1、2019-2020年高二下学期期中数学试卷（理科） 含解析一、选择题（共8个小题，每小题5分，共40分）1已知=b+i（a，bR），其中i为虚数单位，则a+b=（）A1B1C2D32若f（x）=sincosx，则f（）等于（）AcosBsinCsin+cosD2sin3下列推理是归纳推理的是（）AA，B为定点，动点P满足|PA|+|PB|=2a|AB|，则P点的轨迹为椭圆B由a1=1，an=3n1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式C由圆x2+y2=r2的面积r2，猜想出椭圆+=1的面积S=abD以上均不正确4用数学归纳法证明：1+=时，由n=k到n=k+1左边需要添加的项
2、是（）ABCD5已知复数z=a+（a2）i（aR，i为虚数单位）为实数，则（+x）dx的值为（）A2+B2+C4+2D4+46设aR，若函数y=x+alnx在区间（，e）有极值点，则a取值范围为（）A（，e）B（e，）C（，）（e，+）D（，e）（，+）7已知R上可导函数f（x）的图象如图所示，则不等式（x22x3）f（x）0的解集为（）A（，2）（1，+）B（，2）（1，2）C（，1）（1，0）（2，+）D（，1）（1，1）（3，+）8已知函数y=f（x）的图象为R上的一条连续不断的曲线，当x0时，f（x）+0，则关于x的函数g（x）=f（x）+的零点的个数为（）A0B1C2D0或2二、填空
3、题（共6个小题，每小题5分，共30分）9曲线y=ln（2x1）上的点到直线2xy+3=0的最短距离是10设ABC的三边长分别为a、b、c，ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r=；类比这个结论可知：四面体PABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球的半径为r，四面体PABC的体积为V，则r=11若函数f（x）=（x2）（x2+c）在x=2处有极值，则函数f（x）的图象在x=1处的切线的斜率为12设f（x）=x3+x2+2ax，若f（x）在（，+）上存在单调递增区间，则a的取值范围是13函数f（x）=x2+2ax与g（x）=在区间（1，2）上都单调递减，则实数a的取值范围是14若函
4、数f（x）=x3x在（a，10a2）上有最小值，则a的取值范围为三、解答题（共6道题，共80分）15当nN*时，Tn=+（）求S1，S2，T1，T2；（）猜想Sn与Tn的关系，并用数学归纳法证明16已知函数f（x）=ax3+bx+c在点x=2处取得极值c16（）求a，b的值；（）若f（x）有极大值28，求f（x）在3，3上的最小值17已知函数f（x）=alnx+1（）当a=时，求f（x）在区间，e上的最值；（）讨论函数f（x）的单调性；（）当1a0时，有f（x）1+ln（a）恒成立，求a的取值范围18已知函数f（x）=（a+1）lnx+ax2+1（）讨论函数f（x）的单调性；（）设a2，证明：
5、对任意x1，x2（0，+），|f（x1）f（x2）|4|x1x2|19已知函数f（x）=ax+lnxaR（1）若函数f（x）在x（0，e上的最大值为3；求a的值；（2）设g（x）=x22x+2，若对任意x1（0，+），均存在x20，1，使得f（x1）g（x2），求a的取值范围20已知函数f（x）=x3+ax+b，g（x）=x3+lnx+b，（a，b为常数）（）若g（x）在x=1处的切线过点（0，5），求b的值；（）设函数f（x）的导函数为f（x），若关于x的方程f（x）x=xf（x）有唯一解，求实数b的取值范围；（）令F（x）=f（x）g（x），若函数F（x）存在极值，且所有极值之和大于5+l
6、n2，求实数a的取值范围xx天津市静海县六校联考高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8个小题，每小题5分，共40分）1已知=b+i（a，bR），其中i为虚数单位，则a+b=（）A1B1C2D3【考点】复数代数形式的混合运算【分析】先化简复数，再利用复数相等，解出a、b，可得结果【解答】解：由得a+2i=bi1，所以由复数相等的意义知a=1，b=2，所以a+b=1另解：由得ai+2=b+i（a，bR），则a=1，b=2，a+b=1故选B2若f（x）=sincosx，则f（）等于（）AcosBsinCsin+cosD2sin【考点】导数的运算【分析】求导时应注意，x的区分
