《全国通用19届高考数学大一轮复习第五章平面向量5.2平面向量基本定理及坐标表示学案1804024121.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《全国通用19届高考数学大一轮复习第五章平面向量5.2平面向量基本定理及坐标表示学案1804024121.pdf（16页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、1 。 。 。 。 内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 5.2平面向量基本定理及坐标表示 最新考纲考情考向分析 1. 了解平面向量基本定理及其意义 2. 掌握平面向量的正交分解及其坐标表 示 3. 会用坐标表示平面向量的加法、减法与 数乘运算 4. 理解用坐标表示的平面向量共线的条 件. 主要考查平面向量基本定理、向量加法、减法、 数乘向量的坐标运算及平面向量共线的坐标表 示，考查向量线性运算的综合应用，考查学生的 运算推理能力、 数形结合能力， 常与三角函数综 合交汇考查， 突出向量的工具性 一般以选择题、 填空题形式考查， 偶尔有与三角函数综合在
2、一起 考查的解答题，属于中档题. 1平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有 一对实数1， 2，使a1e12e2. 其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 2平面向量的坐标运算 (1) 向量加法、减法、数乘及向量的模 设a(x1，y1) ，b(x2，y2) ，则 ab(x1x2，y1y2) ，ab(x1x2，y1y2) ， a(x1， y1)，|a| x 2 1y 2 1. (2) 向量坐标的求法 2 若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标 设A(x1，y1) ，B(x2，y2) ，则AB ( x
3、2x1，y2y1) ，|AB | x2x1 2 y2y1 2. 3平面向量共线的坐标表示 设a(x1，y1) ，b(x2，y2) ，其中b 0.a，b共线 ?x1y2x2y1 0. 知识拓展 1若a与b不共线， ab0，则 0. 2设a(x1，y1) ，b(x2，y2) ，如果x20，y20，则ab? x1 x2 y1 y2. 题组一思考辨析 1判断下列结论是否正确( 请在括号中打“”或“”) (1) 平面内的任何两个向量都可以作为一组基底( ) (2) 若a，b不共线，且1a1b2a2b，则 1 2，12.( ) (3) 平面向量的基底不唯一，只要基底确定后， 平面内的任何一个向量都可用这组
4、基底唯一表 示 ( ) (4) 若a(x1，y1) ，b(x2，y2) ，则ab的充要条件可表示成 x1 x2 y1 y2.( ) (5) 当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标( ) (6) 平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变( ) 题组二教材改编 2 P97 例 5 已知 ?ABCD的顶点A( 1， 2) ，B(3 ， 1) ，C(5,6) ， 则顶点D的坐标为 _ 答案(1,5) 解析设D(x，y) ，则由AB DC ，得 (4,1)(5x,6y) ， 即 45x， 16y， 解得 x1， y5. 3 P119A 组 T9已知向量a(2,3) ，b( 1,2)
5、， 若m anb与a2b共线，则 m n_. 答案 1 2 解析由向量a(2,3)，b( 1,2) ， 得m anb(2mn,3m2n) ，a2b(4 ， 1) 由m anb与a2b共线， 3 得 2mn 4 3m 2n 1 ，所以 m n 1 2. 题组三易错自纠 4设e1，e2是平面内一组基底，若1e12e20，则 12_. 答案0 5已知点A(0,1) ，B(3,2) ，向量AC ( 4， 3) ，则向量BC _. 答案( 7， 4) 解析根据题意得AB (3,1) ， BC AC AB ( 4， 3)(3,1) ( 7， 4) 6(2016全国 ) 已知向量a(m,4) ，b(3 ，
6、2)，且ab，则m_. 答案 6 解析因为ab，所以 (2)m43 0，解得m 6. 题型一平面向量基本定理的应用 1在下列向量组中，可以把向量a(3,2) 表示出来的是 ( ) Ae1(0,0) ，e2(1,2) Be1(1,2) ，e2(5 ， 2) Ce1(3,5) ，e2(6,10) De1(2， 3)，e2 ( 2,3) 答案B 解析方法一设ak1e1k2e2， A选项， (3,2) (k2,2k2) ， k23， 2k22， 无解； B选项， (3,2) ( k15k2,2k1 2k2) ， k15k23， 2k12k22， 解得 k12， k21. 故 B中的e1，e2可以把a表
