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1、1 几种常见的补形法 1 四面体的补形法 【例 1】 在四面体ABCD中，设AB = 1 ，CD =3，直线AB与CD的距离为 2，夹角为 3 ，则四面体的体积等于_ 【解析】法 1：如图，将四面体ABCD补成四棱锥ABDCE， 且BECD，BE = CD，则ABE = 3 或 3 2 ，BE =3，CD面ABE，CD与AB 的距离即为CD到平面ABE的距离，亦即C到平面ABE的距离就是三棱锥CABE的 高h = 2 ，VA BCD = VA BEC = VC ABE =h 3 1 SABE 3 sin 2 1 2 3 1 BEAB= 2 1 . 法 2：如图，把四面体ABCD补成三棱柱ABE
2、FCD，则面ABE面CDF，ABCF， 且CF= 1，则AB与CD的距离就是平面ABE与平面FCD的距离，即三棱柱的高h= 2， 且DCF = 3 或 3 2 . V柱 = SFCD h = 2 3 2 3 sin 2 1 CFCD， 故四面体的体积为 2 1 3 1 柱 V. 法 3：如图，把四面体ABCD补成平行六面体，则四面体的体积是平行六面体 体积的 3 1 ,V平行六面体 = S底 h= 2 3 2 3 sin31 2 1 ，故四面体的体积为 2 1 . 【评注】 三棱锥补成四棱锥、三棱柱或正方体可以简化求体积，本题将两异 面的直线段构成的四面体用三种不同的补形探究出. 结论：在四面
3、体ABCD中，设 AB = a，CD = b，直线AB与CD的距离为h，夹角为 ，则四面体的体积为V =sin 6 1 abh. 2. 三侧棱两两垂直的三棱锥补形成长方体 【例 2】已知正三棱锥PABC，点P，A，B，C都在半径为3的球面上，若PA，PB， PC两两相互垂直，则正三棱锥PABC球心到截面ABC的距离为 _ 【解析】 正三棱锥补成正方体如图，可知球心O为体对角线PD的中点， 且PO3， 又P到平面ABC的距离为h，则 1 3 3 4 (22) 2 h 1 3 1 2222. h2 3 3 . 【评注】如果三棱锥的三条侧棱互相垂直并且相等，则可以补形为一个正方体; 如果三棱锥的三条
4、侧 棱互相垂直但不相等，则可以补形为一个长方体，长方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心R 2 a 2 b 2 c 2 4 l 2 4 (l为长方体的体对角线长) 【变式1】利用四个面为直角三角形的三棱锥补成长方体求外接球 的面积 在 三 棱 锥VA BC中 ，VA底 面ABC，90ABC， 若 A B F E C D C D B A A B V C A B E D C 2 1,2,3VAABBC，则三棱锥外接球的表面积为_ 1.14. 【解析】 将三棱锥VABC中补成如图所示的长方体，则三棱锥的VABC的外接球即如 图所示的长方体的外接球，球的直径等于长方体的对角线的长14，三棱锥外接球
5、的表面积为 2 414r. 【变式 2】利用三侧棱两两垂直的三棱锥补成长方体求四面体的体积 如图所示，在四面体ABCD中，,AB BC BD两两垂直，且 2ABBC，E是AC的中点，异面直线 AD与BE所成角的 余弦值为 10 10 ，则四面体ABCD的体积 . 2. 8 3 【解析】 依题意把,AB BC BD视为长方体一角的三条 棱，将四面体ABCD补成长方体CFABGHQD. 如图，连结 ,GF BF，则GFB就是异面直线AD与BE所成角，设BDx, 则 2222 4,8BGGFxBF，由 余弦定理求得4x. ABCD 18 =224= 63 V四面体 . 3. 对棱相等的三棱锥补成长方
6、体 【例 3】已知四面体SABC的三组对棱相等，依次为25、13、5，则四面 体的体积为 . 【解析】如图 , 把四面体SABC补形为长方体ADBEGSHC, 设长方体的 长、宽、高分别为a、b、c，则有a 2 + b 2 = (2 5) 2， b 2 + c 2 = ( 13) 2， c 2 + a 2 = 5 2，联立以上三式并解之得： a = 4 ，b = 2 ，c = 3. 故VS ABC = V长方体 4VS ABD = abc 4 3 1 2 1 3 1 abcabc = 8. 【变式 1】四面体补成长方体求体积 已知四面体SABC的三组对棱相等，依次为25、13、5，则四面体的体
7、积为 1.8 【解析】如图 , 把四面体SABC补形为长方体ADBEGSHC, 设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则有a 2 + b 2 = (2 5) 2 ， b 2 + c 2 = ( 13) 2， c 2 + a 2 = 52，联立以上三式并解之得： a = 4 ，b = 2 ，c = 3. 故VSABC = V长方体 4VSABD = abc 4 3 1 2 1 3 1 abcabc = 8. 【变式 2】四面体补成正方体等积法求点到面的距离 已知正三棱锥PABC，点P，A，B，C都在半径为3的球面上，若PA，PB，PC两两相互垂直，则球 心到截面ABC的距离为 _ A B C D E G Q H F A B C D E G S H