7、解答】f（x）=sinx，f（）=sin故选B3下列推理是归纳推理的是（）AA，B为定点，动点P满足|PA|+|PB|=2a|AB|，则P点的轨迹为椭圆B由a1=1，an=3n1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式C由圆x2+y2=r2的面积r2，猜想出椭圆+=1的面积S=abD以上均不正确【考点】归纳推理【分析】本题考查的是选归纳推理的定义，判断一个推理过程是否是归纳推理关键是看他是否符合归纳推理的定义，即是否是由特殊到一般的推理过程【解答】解：A选项用的双曲线的定义进行推理，不符合要求B选项根据前3个S1，S2，S3的值，猜想出Sn的表达式，属于归纳推理，符合要求C选
8、项由圆x2+y2=r2的面积S=r2，猜想出椭圆+=1的面积S=ab，用的是类比推理，不符合要求故选：B4用数学归纳法证明：1+=时，由n=k到n=k+1左边需要添加的项是（）ABCD【考点】数学归纳法【分析】n=k时，左边最后一项为，n=k+1时，左边最后一项为，由此即可得到结论【解答】解：n=k时，左边最后一项为，n=k+1时，左边最后一项为，从n=k到n=k+1，不等式左边需要添加的项为故选D5已知复数z=a+（a2）i（aR，i为虚数单位）为实数，则（+x）dx的值为（）A2+B2+C4+2D4+4【考点】定积分；复数的基本概念【分析】由复数定义易得a=2，可得（+x）dx=dx+xd
9、x，由定积分的几何意义个定积分的计算可得【解答】解：复数z=a+（a2）i为实数，a=2，（+x）dx=dx+xdx，由定积分的几何意义可知dx表示圆x2+y2=4面积的四分之一，为，（+x）dx=+=+2故选：A6设aR，若函数y=x+alnx在区间（，e）有极值点，则a取值范围为（）A（，e）B（e，）C（，）（e，+）D（，e）（，+）【考点】函数在某点取得极值的条件【分析】函数y=f（x）=x+alnx在区间（，e）有极值点y=0在区间（，e）有零点由f（x）=1+=（x0）可得，解出即可【解答】解：函数y=f（x）=x+alnx在区间（，e）有极值点y=0在区间（，e）有零点f（x）
10、1+=（x0），解得a取值范围为故选：B7已知R上可导函数f（x）的图象如图所示，则不等式（x22x3）f（x）0的解集为（）A（，2）（1，+）B（，2）（1，2）C（，1）（1，0）（2，+）D（，1）（1，1）（3，+）【考点】函数的单调性与导数的关系【分析】根据题意结合图象求出f（x）0的解集与f（x）0的解集，因此对原不等式进行化简与转化，进而得到原不等式的答案【解答】解：由图象可得：当f（x）0时，函数f（x）是增函数，所以f（x）0的解集为（，1），（1，+），当f（x）0时，函数f（x）是减函数，所以f（x）0的解集为（1，1）所以不等式f（x）0即与不等式（x1）（x+1）
11、0的解集相等由题意可得：不等式（x22x3）f（x）0等价于不等式（x3）（x+1）（x+1）（x1）0，所以原不等式的解集为（，1）（1，1）（3，+），故选D8已知函数y=f（x）的图象为R上的一条连续不断的曲线，当x0时，f（x）+0，则关于x的函数g（x）=f（x）+的零点的个数为（）A0B1C2D0或2【考点】函数零点的判定定理【分析】将求g（x）的零点个数转化为求xg（x）的最值问题，由已知求出h（x）=xg（x）0，得出g（x）0恒成立【解答】解：f（x）+0，令h（x）=xf（x）+1，h（x）=f（x）+xf（x），x0时，h（x）单调递增，x0时，h（x）单调递减，h（x）
12、min=h（0）=10，x0时，g（x）0恒成立，故零点的个数是0个，故选：A二、填空题（共6个小题，每小题5分，共30分）9曲线y=ln（2x1）上的点到直线2xy+3=0的最短距离是【考点】导数的运算；点到直线的距离公式【分析】直线y=2x+3在曲线y=ln（2x+1）上方，把直线平行下移到与曲线相切，切点到直线2xy+3=0的距离即为所求的最短距离由直线2xy+3=0的斜率，令曲线方程的导函数等于已知直线的斜率即可求出切点的横坐标，把求出的横坐标代入曲线方程即可求出切点的纵坐标，然后利用点到直线的距离公式求出切点到已知直线的距离即可【解答】解：因为直线2xy+3=0的斜率为2，所以令y=