7、示出来； 同理， C，D选项同 A选项，无解 方法二只需判断e1与e2是否共线即可，不共线的就符合要求 2(2017济南模拟 ) 如图，在ABC中，AN 1 3NC ，P是BN上的一点，若AP mAB 2 11AC ，则 4 实数m的值为 _ 答案 3 11 解析AN 1 3NC ， AC 4AN ， AD mAB 2 11AC mAB 8 11AN ， 又P，B，N三点共线，m 8 111，即 m 3 11. 思维升华平面向量基本定理应用的实质和一般思路 (1) 应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的 加、减或数乘运算 (2) 用平面向量基本定理解决问题
8、的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论 表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决 题型二平面向量的坐标运算 典例 (1) 已知a(5 ， 2) ，b( 4， 3)，若a2b3c0，则c等于 ( ) A. 1，8 3 B. 13 3 ，8 3 C. 13 3 ，4 3 D. 13 3 ， 4 3 答案D 解析由已知 3ca2b ( 5,2) ( 8， 6)( 13， 4) 所以c 13 3 ， 4 3 . (2)(2017 北京西城区模拟) 向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若ca b( ， R)，则 等于 ( ) A1 B 2 C 3 D 4 5 答案D 解析以向量a和
9、b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系( 设每个小正方形边长为1)， 则A(1， 1) ，B(6,2)，C(5 ， 1) ， aAO ( 1,1) ，bOB (6,2)，cBC ( 1， 3) cab， ( 1， 3) ( 1,1) (6,2) ， 即 6 1， 2 3， 解得 2， 1 2， 4. 引申探究 在本例 (2) 中，试用a，c表示b. 解建立本例 (2) 解答中的平面直角坐标系，则a (1,1) ，b(6,2) ，c( 1， 3)，设 bxayc， 则(6,2) x( 1,1) y(1， 3) 即 xy6， x3y2， 解得 x 4， y 2， 故b 4a 2c. 思维升华向
10、量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行计算若已知有向线段两端 点的坐标， 则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则 跟踪训练 (1) 已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B( 1， 2) ，C(3 ，1)，且BC 2AD ，则 顶点D的坐标为 ( ) A. 2，7 2 B. 2， 1 2 C(3,2) D(1,3) 答案A 解析设D(x，y) ，AD (x，y2) ，BC (4,3) ， 又BC 2AD ， 42x， 32y2 ， x2， y 7 2， 故选 A. 6 (2) 已知平面向量a(1,1) ，b(1 ， 1) ，则向量 1 2a 3 2b
11、 等于 ( ) A( 2， 1) B( 2,1) C( 1,0) D( 1,2) 答案D 解析 1 2a 1 2， 1 2 ， 3 2b 3 2， 3 2 ， 故 1 2a 3 2b( 1,2) 7 题型三向量共线的坐标表示 命题点 1 利用向量共线求向量或点的坐标 典例已知点A(4,0) ，B(4,4) ，C(2,6)，则AC与OB的交点P的坐标为 _ 答案(3,3) 解析方法一由O，P，B三点共线，可设OP OB (4 ，4) ，则AP OP OA (4 4,4 ) 又AC OC OA ( 2,6) ， 由AP 与AC 共线，得 (4 4)6 4( 2) 0， 解得 3 4， 所以OP 3
12、 4OB (3,3) ， 所以点P的坐标为 (3,3) 方法二设点P(x，y)，则OP (x，y) ，因为OB (4,4) ，且 OP 与OB 共线，所以x 4 y 4，即 xy. 又AP (x4，y) ，AC ( 2,6) ，且AP 与AC 共线， 所以 (x4)6y( 2)0，解得xy3， 所以点P的坐标为 (3,3) 命题点 2 利用向量共线求参数 典例已知向量a (1 sin ，1) ，b 1 2 ， 1sin ，若ab，则锐角_. 答案45 解析由ab，得 (1 sin )(1 sin ) 1 2， cos 2 1 2，cos 2 2 或 cos 2 2 ， 又 为锐角， 45. 思
