的性质，理解三角形的三条角平分线的性质2掌握角平分线的判定及角平分线的画法3. 熟练运用角的平分线的性质解决问题【要点梳理】【高清课堂：388612 角平分线的性质，知识要点】要点一、角的平分线的性质角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.要点诠释：用符号语言表示角的平分线的性质定理：若CD平分ADB，点P是CD上一点，且PEAD于点E，PFBD于点F，则PEPF.要点二、角的平分线的判定 角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.要点诠释：用符号语言表示角的平分线的判定：
2、若PEAD于点E，PFBD于点F，PEPF，则PD平分ADB要点三、角的平分线的尺规作图角平分线的尺规作图（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.（2）分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在AOB内部交于点C.（3）画射线OC.射线OC即为所求.要点四、三角形角平分线的性质三角形三条角平分线交于三角形内部一点，此点叫做三角形的内心且这一点到三角形三边的距离相等.三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.这点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个.如图所示：ABC的内心为，旁心为，这四个点到ABC三边所在直线
3、距离相等.【典型例题】类型一、角的平分线的性质及判定1、如图，在ABC中，ABC的平分线与ACB的外角的平分线相交于点P，连接AP（1）求证：PA平分BAC的外角CAM；（2）过点C作CEAP，E是垂足，并延长CE交BM于点D求证：CE=ED【思路点拨】（1）过P作PTBC于T，PSAC于S，PQBA于Q，根据角平分线性质求出PQ=PS=PT，根据角平分线性质得出即可；（2）根据ASA求出AEDAEC即可【答案与解析】证明：（1）过P作PTBC于T，PSAC于S，PQBA于Q，如图，在ABC中，ABC的平分线与ACB的外角的平分线相交于点P，PQ=PT，PS=PT，PQ=PS，AP平分DAC，
4、即PA平分BAC的外角CAM；（2）PA平分BAC的外角CAM，DAE=CAE，CEAP，AED=AEC=90，在AED和AEC中AEDAEC，CE=ED【总结升华】本题考查了角平分线性质和全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是能正确作出辅助线并进一步求出PQ=PS和AEDAEC，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等举一反三：【变式】如图，AD是BAC的平分线，DEAB，交AB的延长线于点E，DFAC于点F，且DBDC.求证：BECF.【答案】证明：DEAE，DFAC，AD是BAC的平分线， DEDF，BEDDFC90 在RtBDE与RtCDF中， RtBDERtCDF（HL） BEC
5、F2、如图，AD是ABC的角平分线，DFAB，垂足为F，DEDG，ADG和AED的面积分别为50和39，则EDF的面积为：（ ） A.11 B.5.5 C.7 D.3.5【答案】 B；【解析】解： 过D点作DHAC于H， AD是ABC的角平分线，DFAB，DHACDFDH在RtEDF和RtGDH中DEDG，DFDHRtEDFRtGDH同理可证RtADF和RtADH503911，EDF的面积为5.5 【总结升华】本题求EDF的面积不方便找底和高，利用全等三角形可用已知ADG和AED的面积来表示EDF面积.【高清课堂：388612 角平分线的性质，例6】3、（2016湖州）如图，ABCD，BP和C
6、P分别平分ABC和DCB，AD过点P，且与AB垂直若AD=8，则点P到BC的距离是（）A8B6C4D2【思路点拨】过点P作PEBC于E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等即可推出P到BC的距离.【答案与解析】解：过点P作PEBC于E，ABCD，PAAB，PDCD，BP和CP分别平分ABC和DCB，PA=PE，PD=PE，PE=PA=PD，PA+PD=AD=8，PA=PD=4，PE=4故选C【总结升华】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质并作辅助线是解题的关键类型二、角的平分线的性质综合应用4、如图，P为ABC的外角平分线上任一点.求证：PBPCABAC.【思路点拨】
7、在BA的延长线上取ADAC，证PADPAC，从而将四条线段转化到同一个PBD中，利用三角形两边之和大于第三边解决问题.【答案与解析】证明：当点P与点A不重合时，在BA延长线上取一点D，使ADAC，连接PD.P为ABC的外角平分线上一点，12 在PAD和PAC中PADPAC（SAS），PDPC在PBD中，PBPDBD，BDABADPBPCABAC.当点P与点A重合时，PBPCABAC.综上，PBPCABAC.【总结升华】利用角平分线的对称性，在角两边取相同的线段，通过（SAS）构造全等三角形，从而把分散的线段集中到同一个三角形中.举一反三：【变式】如图，四边形ABDC中，D=ABD=90，点O为BD的中点，且OA平分BAC（1）求证：OC平分ACD；（2）求证：OAOC；（3）求证：AB+CD=AC【答案】证明：（1）过点O作OEAC于E，ABD=90，OA平分BAC，OB=OE，点O为BD的中点，OB=OD，OE=OD，OC平分ACD；（2）在RtABO和RtAEO中，RtABORtAEO（HL），AOB=AOE，同理求出COD=COE，AOC=AOE+COE=180=90，OAOC；（3）RtABORtAEO，AB=AE，同理可得CD=CE，AC=AE+CE，AB+CD=AC数学是最宝贵的研究精神之一-华罗庚