13、2，解得：x=1，把x=1代入曲线方程得：y=0，即曲线上过（1，0）的切线斜率为2，则（1，0）到直线2xy+3=0的距离d=，即曲线y=ln（2x1）上的点到直线2xy+3=0的最短距离是故答案为：10设ABC的三边长分别为a、b、c，ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r=；类比这个结论可知：四面体PABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球的半径为r，四面体PABC的体积为V，则r=【考点】类比推理【分析】根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线 类比 直线或平面，由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体
14、积即可【解答】解：设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和则四面体的体积为（S1+S2+S3+S4）rr=故答案为：11若函数f（x）=（x2）（x2+c）在x=2处有极值，则函数f（x）的图象在x=1处的切线的斜率为5【考点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】对函数f（x）=（x2）（x2+c）进行求导，根据函数在x=2处有极值，可得f（2）=0，求出c值，然后很据函数导数和函数切线的斜率的关系即可求解【解答】解：函数f（x）=（x2）（x2+c）在x=1处有极值，f（x）=
15、x2+c）+（x2）2x，f（2）=0，（c+4）+（22）2=0，c=4，f（x）=（x24）+（x2）2x，函数f（x）的图象x=1处的切线的斜率为f（1）=（14）+（12）2=5，故答案为：512设f（x）=x3+x2+2ax，若f（x）在（，+）上存在单调递增区间，则a的取值范围是a【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】函数f（x）在（，+）上存在单调递增区间，即f（x）0在（，+）上有解，只需f（）0即可，根据一元二次函数的性质即可得到结论【解答】解：，函数的导数为f（x）=x2+x+2a，若函数f（x）在（，+）上存在单调递增区间，即f（x）0在（，+）上有解f（x）=x2+
16、x+2a，只需f（）0即可，由f（）=+2a=2a+0，解得a，故答案为：a13函数f（x）=x2+2ax与g（x）=在区间（1，2）上都单调递减，则实数a的取值范围是（1，1【考点】函数单调性的性质【分析】分别利用二次函数、反比例函数的单调性，确定a的范围，即可得出结论【解答】解：f（x）=x2+2ax的图象是开口朝下，以x=a为对称轴的抛物线，f（x）=x2+2ax在区间1，2上是减函数，a1；g（x）=a+在区间（1，2）上都单调递减，有a+10，解得a1；综，得1a1，即实数a的取值范围是（1，1故答案为：（1，114若函数f（x）=x3x在（a，10a2）上有最小值，则a的取值范围为
17、2，1）【考点】利用导数求闭区间上函数的最值【分析】由题意求导f（x）=x21=（x1）（x+1）；从而得到函数的单调性，从而可得2a110a2；从而解得【解答】解：f（x）=x3x，f（x）=x21=（x1）（x+1）；故f（x）=x3x在（，1）上是增函数，在（1，1）上是减函数，在（1，+）上是增函数；f（x）=x3x=f（1）=；故x=1或x=2；故2a110a2；解得，2a1故答案为：2，1）三、解答题（共6道题，共80分）15当nN*时，Tn=+（）求S1，S2，T1，T2；（）猜想Sn与Tn的关系，并用数学归纳法证明【考点】数学归纳法；数列的求和【分析】（）由已知直接利用n=1，