13、维升华平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略 (1) 利用两向量共线求参数如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a(x1， y1) ，b(x2，y2) ，则ab的充要条件是x1y2x2y1”解题比较方便 (2) 利用两向量共线的条件求向量坐标一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可 设所求向量为a( R) ，然后结合其他条件列出关于 的方程，求出 的值后代入a 即可得到所求的向量 8 9 跟踪训练(1)(2017 北京海淀区模拟) 已知向量a(1,1)，点A(3， 0) ，点B为直线y2x 上的一个动点若AB a，则点B的坐标为 _ 答案( 3， 6) 解析设B(x,2x
14、) ，则AB (x3,2x) AB a，x32x0，解得x 3， B( 3， 6) (2) 若三点A(1， 5) ，B(a， 2)，C( 2， 1) 共线，则实数a的值为 _ 答案 5 4 解析AB (a1,3) ，AC ( 3,4) ， 根据题意AB AC ， 4(a1) 3( 3) 0，即 4a 5，a 5 4. 解析法 ( 坐标法 ) 在向量中的应用 典例 (12分) 给定两个长度为1 的平面向量OA 和 OB ，它们的夹角为 2 3 . 如图所示， 点C在以O 为圆心的AB上运动若OC xOA yOB ，其中x，yR，求xy的最大值 思想方法指导建立平面直角坐标系，将向量坐标化，将向量
15、问题转化为函数问题更加凸显 向量的代数特征 规范解答 解以O为坐标原点，OA 所在的直线为x轴建立平面直角坐标系， 如图所示， 则A(1,0) ，B 1 2， 3 2 .4分 设AOC 0， 2 3 ，则C(cos ，sin ) ， 10 由OC xOA yOB ，得 cos x 1 2y， sin 3 2 y， 所以xcos 3 3 sin ，y2 3 3 sin ，8 分 所以xycos 3sin 2sin 6 ，10 分 又 0， 2 3 ， 所以当 3 时，xy取得最大值2.12分 1如果e1，e2是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量 的一组基底的是(
16、) Ae1与e1e2 Be12e2与e12e2 Ce1e2与e1e2 De12e2与e12e2 答案D 2(2018郑州质检) 设平面向量a( 1,0) ，b (0,2) ，则 2a3b等于 ( ) A(6,3) B( 2， 6) C(2,1) D(7,2) 答案B 解析2a3b( 2,0) (0,6)( 2， 6) 3(2018河南中原名校联考) 如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点， 若DE AB AD ( ， 为实数 ) ，则 22 等于 ( ) A. 5 8 B. 1 4 11 C1 D. 5 16 答案A 解析DE 1 2DA 1 2DO 1 2DA 1 4DB
17、1 2DA 1 4( DA AB ) 1 4AB 3 4AD ， 所以 1 4， 3 4，故 225 8，故选 A. 4已知a(1,1) ，b(1， 1) ，c( 1,2) ，则c等于 ( ) A 1 2a 3 2b B. 1 2a 3 2b C 3 2a 1 2b D 3 2a 1 2b 答案B 解析设c a b，( 1,2) (1,1) (1 ， 1) ， 1 ， 2 ， 1 2， 3 2， c 1 2a 3 2b. 5已知平面直角坐标系内的两个向量a(1,2) ，b(m,3m2)，且平面内的任一向量c都 可以唯一的表示成cab( ， 为实数 ) ，则实数m的取值范围是 ( ) A( ，
18、2) B(2 ，) C( ， ) D( ， 2)(2，) 答案D 解析由题意知向量a，b不共线，故2m3m2，即m2. 6(2018厦门调研) 已知 |OA | 1，|OB | 3，OA OB 0，点C在AOB内，且OC 与OA 的 夹角为 30，设OC mOA nOB (m，nR) ，则 m n的值为 ( ) A2 B. 5 2 C 3 D 4 答案C 解析OA OB 0，OA OB ， 以OA 所在直线为x轴，OB 所在直线为y轴建立平面直角坐标系( 图略 ) ， OA (1,0) ，OB (0 ，3) ，OC mOA nOB (m，3n) 12 tan 30 3n m 3 3 ，m3n，
19、即 m n3，故选 C. 7在 ?ABCD中，AC为一条对角线，AB (2,4) ，AC (1,3) ，则向量BD 的坐标为 _ 答案( 3， 5) 解析AB BC AC ，BC AC AB ( 1， 1) ， BD AD AB BC AB ( 3， 5) 8(2018雅安模拟) 已知向量a (3，1) ，b(0 ， 1) ，c(k，3) ，若a2b与c共 线，则k_. 答案1 解析a2b(3，3)，且a2bc， 333k0，解得k1. 9(2017福建四地六校联考) 已知A(1,0) ，B(4,0) ，C(3,4)，O为坐标原点，且OD 1 2( OA OB CB ) ，则 |BD | _.