18、2，求出S1，S2，T1，T2的值；（）利用（1）的结果，直接猜想Sn=Tn，然后利用数学归纳法证明，验证n=1时猜想成立；假设n=k时，Sk=Tk，通过假设证明n=k+1时猜想也成立即可【解答】解：（）当nN*时，Tn=+S1=1=，S2=1+=，T1=，T2=+=（）猜想：Sn=Tn（nN*），即：1+=+（nN*）下面用数学归纳法证明：当n=1时，已证S1=T1假设n=k时，Sk=Tk（k1，kN*），即：1+=+则：Sk+1=Sk+=Tk+=+=+（）=+=Tk+1，由，可知，对任意nN*，Sn=Tn都成立16已知函数f（x）=ax3+bx+c在点x=2处取得极值c16（）求a，b的值
19、若f（x）有极大值28，求f（x）在3，3上的最小值【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数在某点取得极值的条件【分析】（）由题设f（x）=ax3+bx+c，可得f（x）=3ax2+b，又函数在点x=2处取得极值c16，可得解此方程组即可得出a，b的值；（II）结合（I）判断出f（x）有极大值，利用f（x）有极大值28建立方程求出参数c的值，进而可求出函数f（x）在3，3上的极小值与两个端点的函数值，比较这此值得出f（x）在3，3上的最小值即可【解答】解：（）由题f（x）=ax3+bx+c，可得f（x）=3ax2+b，又函数在点x=2处取得极值c16，即，化简得解得a=1，b=12（I
20、I）由（I）知f（x）=x312x+c，f（x）=3x212=3（x+2）（x2）令f（x）=3x212=3（x+2）（x2）=0，解得x1=2，x2=2当x（，2）时，f（x）0，故f（x）在（，2）上为增函数；当x（2，2）时，f（x）0，故f（x）在（2，2）上为减函数；当x（2，+）时，f（x）0，故f（x）在（2，+）上为增函数；由此可知f（x）在x1=2处取得极大值f（2）=16+c，f（x）在x2=2处取得极小值f（2）=c16，由题设条件知16+c=28得，c=12此时f（3）=9+c=21，f（3）=9+c=3，f（2）=16+c=4因此f（x）在3，3上的最小值f（2）=4
21、17已知函数f（x）=alnx+1（）当a=时，求f（x）在区间，e上的最值；（）讨论函数f（x）的单调性；（）当1a0时，有f（x）1+ln（a）恒成立，求a的取值范围【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用【分析】（）求导f（x）的定义域，求导函数，利用函数的最值在极值处与端点处取得，即可求得f（x）在区间，e上的最值；（）求导函数，分类讨论，利用导数的正负，可确定函数的单调性；（）由（）知，当1a0时，f（x）min=f（），即原不等式等价于f（）1+ln（a），由此可求a的取值范围【解答】解：（）当a=时，f（x）的定义域为（0，+），由f（x）=0得x=1f（x）在区间，e上的最值只
22、可能在f（1），f（），f（e）取到，而f（1）=，f（）=，f（e）=，f（x）max=f（e）=，f（x）min=f（1）=（），x（0，+）当a+10，即a1时，f（x）0，f（x）在（0，+）上单调递减；当a0时，f（x）0，f（x）在（0，+）上单调递增；当1a0时，由f（x）0得，或（舍去）f（x）在（，+）单调递增，在（0，）上单调递减；综上，当a0时，f（x）在（0，+）上单调递增；当1a0时，f（x）在（，+）单调递增，在（0，）上单调递减；当a1时，f（x）在（0，+）上单调递减；（）由（）知，当1a0时，f（x）min=f（）即原不等式等价于f（）1+ln（a）即aln+
23、11+ln（a）整理得ln（a+1）1a1，又1a0，a的取值范围为（1，0）18已知函数f（x）=（a+1）lnx+ax2+1（）讨论函数f（x）的单调性；（）设a2，证明：对任意x1，x2（0，+），|f（x1）f（x2）|4|x1x2|【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值【分析】（1）先求出函数的定义域，然后对函数f（x）进行求导，根据导函数大于0时原函数单调递增、导函数小于0时原函数单调递减对a分3种情况进行讨论（2）先根据a的范围对函数f（x）的单调性进行判断，然后根据单调性去绝对值，将问题转化为证明函数g（x）=f（x）+4x的单调性问题【解答】解：（）f
24、x）的定义域为（0，+），当a0时，f（x）0，故f（x）在（0，+）单调增加；当a1时，f（x）0，故f（x）在（0，+）单调减少；当1a0时，令f（x）=0，解得x=当x（0，）时，f（x）0；x（，+）时，f（x）0，故f（x）在（0，）单调增加，在（，+）单调减少（）不妨假设x1x2由于a2，故f（x）在（0，+）单调递减所以|f（x1）f（x2）|4|x1x2|等价于f（x1）f（x2）4x24x1，即f（x2）+4x2f（x1）+4x1令g（x）=f（x）+4x，则+4=于是g（x）=0从而g（x）在（0，+）单调减少，故g（x1）g（x2），即f（x1）+4x1f（x2）+4x
25、2，故对任意x1，x2（0，+），|f（x1）f（x2）|4|x1x2|19已知函数f（x）=ax+lnxaR（1）若函数f（x）在x（0，e上的最大值为3；求a的值；（2）设g（x）=x22x+2，若对任意x1（0，+），均存在x20，1，使得f（x1）g（x2），求a的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值【分析】（1）先求导，再分类讨论，根据函数的单调性即可求出最值（2）对任意x1（0，+），均存在x20，1，使得f（x1）g（x2），等价于f（x）maxg（x）max，分别求出相应的最大值，即可求得实数a的取值范围【解答】解：（1）f（x）=a+=，x0
26、当a0时，f（x）0，f（x）在（0，e上单调递增，f（x）=f（e）=ae+1=3，（舍去），当a0f（x）=0 时）当，即时，f（x）在上单调递增，在上单调递减，最大值则a=e2，）当时，即时，f（x）0 f（x）在（0，e上单调递增，f（x）最大值f（e）=ae+1=3， （舍去），综上：函数f（x）在x0，e上的最大值为3时a=e2，（2）由已知，转化为f（x）maxg（x）max，因为g（x）=x22x+2=（x1）2+1，x0，1，所以g（x）max=2由（1）知，当a0时，f（x）在（0，+）上单调递增，值域为R，故不符合题意当a0时，f（x）在（0，）上单调递增，在（，+）上单
27、调递减，故f（x）的极大值即为最大值，f（）=1+ln（）=1ln（a），所以21ln（a），解得ae3，故a的取值范围是（，e3）20已知函数f（x）=x3+ax+b，g（x）=x3+lnx+b，（a，b为常数）（）若g（x）在x=1处的切线过点（0，5），求b的值；（）设函数f（x）的导函数为f（x），若关于x的方程f（x）x=xf（x）有唯一解，求实数b的取值范围；（）令F（x）=f（x）g（x），若函数F（x）存在极值，且所有极值之和大于5+ln2，求实数a的取值范围【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（）求函数的导数，利用导数的几何意义即可求b的值；
28、求出方程f（x）x=xf（x）的表达式，利用参数分离法构造函数，利用导数求出函数的取值范围即可求实数b的取值范围；（）求函数的导数，利用导数和极值之间的关系进行求解即可，【解答】解：（）设g（x）在x=1处的切线方程为y=kx5，因为，所以k=11，故切线方程为y=11x5当x=1时，y=6，将（1，6）代入，得 （）f（x）=3x2+5x+a，由题意得方程有唯一解，即方程有唯一解令，则h（x）=6x2+5x+1=（2x+1）（3x+1），所以h（x）在区间上是增函数，在区间上是减函数又，故实数b的取值范围是 （）F（x）=axx2lnx，所以因为F（x）存在极值，所以在（0，+）上有根，即方程2x2ax+1=0在（0，+）上有根，则有=a280显然当=0时，F（x）无极值，不合题意；所以方程必有两个不等正根记方程2x2ax+1=0的两根为x1，x2，则=，解得a216，满足0又，即a0，故所求a的取值范围是（4，+） xx1月15日
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