20、 答案22 解析由OD 1 2( OA OB CB ) 1 2( OA OC ) 知， 点 D是线段AC的中点，故D(2,2) ， 所以BD ( 2,2) ， 故|BD | 2 2 22 2 2. 10(2018洛阳质检)在平行四边形ABCD中，AB e1，AC e2，NC 1 4AC ，BM 1 2MC ，则MN _.( 用e1，e2表示 ) 答案 2 3e 1 5 12e 2 解析如图，MN CN CM CN 2BM CN 2 3BC 1 4AC 2 3( AC AB ) 1 4e 22 3( e2e1) 2 3e 1 5 12e 2. 11已知A(1,1) ，B(3 ，1) ，C(a，b
21、) ，若A，B，C三点共线， 则a，b的关系式为 _ 答案ab2 13 解析由已知得AB (2 ， 2) ，AC (a1，b1) ， A，B，C三点共线，AB AC . 2(b1) 2(a1) 0，即ab2. 12已知A(2,4) ，B(3 ， 1)，C( 3， 4) 设AB a，BC b，CA c，且CM 3c，CN 2b. (1) 求 3ab3c； (2) 求满足am bnc的实数m，n； (3) 求M，N的坐标及向量MN 的坐标 解(1) 由已知得a(5 ， 5) ，b( 6， 3) ，c(1,8) 3ab3c 3(5， 5)( 6， 3) 3(1,8) (15 63， 15324) (
22、6， 42) (2) m bnc (6mn， 3m8n) (5 ， 5) ， 6mn5， 3m8n 5， 解得 m 1， n 1. (3) 设O为坐标原点，CM OM OC 3c， OM 3cOC (3,24)(3， 4) (0,20) ， M(0,20) 又CN ON OC 2b， ON 2bOC (12,6) ( 3， 4) (9,2) ， N(9,2) ，MN (9 ， 18) 13(2018河南三市联考) 已知点A(1,3)，B(4 ， 1) ，则与AB 同方向的单位向量是 _ 答案 3 5， 4 5 解析AB OB OA (4 ， 1) (1,3) (3 ， 4) ， 与AB 同方向
23、的单位向量为 AB |AB | 3 5， 4 5 . 14(2017杭州五校联盟一诊)在矩形ABCD中，AB5，BC3，P为矩形内一点，且AP 14 5 2 ，若AP AB AD ( ，R) ，则53 的最大值为 _ 答案 10 2 解析建立如图所示的平面直角坐标系，设P(x，y) ，B(5，0) ， C(5，3) ，D(0 ，3) AP 5 2 ，x 2 y 25 4. 点P满足的约束条件为 0x5， 0y3， x 2 y 25 4， AP AB AD ( ，R) ， (x，y) (5，0) (0 ，3) ， x5， y3， xy5 3. xy2x 2 y 2 2 5 4 10 2 ， 当且
24、仅当xy时取等号， 53 的最大值为 10 2 . 15(2018河北石家庄一模) 如图所示，A，B，C是圆O上的三点，线段CO的延长线与BA 的延长线交于圆O外的一点D，若OC mOA nOB ，则mn的取值范围是_ 答案( 1,0) 解析由题意得，OC kOD ( k 0) ， 又|k| |OC | |OD | 1， 1k0. 15 又B，A，D三点共线，OD OA (1 ) OB ， mOA nOB kOA k(1 )OB ， mk ，nk(1 )， mnk，从而mn( 1,0) 16 16(2018开封调研) 已知正三角形ABC的边长为23，平面ABC内的动点P，M满足 |AP | 1
25、，PM MC ，则 |BM | 2 的最大值是 _ 答案 49 4 解析建立平面直角坐标系如图所示，则易知B( 3，0) ，C(3，0) ，A(0,3) 设M(x，y) ，P(a，b) ， PM MC ， xa3x， yb0y， 解得 a2x3， b2y， 即P(2x3， 2y) ，又|AP | 1. P点在圆x 2( y3) 2 1上， 即(2x3) 2(2 y3) 21， 整理得 x 3 2 2 y 3 2 2 1 4( 记为圆 ) ， 即M点在该圆上， 求|BM | 的最大值转化为B点到该圆上的一点的最大距离，即B到圆心的距离再加上该圆的 半径： |BM | 2 3 2 3 2 3 2 21 2 249 4 .